Что такое симметричная монета и где она применяется

Часто для принятия единственного решения подкидывают монетку, ожидая увидеть птицу или цифру. В редких случаях монета упадет на ребро, ставя «решающего» в тупик.

Мало кто задумывается, что использование монеты, этакого способа «да/нет», применяется даже в математических экспериментах, а конкретно в теории вероятности. Только в этом случае используется понятие симметричной монеты, иногда называемой честной или математической. Это значит, что плотность одинакова по всей монете, а орел или решка могут выпасть с одинаковой долей вероятности. Кроме ставших привычными названий сторон у такой монеты больше нет признаков. Ни веса, ни цвета, ни размеров. Такая монета может выдать лишь два результата – реверс либо аверс, никаких «встать на ребро» в теории вероятности нет.

Все в мире вероятно

Теория вероятности – целая область, которая до сих пор пытается подчинить себе случай и рассчитать все варианты возможных исходов событий. Благодаря формулам и многочисленным эмпирическим способам эта наука дает судить о разумности ожидания. Если опираться на смысл сказанного профессором П. Лапласом (он внес важный вклад в развитие теории), то суть всех действий по теории вероятности – это попытка свести к вычислениям действие здравого смысла.

Слово «вероятно» напрямую относится к данной науке. Используется понятие «предположение», которое означает: возможно, произойдет какое-то событие. Если приблизиться именно к математике, то самый яркий пример – подбрасывание монетки. И тогда можно предполагать: в случайном эксперименте симметричную монету бросают 100 раз. Вероятно, что герб окажется сверху – от 45 до 55 раз. Уже потом предположение начинает подтверждаться или доказываться расчетами.

Расчеты против интуиции

Можно сделать контрутверждение и обратиться к интуиции. Но что делать, когда задача усложняется? В практических опытах может использоваться не одна симметричная монета. И тогда вариантов-комбинаций становится больше: два орла, решка и орел, две решки. Вероятность выпадения каждого варианта становится уже разной, и комбинация «реверс - аверс» увеличивается в выпадении в два раза по сравнению с двумя орлами или двумя решками. Законы природы в любом случае будут подтверждены физическими опытами, и эта ситуация может быть аналогично проверена подбрасыванием реальных монет.

Есть ситуации, когда интуицию еще сложнее противопоставить математическим расчетам. Невозможно предугадать или прочувствовать все варианты, если монет еще больше. В дело вводятся математические инструменты, связанные с комбинаторным анализом.

Пример для разбора

В случайном эксперименте симметричную монету подбрасывают три раза. Нужно вычислить вероятность выпадения решки во всех трех бросках.

Расчеты. Решка должна выпасть в 100% случаях эксперимента (3 раза), это один из 8 вариантов-комбинаций: три орла, два орла и решка и т.д. Значит, вычисление вероятности делается через деление 100% на общее число вариантов. То есть 1/8. Получаем ответ 0,125.

Задач для симметричной монеты приводится предостаточно. Но в теории вероятности есть примеры, которые заинтересуют даже людей, далеких от математики.

Спящая красавица

Один из парадоксов, авторство которого приписывается А. Элга, имеет «сказочное» название. Это очень хорошо отражает суть парадокса. Это задача, которая имеет несколько ответов, и каждый из них по-своему правильный. Пример явственно доказывает, насколько легко можно оперировать результатами, используя наиболее выгодный результат.

Спящую красавицу (героиню эксперимента) усыпляют снотворным через укол. Во время этого подкидывается симметричная монета. При выпадении стороны с орлом героиню будят, заканчивая эксперимент. При результате с решкой красавицу будят, после чего вновь усыпляют, чтобы разбудить на следующий день опыта. При этом красавица забывает о том, что она была разбужена, хотя условия эксперимента ей известны, не считая информации, в каком дне она проснулась. Далее – самый интересный вопрос, конкретно для разбуженной красавицы: «Вычислить вероятность выпадения стороны с решкой».

В этом парадоксальном примере есть два решения.

В первом случае без должной информации о побудках и итогах выпадения монет. Поскольку участвует симметричная монета, то получается ровно 50%.

Второе решение: для точных данных опыт проводится 1000 раз. Получается, что красавица была разбужена 500 раз, если был орел, и 1000 при решке. (Ведь при исходе с решкой героиню спрашивали два раза). Соответственно, вероятность составляет 2/3.

Жизненно

Подобное манипулирование данными в статистике встречается в жизни. Например, информация о доле пенсионеров в общественном транспорте. По информации, 40% поездок совершаются пенсионерами. Но ведь по факту пенсионеры не составляют 0,4 от всего населения. Объясняется это тем, что люди на пенсии более активно пользуются услугами транспорта. Реально количество пенсионеров регистрируется в пределах 18-20%. Если проводить учет только самой последней поездки пассажира без учета предыдущих, то процент пенсионеров в общем пассажиропотоке будет в районе 20%. Если сохранять все данные – то все 40%. Все зависит от субъекта, использующего эти данные. Маркетологам нужна первая цифра реальных показов их рекламы целевой аудитории, транспортников интересует общая цифра.

Примечательно, что из математических раскладов что-то все же просочилось в реальную жизнь. Именно симметричная монета стала использоваться для решения споров благодаря своей честной натуре и отсутствию каких-либо признаков пристрастности. Например, спортивные арбитры подкидывают ее, когда надо определить, кому из участников достанется первый ход.