Нормальный закон распределения, или Распределение Гаусса

Среди всех законов в теории вероятностей нормальный закон распределения встречается чаще всего, в том числе чаще, чем равномерный. Возможно, такое явление имеет глубокую фундаментальную природу. Ведь этот вид распределения наблюдается и тогда, когда в представлении диапазона случайных величин участвуют несколько факторов, каждый из которых влияет по-своему. Нормальное (или гауссово) распределение в таком случае получается вследствие сложения разных распределений. Именно благодаря широкому распространению нормальный закон распределения и получил свое название.

Всякий раз, когда мы говорим о какой-либо средней величине, будь то месячная норма осадков, доход на душу населения или успеваемость в классе, при вычислении ее значения, как правило, используется нормальный закон распределения. Это среднее значение называется математическим ожиданием и на графике соответствует максимуму (обычно обозначается как M). При правильном распределении кривая симметрична относительно максимума, однако в реальности так бывает не всегда, и это допустимо.

Чтобы описать нормальный закон распределения случайной величины, также необходимо знать среднеквадратичное отклонение (обозначается &sigma- – сигма). Оно задает форму кривой на графике. Чем больше &sigma-, тем более пологой будет кривая. С другой стороны, чем меньше &sigma-, тем точнее определяется среднее значение величины в выборке. Поэтому при больших среднеквадратичных отклонениях приходится говорить, что среднее значение лежит в определенном диапазоне чисел, а не соответствует какому-либо числу.

Как и прочие законы статистики, нормальный закон распределения вероятностей проявляет себя тем лучше, чем больше выборка, т.е. количество объектов, которые участвуют в измерениях. Однако здесь проявляется еще один эффект: при большой выборке становится очень малой вероятность встретить определенное значение величины, в том числе среднее. Значения лишь группируются возле среднего. Поэтому правильнее говорить, что случайная величина будет близка определенному значению с такой-то долей вероятности.

Определить, насколько велика вероятность, и помогает среднеквадратичное отклонение. В интервал «три сигмы», т.е. M +/- 3*&sigma-, укладывается 97,3 % всех величин в выборке, а в интервал «пять сигм» - около 99 %. Эти интервалы обычно используются для того, чтобы определить, когда это нужно, максимальное и минимально значение величин в выборке. Вероятность того, что значение величины выйдет из интервала пяти сигм, ничтожно мала. На практике обычно пользуются интервалом трех сигм.

Нормальный закон распределения может быть многомерным. При этом принимается, что некий объект обладает несколькими независимыми параметрами, выраженными в одной единице измерения. Например, отклонение пули от центра мишени по вертикали и по горизонтали при стрельбе будет описываться двумерным нормальным распределением. График такого распределения в идеальном случае похож на фигуру вращения плоской кривой (гауссианы), о которой говорилось выше.