Метод интерполяции: основные виды и вычислительные алгоритмы

Значительное количество математических задач связано с нахождением распределенной неравномерно в пространстве информации. Речь идет об информационных системах географической направленности, так как именно в них существует возможность измерить необходимые величины в определенных точках. Для решения указанных задач зачастую применяют тот или иной метод интерполяции.

Определение

Интерполяция представляет собой способ исчисления промежуточных значений величин по имеющемуся в наличии дискретному набору значений. Наиболее распространенными методами интерполяции являются: метод обратных взвешенных расстояний, поверхности тренда и кригинг.

Основные методы интерполяции

Итак, подробнее рассмотрим первый метод, его суть заключается во влиянии точек, находящихся ближе к оцениваемым в сравнении с расположенным дальше. При использовании такой метод интерполяции предусматривает выбор из некоторой топографии в определенной окрестности конкретную точку, оказывающую наибольшее влияние на нее. Так выбирается максимальный поисковый радиус либо число точек, которые расположены близко от определенной точки. Далее задается вес высоте в каждой определенной точке, вычисляемый в зависимости от расстояния от данной точки. Только таким образом может быть достигнут больший вклад самых близких точек в интерполируемую высоту при сравнении с точками, удаленными на большее расстояние от заданной.

Второй метод интерполяции используется, когда у исследователей существует интерес к общим тенденциям поверхности. Аналогично первому методу для тренда могут быть использованы точки, которые находятся в пределах заданной поверхности. Здесь строят множество наилучшего приближения, основываясь на математических уравнениях (сплайны или полиномы). В основном, используется методика наименьших квадратов, базирующаяся на уравнениях с нелинейными зависимостями. В основе методики лежит замена кривых и других форм последовательностей числового типа на простые. С целью построения тренда каждое значение на данной поверхности должно подставляться в уравнение. Результатом является единственное значение, присваиваемое интерполируемому решению (точке). Для всех остальных точек процесс продолжается.

Еще один указанный выше метод интерполяции, кригинг, предусматривает оптимизацию процедуры интерполяции, принимая за основу статистическую природу поверхности.

Использование квадратичной интерполяции

Существует еще один инструмент определения конкретных точек – метод квадратичной интерполяции, суть которого заключается в замене некоторой функции на определенном промежутке квадратичной параболой. При этом ее экстремум исчисляется аналитическим путем. После его приближенного нахождения (минимума либо максимума) необходимо задать некоторый промежуток значений, после чего поиск нахождения решения продолжить. Проделывая данную процедуру повторно, можно, используя итерационную процедуру, значение данного уравнения уточнять до результата с заданной в постановке задачи точностью.