Trikotnik Pascala. Lastnosti Pascalovega trikotnika

Napredek človeštva je v veliki meri povezan z odkritji genijev. Eden od njih je Blaise Pascal. Njegova ustvarjalna biografija še enkrat potrjuje resnično izražanje "Talentiranega človeka v Talentiranem vsem" Lyona Feuchtwangerja. Vse znanstvene dosežke tega velikega znanstvenika je težko prebrati. Med njimi je eden najbolj elegantnih izumov v svetu matematike - Paskalov trikotnik.

Nekaj ​​besed o geniju

Blaise Pascal je umrl v zgodnjih sodobnih standardih, pri starosti 39 let. Vendar se je v kratkem življenju izkazal kot izjemen fizik, matematik, filozof in pisatelj. Zahvalni potomci so v njegovo čast imenovali enoto pritiska in priljubljen programski jezik Pascal. Uporabljal se je skoraj 60 let, da bi poučeval pisanje različnih kod. Na primer, z njeno pomočjo lahko vsak študent napiše program za izračun območja trikotnika na "Pascal", kot tudi preuči lastnosti sheme, o kateri bomo razpravljali v nadaljevanju.

Dejavnost tega znanstvenika z izrednim razmišljanjem pokriva širok spekter področij znanosti. Zlasti je Blaise Pascal eden izmed ustanoviteljev hidrostatike matematične analize, nekaterih smeri geometrije in teorije verjetnosti. Poleg tega:

• ustvaril mehanski kalkulator, znan kot Pascal Wheel;
• predstavili eksperimentalne dokaze, da ima zrak elastičnost in težo;
• ugotovil, da se barometer lahko uporablja za napovedovanje vremena;
• izumil je samokolnico;
• pripravili omnibus - konjske klopi s fiksnimi potmi, ki so kasneje postali prvi tip rednega javnega prevoza itd.

Pascalov aritmetični trikotnik

Kot je bilo že omenjeno, je ta veliki francoski znanstvenik veliko prispeval k matematiki. Eden od njegovih brezpogojnih znanstvenih mojstrovin je Razprava o aritmetičnem trikotniku, ki je sestavljena iz binomskih koeficientov, urejenih v določenem vrstnem redu. Lastnosti te sheme presenetijo z njeno raznolikostjo, sama pa potrjuje pregovor "Vse genialno je preprosto!".

Malo zgodovine

Pravično je treba reči, da je bil Pascalov trikotnik pravzaprav že v začetku 16. stoletja znan v Evropi. Njegovo podobo je mogoče videti na naslovnici aritmetičnega učbenika slavnega astronoma Petra Apiaja z univerze v Ingolstadtu. Podoben trikotnik je predstavljen kot ilustracija v knjigi kitajskega matematika Yang Hui, ki je bila objavljena leta 1303. Njegove lastnosti so znane tudi izvrstnemu perzijskemu pesniku in filozofu Omarju Khayyam že v začetku 12. stoletja. In verjame se, da se je z njim seznanil iz razprave o arabskih in indijskih učenjakah, napisanih prej.

Opis

Preden raziščete najzanimivejše lastnosti Pascalovega trikotnika, čudovito po svoji popolnosti in preprostosti, je vredno ugotoviti, kaj je.

Znanstveno govori, da je ta numerična shema neskončna tabela trikotne oblike, ki je sestavljena iz binomskih koeficientov, razporejenih v določenem zaporedju. Na vrhu in na straneh so številke 1. Preostale pozicije zasedajo številke, ki so enake vsoti dveh številk nad njimi zgoraj. V tem primeru so vse črte Paskalovega trikotnika simetrične glede na njegovo navpično os.

Osnovne lastnosti

Trikotnik Pascala je s svojo popolnostjo impresioniran. Za vsako številko vrstice n (n = 0, 1, 2hellip-) je res:

• prva in zadnja številka sta 1;
• drugi in predzadnji - n;
• tretja številka je enaka trikotni številki (število krogov, ki jih lahko uredimo v obliki enakostranični trikotnik, to je 1, 3, 6, 10): T_n-1 = n (n-1) / 2.
• Četrta številka je tetraedična, to je piramida s trikotnikom na njegovi podlagi.

Poleg tega je bilo v relativno kratkem času leta 1972 vzpostavljena še ena lastnost Paskalovega trikotnika. Da bi jo zaznali, morate elemente te sheme zapisati v obliki tabele s premikom v dveh položajih. Nato se številke delijo s številko vrstice. Izkazalo se je, da je številka stolpca, v kateri so izbrane vse številke, glavno število.

Isti trik je mogoče storiti na drugačen način. Za to so v Pascalovem trikotniku številke zamenjane s preostalo delitvijo z številko vrstice v tabeli. Nato so vrstice v nastalem trikotniku razporejene tako, da naslednji začne desno od dveh stolpcev od prvega elementa prejšnjega. Nato bodo stolpci s številkami, ki so prime številke, sestavljeni samo iz ničle, tisti s sestavljenimi številkami pa bodo imeli vsaj eno ničlo.

Povezava z binomskim Newtonom

Kot je znano, je tako imenovana formula za razširitev izrazov nenegativne celovite moči vsote dveh spremenljivk imenovana oblika:

Prisotni koeficienti v njih so enaki C_n^m = n! / (m! (n - m)!), kjer je m, redna številka števila v nizu n Pascalovega trikotnika. Z drugimi besedami, ob tej mizi lahko z lahkoto dvignete poljubne številke, ki so se prej razgradili v dva izraza.

Tako sta Pascalov trikotnik in Newtonova binomna povezana na najbolj intimen način.

Matematična čudesa

Če natančno preučite trikotnik Pascal, lahko ugotovite, da:

• vsota vseh številk v zaporedju z zaporedno številko n (štetje od 0) je enaka 2ⁿ;
• če so črte poravnane na levo, potem so vsote številk, ki so razporejene vzdolž diagonal Pascalovega trikotnika, od spodaj navzgor in od leve proti desni, enake številkam Fibonacci;
• Prva "diagonala" je sestavljena iz naravnih številk, ki se redijo;
• Vsak element Paskalovega trikotnika, zmanjšan za eno, je enak vsoti vseh številk, ki se nahajajo znotraj paralelograma, ki ga omejujeta leva in desna diagonala, ki se sekata na to številko;
• v vsaki vrstici sheme je vsota številk na enakih mestih enaka vsoti elementov na neparnih mestih.

Sierpinski trikotnik

Takšna zanimiva matematična shema, ki je z vidika reševanja kompleksnih problemov dokaj perspektivna, se dobi, če so čiste številke slike Pascala barvne v eni barvi in ​​čudne v drugi.

Sierpinski trikotnik je lahko zgrajen tudi na drug način:

• v poslikani shemi Pascala je srednji trikotnik prebarvan v drugačni barvi, ki se oblikuje tako, da se pridruži središčem stranic izvirnika;
• Podobno se prihajajo s tremi nepobarvanimi v vogalih;
• če se postopek nadaljuje za nedoločen čas, potem mora konec konec končati dvo-barvna slika.

Najbolj zanimiva lastnost Sierpinijevega trikotnika je njegova lastna podobnost, saj je sestavljena iz treh kopij sama, ki se zmanjšajo za faktor 2. Omogoča vam, da napotite to shemo na fraktalne krivulje, ki so po najnovejših raziskavah najprimernejša za matematično modeliranje oblakov, rastlin, delta in celo vesolja.

Nekaj ​​zanimivih nalog

Kje je Pascalov trikotnik? Primeri problemov, ki jih je mogoče rešiti s svojo pomočjo, so precej raznoliki in se nanašajo na različna področja znanosti. Razmislite o nekaterih najbolj zanimivih od njih.

Problem 1. Nekoliko velika mesta, obkrožena z obzidjem, imajo samo ena vhodna vrata. Na prvem krožišču je glavna cesta razdeljena na dve. Enako se zgodi na vseh drugih. 210 ljudi vstopi v mesto. Na vsaki od križišč so razdeljeni na polovico. Koliko ljudi bo na vsakem križišču, ko je nemogoče deliti. Njegov odziv je deseta vrstica Paskalovega trikotnika (formula zgoraj navedenih koeficientov), ​​kjer so številke 210 na obeh straneh navpične osi.

Naloga 2. Obstaja 7 barv. Moramo narediti šopek treh cvetov. Potrebno je ugotoviti, koliko različnih načinov je to mogoče storiti. Ta problem je s področja kombinatorike. Da bi ga rešili, ponovno uporabimo Paskalov trikotnik in v tretjem položaju dobimo številko 35 na 7. vrstici (številčenje v obeh primerih z 0).

Sedaj veste, kaj je izumil veliki francoski filozof in učenjak Blaise Pascal. Njegov slavni trikotnik, če se pravilno uporablja, lahko postane resnično orodje za reševanje številnih težav, še posebej s področja kombinatorike. Poleg tega se lahko uporablja za reševanje številnih uganke, povezanih s fraktali.