Свойства и способы поиска корней квадратного уравнения

Мир устроен так, что решение большого количества задач сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Корни уравнений имеют важное значение для описания различных закономерностей. Это было известно еще землемерам древнего Вавилона. Астрономы и инженеры тоже были вынуждены решать такие задачи. Еще в VI веке нашей эры индийский ученый Ариабхата разработал основы нахождения корней квадратного уравнения. Формулы приобрели законченный вид в XIX веке.

Общие понятия

Предлагаем ознакомиться с основными закономерностями квадратичных равенств. В общем виде равенство может быть записано так:

ax² + bx + c = 0,

Число корней квадратного уравнения может быть равно одному или двум. Быстрый анализ можно провести, используя понятие дискриминант:

D = b² - 4ac

В зависимости от вычисленного значения получаем:

• При D > 0 существуют два различных корня. Формула в общем виде для определения корней квадратного уравнения выглядит как (-b± &radic-D) / (2a).
• D = 0, в этом случае корень один и соответствует значению x = -b / (2a)
• D < 0, для отрицательного значения дискриминанта решения уравнения не существует.

Замечание: если дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней только в области вещественных чисел. Если алгебру расширить до понятия комплексных корней, то уравнение имеет решение.

Приведем цепочку действий, подтверждающую формулу нахождения корней.

Из общего вида уравнения, следует:

ax² + bx = -c

Правую и левую части умножаем на 4a и добавляем b², получаем

4a²x² + 4abx + b² = -4ac+b²

Преобразуем левую часть в виде квадрата многочлена (2ax + b)². Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения 2ax + b= -b ± &radic-(-4ac + b²), переносим коэффициент b в правую часть, получим:

2ax = -b ± &radic-(-4ac + b²)

Отсюда следует:

x = (-b ± &radic-(b² - 4ac))

Что и требовалось показать.

Частный случай

В некоторых случаях решение задачи может упроститься. Так, при четном коэффициенте b получим более простую формулу.

Обозначим k = 1/2b, тогда формула общего вида корней квадратного уравнения принимает вид:

x = (-k ± &radic-(k² - ac)) / a

При D = 0, получаем x = -k / a

Другим частным случаем будет решение уравнения при a = 1.

Для вида x² + bx + c = 0 корни будут x = -k ± &radic-(k² - c) при дискриминанте больше 0. Для случая когда D = 0, корень будет определяться простой формулой: x = -k.

Использование графиков

Любой человек, даже не подозревая этого, постоянно сталкивается с физическими, химическими, биологическими и даже социальными явлениями, которые хорошо описываются квадратичной функцией.

Замечание: кривая, построенная на основании квадратичной функции, получила название параболы.

Приведем несколько примеров.

1. При расчете траектории полета снаряда используют свойство движения по параболе тела, выпущенного под углом к горизонту.
2. Свойство параболы равномерно распределять нагрузку широко используется в архитектуре.

Понимая всю важность параболической функции, разберемся, как с помощью графика исследовать ее свойства, используя понятия "дискриминант" и "корни квадратного уравнения".

В зависимости от величины коэффициентов a и b, существует всего шесть вариантов положения кривой:

1. Дискриминант положительный, a и b имеют разные знаки. Ветви параболы смотрят вверх, у квадратичного уравнения два решения.
2. Дискриминант и коэффициент b равны нулю, коэффициент a больше нуля. График расположен в положительной зоне, уравнение имеет 1 корень.
3. Дискриминант и все коэффициенты имеют положительные значения. У квадратичного уравнения нет решения.
4. Дискриминант и коэффициент а - отрицательные, b - больше нуля. Ветви графика направлены вниз, у уравнения два корня.
5. Дискриминант и коэффициент b равны нулю, коэффициент a - отрицательный. Парабола смотрит вниз, у уравнения один корень.
6. Значения дискриминанта и всех коэффициентов - отрицательные. Решений нет, значения функции полностью в отрицательной зоне.

Замечание: вариант a = 0 не рассматривается, так как в этом случае парабола вырождается в прямую.

Все сказанное хорошо иллюстрирует рисунок, представленный ниже.

Примеры решения задач

Условие: используя общие свойства, составьте квадратное уравнение, корни которого равны между собой.

Решение:

по условию задачи x₁ = x₂, или -b + &radic-(b² - 4ac) / (2a) = -b + &radic-(b² - 4ac) / (2a). Упрощаем запись:

-b + &radic-(b² - 4ac) / (2a) - (-b - &radic-(b² - 4ac) / (2a)) = 0, раскрываем скобки и приводим подобные члены. Уравнение принимает вид 2&radic-(b² - 4ac) = 0. Это утверждение верно, когда b² - 4ac = 0, отсюда b² = 4ac, тогда значение b = 2&radic-(ac) подставляем в уравнение

ax² + 2&radic-(ac)x + c = 0, в приведенном виде получаем x² + 2&radic-(c / a)x + c = 0.

Ответ:

при a не равном 0 и любом c существует только одно решение, если b = 2&radic-(c / a).

Квадратные уравнения при всей своей простоте имеют большое значение в инженерных расчетах. Практически любой физический процесс можно описать с некоторым приближением, используя степенные функции порядка n. Квадратное уравнение будет первым таким приближением.