Силовые линии электрического поля. Введение

Различают поля скалярные и векторные (в нашем случае векторным полем будет электрическое). Соответственно, они моделируются скалярными или векторными функциями координат, а также временем.

Скалярное поле описывается функцией вида &phi-. Такие поля можно наглядно отобразить с помощью поверхностей одинакового уровня: &phi- (x, y, z) = c, c = const.

Определим вектор, который направлен в сторону максимального роста функции &phi-.

Абсолютное значение этого вектора определяет скорость изменения функции &phi-.

Очевидно, что скалярное поле порождает векторное поле.

Такое электрическое поле называют потенциальным, а функция &phi- называется потенциалом. Поверхности одинакового уровня называют эквипотенциальными поверхностями. Для примера рассмотрим электрическое поле.

Для наглядного отображения полей строят так называемые силовые линии электрического поля. Еще их называют векторными линиями. Это линии, касательная к которым в точке указывает направление электрического поля. Количество линий, которые проходят через единичную поверхность, пропорционально абсолютному значению вектора.

Введем понятие векторного дифференциала вдоль некоторой линии l. Этот вектор направлен по касательной к линии l и по абсолютному значению равен дифференциалу dl.

Пусть задано некоторое электрическое поле, которое нужно представить как силовые линии поля. Другими словами, определим коэффициент растяжения (сжатия) k вектора, чтобы он совпадал с дифференциалом. Приравнивая компоненты дифференциала и вектора, получим систему уравнений. После интегрирования можно построить уравнение силовых линий.

В векторном анализе есть операции, которые дают информацию о том, какие силовые линии электрического поля имеют место в конкретном случае. Введем понятие «поток вектора» на поверхности S. Формальное определение потока Ф имеет следующий вид: величина, рассматривается как произведение обычного дифференциала ds на орт нормали к поверхности s. Орт выбирается так, чтобы он определял внешнюю нормаль поверхности.

Можно провести аналогию между понятием потока поля и потока вещества: вещество за единицу времени проходит через поверхность, которая в свою очередь перпендикулярна направлению потока поля. Если силовые линии электростатического поля выходят из поверхности S наружу, тогда поток является положительным, а если не выходят - отрицательным. В общем случае поток можно оценить числом силовых линий, что выходят из поверхности. С другой стороны, величина потока пропорциональна числу силовых линий, пронизывающих элемент поверхности.

Дивергенция векторной функции рассчитывается в точке, околышем которой является объем &Delta-V. S - поверхность, охватывающая объем &Delta-V. Операция дивергенции позволяет характеризовать точки пространства на наличие в нем источников поля. При сжатии поверхности S в точку P силовые линии электрического поля, пронизывающие поверхность, останутся в том же количестве. Если точка пространства не является источником поля (утечкой или стоком), то при сжатии поверхности в эту точку сумма силовых линий, начиная с некоторого момента, равняется нулю (количество линий, входящих в поверхность S равно количеству линий, исходящих из этой поверхности).

Интеграл по замкнутому контуру L в определении операции ротора называется циркуляцией электричества по контуру L. Операция ротора характеризует поле в точке пространства. Направление ротора определяет величину замкнутого потока поля вокруг данной точки (ротор характеризирует вихрь поля) и его направление. Основываясь на определение ротора, путем несложных преобразований можно рассчитать проекции вектора электричества в декартовой системе координат, а также силовые линии электрического поля.