Решаем квадратные уравнения и строим графики

Квадратные уравнения являются равенствами второго уровня с одной переменной. Они отражают поведение параболы на координатной плоскости. Искомые корни отображают точки, в которых график пересекает ось ОХ. По коэффициентам можно предварительно узнать определенные качества параболы. Например, если значение числа, стоящего перед х², отрицательное, то ветви параболы будут смотреть вверх. Кроме этого, существует несколько хитростей, с помощью которых можно существенно упростить решение заданного уравнения.

Виды квадратных уравнений

В школе преподают несколько видов квадратных уравнений. В зависимости от этого различают и способы их решений. Среди особых типов можно выделить квадратные уравнения с параметром. Такой тип содержит несколько переменных:

ах²+12х-3=0

Следующей вариацией можно назвать уравнение, в котором переменная представлена не одним числом, а целым выражением:

21(х+13)²-17(х+13)-12=0

Стоит учесть, что это все является общим видом квадратных уравнений. Бывает, они преподносятся в таком формате, при котором их необходимо сначала привести в порядок, разложить на множители или упростить.

4(х+26)²-(-43х+27)(7-х)=4х

Принцип решения

Квадратные уравнения решаются следующим способом:

1. При необходимости находится область допустимых значений.
2. Уравнение приводится в соответствующий вид.
3. Находится дискриминант по соответствующей формуле: Д=b²-4ас.
4. В соответствии со значением дискриминанта делаются выводы относительно функции. Если Д>0, то говорят, что уравнение имеет два разных корня (при Д).
5. После этого находят корни уравнения.
6. Далее (в зависимости от задания) строят график или находят значение в определенной точке.

Квадратные уравнения: теорема Виета и другие хитрости

Каждому школьнику хочется блеснуть на уроках своими знаниями, смекалкой и умениями. Во время изучения квадратных уравнений это можно сделать несколькими способами.

В том случае, когда коэффициент а=1, можно говорить о применении теоремы Виета, согласно которой сумма корней равна значению числа b, стоящего перед х (со знаком, противоположным имеющемуся), а произведение х₁ и х₂ приравнивается с. Такие уравнения называются приведенными.

х²-20х+91=0,

х_1*х₂=91 и х₁+х₂=20, => х₁=13 и х₂=7

Еще одним способом приятного упрощения математической работы является использование свойств параметров. Так, если сумма всех параметров равна 0, то получаем, что х₁=1 и х₂=с/а.

17х²-7х-10=0

17-7-10=0, следовательно, корень 1: х₁=1, и корень2: х₂=-10/12

Если же сумма коэффициентов а и с равна b, то х₁=-1 и, соответственно, х₂=-с/а

25х²+49х+24=0

25+24=49, следовательно, х₁=-1 и х₂=-24/25

Такой подход к решению квадратных уравнений существенно упрощает процесс вычисления, а также экономит огромное количество времени. Все действия можно осуществлять в уме, не тратя при этом драгоценные минуты контрольной или проверочной работы на умножение в столбик или использование калькулятора.

Квадратные уравнения служат связующим звеном между цифрами и координатной плоскостью. Чтобы быстро и просто построить параболу соответствующей функции, необходимо после нахождения ее вершины провести вертикальную линию, перпендикулярную оси х. После этого каждую полученную точку можно зеркально отображать относительно данной линии, которая называется ось симметрии.