Основные правила дифференцирования, применяемые в математике

Для начала стоит вспомнить о том, что такое дифференциал и какой математический смысл он несет.

Дифференциалом функции называется произведение производной функции от аргумента на дифференциал самого аргумента. Математически данное понятие можно записать, как выражение: dy=y`*dx.

В свою очередь, по определению производной функции справедливо равенство y`=lim dx-0(dy/dx), а по определению предела - выражение dy/dx=x`+&alpha-, где параметром &alpha- является бесконечно малая математическая величина.

Следовательно, обе части выражения стоит умножить на dx, что в итоге дает dy=y`*dx+&alpha-*dx, где dx - это бесконечно малое изменение аргумента, (&alpha-*dx) - величина, которой можно пренебречь, тогда dy - приращение функции, а (y*dx) - главная часть приращения или дифференциал.

Дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента.

Теперь стоит рассмотреть основные правила дифференцирования, которые довольно часто используют в математическом анализе.

Теорема. Производная суммы равна сумме производных, полученных от слагаемых: (а+с)`=а`+с`.

Аналогичным образом это правило будет действовать и для нахождения производной разности.
Следствием даного правила дифференцирования является утверждение о том, что производная от некоторого числа слагаемых равна сумме производных, полученных от данных слагаемых.

Например, если необходимо найти производную от выражения (а+с-к)`, тогда результатом будет выражение а`+с`-к`.

Теорема. Производная произведения математических функций, дифференцируемых в точке, равна сумме, состоящей из произведения первого множителя на производную второго и произведения второго множителя на производную первого.

Математически теорема будет записана следующим образом: (a*c)`=а*с`+а`*с. Следствием теоремы является вывод о том, что постоянный множитель в производной произведения можно выносить за производную функции.

В виде алгебраического выражение данное правило будет записано следующим образом: (а*с)`=а*с`, где а=const.

Например, если необходимо найти производную выражения (2а3)`, то результатом будет ответ: 2*(а3)`=2*3*а2=6*а2.

Теорема. Производная отношения функций равна отношению между разностью производной числителя, умноженной на знаменатель, и числителя, умноженного на производную знаменателя и квадрата знаменателя.

Математически теорема будет записана следующим образом: (a/c)`=(а`*с-а*с`)/с².

В заключение необходимо рассмотреть правила дифференцирования сложных функций.

Теорема. Пусть задана фукция у=ф(х), где х=с(т), тогда функция у, по отношению к переменной т, называется сложной.

Таким образом, в математическом анализе производная сложной функции трактуется, как производная самой функции, умноженная на производную ее подфункции. Для удобства правила дифференцирования сложных функций представляют в виде таблицы.

При регулярном использовании данной таблицы производные легко запоминаются. Остальные производные сложных функций можно найти, если применить правила дифференцирования функций, которые были изложены в теоремах и следствиях к ним.