Matematično nihalo: obdobje, pospešek in formule

Mehanski sistem, ki je sestavljen iz materiala točke (v telesu), ki visi v breztežnostnem inextensible žarilno nitko (njegova masa je zanemarljiva v primerjavi s težo telesa) v enotno gravitacijskem polju, ki se imenuje matematično nihalo (drugo ime - oscilator). Obstajajo druge vrste te naprave. Namesto z žarilno breztežnostnem palice se lahko uporabljajo. Nihalo lahko jasno razkrije bistvo številnih zanimivih pojavov. Ko je majhna amplituda vibracije svoj predlog imenuje harmonična.

Splošne informacije o mehanskem sistemu

Formulo za oscilacijsko obdobje tega nihala je izhajal nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Ta sodobnik I. Newtona je bil zelo všeč ta mehanski sistem. Leta 1656 je ustvaril prvo uro z mehanizmom nihala. Izmerili so čas z natančnostjo, izjemno za tiste čase. Ta izum je postal pomemben korak pri razvoju fizičnih eksperimentov in praktičnih aktivnosti.

Če je nihalo v ravnovesnem položaju (navpično visi), potem gravitacije bo uravnotežena z napetostjo niti. Ploskovno nihalo na neprekinjenem niti je sistem z dvema stopnjama svobode s povezavo. Pri spreminjanju samo ene komponente se spreminjajo značilnosti vseh njegovih delov. Torej, če se nit nadomesti s palico, bo ta mehanski sistem imel samo eno stopnjo svobode. Kakšne so lastnosti matematičnega nihala? Kaos se pojavi v tem najpreprostejšem sistemu pod vplivom periodične motnje. V primeru, da se točka vzmetenja ne premika, ampak niha, se na nihalu prikaže nov ravnovesni položaj. S hitrim nihanjem navzgor in navzdol ta mehanski sistem pridobi stabilen položaj "na glavo". Prav tako ima svoje ime. Imenuje se Kapitza nihalo.

Lastnosti nihala

Matematično nihalo ima zelo zanimive lastnosti. Vsi ti potrjujejo znani fizični zakoni. Obdobje nihanja katerega koli drugega nihala je odvisno od različnih okoliščin, kot so velikost in oblika telesa, razdalja med točko vzmetenja in težišče ter porazdelitev mase glede na določeno točko. Zato je določitev obdobja visečega telesa precej izziv. Lažje je izračunati obdobje matematičnega nihala, katerega formula bo podana spodaj. Zaradi opazovanja takih mehanskih sistemov je mogoče vzpostaviti takšne zakonitosti:

• Če ob istem dolžini nihala ustavite različna obremenitev, je čas njihovega nihanja enak, čeprav se njihove mase močno razlikujejo. Posledično obdobje takega nihala ni odvisno od mase tovora.

• Če zavrtite nihalo pri prevelikem, vendar drugačnem kotu pri zagonu, bo nihalo z enakim časom, vendar v različnih amplitudah. Medtem ko odstopanja od sredine ravnovesja niso prevelika, bodo nihanja v njihovi obliki precej blizu harmoniji. Obdobje takšnega nihala ni odvisno od amplitude vibracij. Ta lastnost tega mehanskega sistema se imenuje izokronizem (v prevodu iz grškega "chronosa" - čas, "isos" - enak).

Obdobje matematičnega nihala

Ta indikator je obdobje naravnih nihanj. Kljub zapleteni formulaciji je sam proces zelo preprost. Če je dolžina niti matematičnega nihala L in pospešek gravitacije g, potem je ta vrednost enaka:

T = 2pi-radik-L / g

Čas majhnih naravnih nihanj ni odvisen od nobene mere glede na maso nihala in amplitude nihanj. V tem primeru se nihalo premika kot matematično nihalo z določeno dolžino.

Fluktuacija matematičnega nihala

Matematično nihalo niha, ki ga lahko opišemo z enostavno diferencialno enačbo:

x + omega-2 sin x = 0,

kjer je x (t) neznana funkcija (to je kot odstopanja od najnižjega ravnovesnega položaja v času t, izraženo v radianih) omega- je pozitivna konstanta, ki se določi iz parametrov nihala (omega- = radik-g / L, kjer je g pospešek gravitacije, L pa dolžino matematičnega nihala (suspenzija).

Enačba majhnih nihanj blizu ravnovesnega položaja (harmonična enačba) je videti tako:

x + omega-2 sin x = 0

Oscilatorno gibanje nihala

Matematično nihalo, ki povzroča majhne nihanja, se premika vzdolž sinusoida. Diferencialna enačba drugega reda izpolnjuje vse zahteve in parametre takega gibanja. Če želite določiti pot, morate določiti hitrost in koordinat, iz katere se nato določijo neodvisne konstante:

x = Sin (theta-₀ + omega-t),

kjer theta-₀ - začetno fazo, A - amplituda vibracij, Omega je ciklična frekvenca, določena iz enačbe gibanja.

Matematično nihalo (formule za velike amplitude)

Ta mehanski sistem, ki oscilira z znatno amplitudo, spoštuje zahtevnejše zakone gibanja. Za takšno nihalo se izračunajo po formuli:

sin x / 2 = u * sn (omega-t / u),

kjer je sn Jacobov sinus, ki je za u < 1 je periodična funkcija, za majhne u pa sovpada s preprostim trigonometrijskim sinusom. Vrednost u je določena z naslednjim izrazom:

u = (epsilon- + omega-2) / 2omega-2,

kjer Epsilon- = E / mL2 (mL2 je energija nihala).

Določanje oscilacijskega obdobja nelinearnega nihala se izvede po formuli:

T = 2pi- / Omega-,

kjer Omega- = pi- / 2 * omega- / 2K (u), K je eliptični integral, pi- - 3.14.

Premikanje nihala vzdolž separatrixa

Separatorka je potek dinamičnega sistema z dvodimenzionalnim faznim prostorom. Matematični nihalo se nenehno premika po njem. V neskončno daljšem časovnem trenutku pade iz skrajnega zgornjega položaja na stran z ničelno hitrostjo, nato pa postopoma pobere. Sčasoma se ustavi in ​​se vrne v prvotni položaj.

Če se amplituda oscilacij nihala približuje številu pi-, to pomeni, da se gibanje fazne ravnine približuje ločini. V tem primeru mehanski sistem pod vplivom majhne prisilne periodne sile kaže kaotično vedenje.

Ko matematično nihalo odstopa od ravnovesnega položaja z kotom Phi je tangenta gravitacije Ftau- = -mg sin phi-. Znak minus pomeni, da je ta tangencialna komponenta usmerjena na nasprotno stran od odstopanja nihala. Če z x premestimo nihalo vzdolž loka kroga s polmerom L, je njegov kotni premik enak phi- = x / L. Drugi zakon Isaac Newton, namenjen za projekcije vektorja pospeška in sile, bo dala želeno vrednost:

mg tau- = Ftau- = -mg sin x / L

Izhajajoč iz tega razmerja je jasno, da je to nihalo nelinearni sistem, saj sila, ki jo ponavadi vrne v ravnovesni položaj, je vedno sorazmerna ne s premikom x, temveč sin x / L.

Šele ko matematično nihalo izvaja majhne nihanja, je to harmonični oscilator. Z drugimi besedami, postane mehanski sistem, ki lahko izvaja harmonične nihanje. To približevanje je praktično veljavno pri kotih 15-20 °. Nihanja nihala z velikimi amplitudami niso harmonična.

Newtonov zakon za majhne nihanje nihala

Če bo ta mehanski sistem izvajal majhna nihanja, bo Newtonov 2. pravni red izgledal takole:

mg tau- = Ftau- = -m * g / L * x.

Iz tega lahko sklepamo, da je tangencialni pospešek matematičnega nihala sorazmeren njegovemu premiku z znakom minus. To je stanje, s katerim sistem postane harmoničen oscilator. Modul sorazmernosti med premikanjem in pospeševanjem je enak kvadratu krožne frekvence:

omega-02 = g / L- omega-0 = radik-g / L.

Ta formula odraža naravno frekvenco majhnih nihanj te vrste nihala. Izhajajoč iz tega,

T = 2pi- / omega-0 = 2pi-radik-g / L.

Izračuni na podlagi zakona o ohranjanju energije

Lastnosti oscilatornih gibov nihala je mogoče opisati tudi z zakonom o ohranjanju energije. Treba je upoštevati, da potencialna energija Nihalo v gravitacijskem polju je enako:

E = mgΔh = mgL (l-cos alfa-) = mgL2sin2 alfa- / 2

Polna mehanična energija enaka kinetični ali maksimalni potencial: Epmax = Ekmsx = E

Ko se zabeleži zakon o ohranjanju energije, vzemite derivat desnega in levega dela enačbe:

Ep + Ek = const

Ker je derivat konstant je 0, potem je (Ep + Ek) `= 0. Izvedenec vsote je enak vsoti derivatov:

EP = (mg / l * X2 / 2) `= mg / 2L * 2x * x` = mg / l * V + Ek `= (MV2 / 2) = m / 2 (V2) "= m / 2 * 2v * v `= mv * alfa-,

zato:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m alfa-) = 0.

Iz zadnje formule najdemo: alfa- = -g / L * x.

Praktična uporaba matematičnega nihala

Pospešek brezplačen padec se razlikuje glede na zemljepisno širino, saj gostota zemeljske skorje po celotnem planetu ni enaka. Kjer so kamnine večje gostote, bo nekoliko višja. Pospeševanje matematičnega nihala se pogosto uporablja za geološko raziskovanje. Uporablja se za iskanje različnih mineralov. Samo računanje števila nihanj nihala, lahko najdete v črevesju zemlje premoga ali rude. To je posledica dejstva, da imajo taki fosili gostoto in maso večjo od rahlega kamenja pod njimi.

Matematično nihalo so uporabili tako izjemni znanstveniki kot Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Mnogi od njih so verjeli, da lahko ta mehanski sistem vpliva na usodo in življenje osebe. Arhimed je v svojih izračunih uporabil matematično nihalo. V našem času mnogi okultisti in psihiaterji uporabljajo ta mehanski sistem za izvedbo svojih prerokb ali iskanje pogrešanih ljudi.

Znani francoski astronom in naravoslovec K. Flammarion je za svoje raziskave uporabil tudi matematično nihalo. Trdil je, da je s svojo pomočjo uspel predvideti odkritje novega planeta, videz Tunguske meteorita in druge pomembne dogodke. Med drugo svetovno vojno je v Nemčiji (Berlin) delovala specializirana nihalna ustanova. Te dni se Münchenski inštitut za parapsihologijo ukvarja s podobnimi študijami. Zaposleni v tej instituciji svoje delo kličejo z nihalo "radeestezija".