Riemannova hipoteza. Razdelitev prvin

Leta 1900 je bil eden največjih znanstvenikov v zadnjem stoletju David Gilbert

Edini problem, ki se je izkazal za oba seznama uganke, ki je bil za več stoletij zaskrbljujočih znanstvenikov, je Riemannova hipoteza. Še vedno čaka na svojo odločitev.

Kratka biografska opomba

Georg Friedrich Bernhard Riemann se je rodil leta 1826 v Hannovru v veliki družini slabega pastorja in živel le 39 let. Uspelo je objaviti 10 del. Vendar pa je bil v času svojega življenja Riemann veljal za naslednika svojega učitelja Johannesa Gaussa. V starosti 25 let je mladi znanstvenik zagovarjal tezo "Temelji teorije funkcij kompleksne spremenljivke". Kasneje je oblikoval svojo hipotezo, ki je postala znana.

Prime številke

Matematika se je pojavila, ko se je oseba naučila šteti. Hkrati so se pojavile prve ideje o številu, ki so jih pozneje poskusili razvrstiti. Ugotovljeno je bilo, da imajo nekatere od njih skupne lastnosti. Zlasti je bilo med naravnimi številkami, t.j. tistimi, ki so bile uporabljene pri štetju (številčenju) ali označevanju števila predmetov, izločena skupina tistih, ki so bila razdeljena samo v eno in vase. Imenovani so bili preprosti. Elekričen dokaz teoreme neskončnosti množice takih številk je dal Euclid v svojih "Elementih". Trenutno se iskanje nadaljuje. Zlasti je največja že znana številka 2^{74 207 281} - 1.

Eulerjeva formula

Euclid je skupaj s konceptom neskončnosti množice primerov definiral tudi drugo izrek o edini možni prime faktorizaciji. Po njegovem mnenju je vsako pozitivno celo število produkt samo ene množice primatov. Leta 1737 je veliki nemški matematik Leonard Euler izrazil Euclidov prvi izrek o neskončnosti v obliki formule, predstavljene spodaj.

Imenuje se zeta funkcija, kjer je s konstanta, p pa vse preostale vrednosti. Euclidova trditev o edinstvenosti razgradnje tudi neposredno izhaja iz nje.

Riemann zeta funkcija

Eulerjeva formula za natančnejši pregled je presenetljiva, saj določa razmerje med preprostimi in celoštevilnimi številkami. Na levi strani se množijo neskončno veliko izrazov, odvisno samo od preprostih, na desni pa je vsota, povezana z vsemi pozitivnimi celi števili.

Riemann je šel dlje od Eulerja. Da bi našel ključ do problema porazdelitve števil, je predlagal določitev formule tako za resnične kot zapletene spremenljivke. Kasneje se je imenoval Riemann zeta funkcija. Leta 1859 je znanstvenik objavil članek pod naslovom "O številu prvih številk, ki ne presegajo dane vrednosti", kjer je povzel vse njegove ideje.

Riemann je predlagal uporabo Eulerove serije, ki je konvergentna za vsako stvarno s> 1. Če se ista formula za kompleksne sekund, nato pa se bo serija konvergirajo za vsako vrednost spremenljivke z realni del je večja od 1. Riemann uporablja analitično nadaljevanje postopka z razširitvijo opredelitve zeta (i) za vse kompleksnih števil, ampak "metanje" enoto. Izključeno je bilo, ker se za s = 1 zeta funkcija poveča do neskončnosti.

Praktični pomen

Pojavlja se logično vprašanje: kaj je zanimivo in pomembno je zeta funkcija, ki je ključna pri Riemannovem delu na ničelni hipotezi? Kot je znano, v tem trenutku ni preprostega vzorca, ki bi opisal porazdelitev prvih številk med naravnimi številkami. Riemann je uspel ugotoviti, da je število pi (x) primehtnih številk, ki ne presega x, izraženo z razporeditvijo netrivialnih ničel zeta funkcije. Poleg tega je hipoteza Riemann nujen pogoj za dokazovanje časovnih ocen uspešnosti nekaterih kriptografskih algoritmov.

Riemannova hipoteza

Ena od prvih formulacij tega matematičnega problema, ki do danes še ni bila dokazana, se sliši takole: ne-trivialne funkcije 0 zeta so kompleksne številke z realnim delom, ki je enako frac12-. Z drugimi besedami, se nahajajo na ravni črti Re s = frac12-.

Obstaja tudi splošna hipoteza Riemann, ki je ista izjava, toda za generalizacije zeta funkcij, ki se ponavadi imenujejo Dirichlet L-funkcije (glej sliko spodaj).

V formuli chi- (n) je nekaj numeričnega znaka (modulo k).

Riemanova izjava se šteje za tako imenovano ničelno hipotezo, saj je bila preverjena skladnost z že razpoložljivimi podatki o vzorcu.

Kot je razložil Riemann

Opomba nemškega matematike je bila prvotno oblikovana precej mrtva. Dejstvo je, da bo znanstvenik takrat dokazal izrek o porazdelitvi prime števila in v tem kontekstu ta hipoteza ni imela posebnega pomena. Vendar pa je njegova vloga pri reševanju številnih drugih vprašanj ogromna. Zato je predpostavko Riemann v tem trenutku veliko znanstvenikov priznana kot najpomembnejša nedokazana matematična vprašanja.

Kot je bilo rečeno, da se dokaže izrek o delitvi celotnega Riemannova hipoteza ni potrebna, in povsem logično dokazati, da je realni del vsake ni trivialna nič funkcije zeta med 0 in 1. To lastnost pomeni, da je vsota vseh 0-m Zeta funkcije, ki se pojavljajo v natančno navedeni formuli, je končna konstanta. Pri velikih vrednostih x se lahko popolnoma izgubi. Edini člen formule, ki ostane nespremenjen tudi za zelo velik x, je x sam. Preostali kompleksni izrazi v primerjavi z njimi asimptotično izginejo. Tako se tehtana vsota nagiba k x. To dejstvo je mogoče šteti kot dokaz o resnici praštevilski izrek. Zato se zdi, posebno vlogo ničle v Riemannova funkcija zeta. Vsebuje dokaz, da takšne vrednosti ne morejo bistveno prispevati k ekspanzijski formuli.

Spremljevalci Riemann

Tragična smrt zaradi tuberkuloze tega znanstvenika ni omogočila, da bi svoj program zaključil z logičnim zaključkom. Vendar pa ga je prevzel od bataljona Sh. De la Valle Poussin in Jacques Hadamard. Neodvisno drug od drugega so izpeljali izrek o porazdelitvi prime števila. Hadamard in Poussin sta uspela dokazati, da so vse netrivialne 0 zeta funkcije v kritičnem pasu.

Zahvaljujoč delu teh znanstvenikov se je pojavila nova smer v matematiki - analitična teorija števil. Kasneje so drugi raziskovalci pridobili nekoliko bolj primitivne dokaze o izreči, o kateri je delal Riemann. Zlasti Pal Erdez in Atle Selberg sta odkrila celo zelo kompleksno logično verigo, ki jo je potrdila, za katero ni bilo treba zahtevati kompleksne analize. Vendar pa je do takrat že več dokazov o pomembnih izrekih dokazano s pomočjo Riemannove zamisli, vključno s približevanjem številnih funkcij teorije števil. V zvezi s tem novo delo Erdosa in Atleja Selberga praktično ni vplivalo.

Eden od najpreprostejših in najlepših dokazov problema je bil leta 1980 ugotovil Donald Newman. Temelji na dobro znani izrek Cauchyja.

Ali rimska hipoteza ogrozi osnove moderne kriptografije?

Šifriranje podatkov je nastalo s pojavom hieroglifov, natančneje, same se lahko štejejo za prve šifre. Trenutno se razvija celotna linija digitalne kriptografije algoritmi za šifriranje.

Preproste in "polpazne" številke, tiste, ki delijo samo dve drugi številki iz istega razreda, so v središču javnega ključa, znanega kot RSA. Ima najširšo uporabo. Zlasti se uporablja pri ustvarjanju elektronskega podpisa. Če govorimo z izrazi, ki so dostopni za "čajnike", hipoteza Riemann trdi, da obstaja sistem pri porazdelitvi prime števila. Tako je bistveno zmanjšana stabilnost kriptografskih ključev, na katerih je odvisna varnost spletnih transakcij na področju elektronskega poslovanja.

Drugi nerešeni matematični problemi

Za dokončanje članka je vredno, ker je nekaj besed namenilo drugim nalogam tisočletja. Te vključujejo:

• Enakost razredov P in NP. Težava se oblikuje takole: če se za polinomski čas preveri pozitiven odgovor na posamezno vprašanje, ali je odgovor na to vprašanje hitro ugotovljen?
• Hodgejeva hipoteza. Z enostavnimi besedami ga lahko formuliramo na naslednji način: za nekatere vrste projektivnih algebrskih sort (prostorov) so Hodge cikli kombinacije objektov, ki imajo geometrijsko interpretacijo, to je algebrski ciklusi.
• Pokazatelj Poincareja. To je edina tisočletna naloga, ki je bila do zdaj dokazana. Po njegovem mnenju mora biti vsak tridimenzionalni predmet, ki ima specifične lastnosti tridimenzionalne krogle, krogla do deformacije.
• Trditev kvantne Yang-Mills teorije. Potrebno je dokazati, da je kvantna teorija teh znanstvenikov za prostor R ⁴, obstaja in ima 0 masno pomanjkljivost za katero koli enostavno merilno kompaktno skupino G.
• Birch-Swinnerton-Dyer domneva. To je še en problem, povezan s kriptografijo. Gre za eliptične krivulje.
• Problem obstoja in gladkosti rešitev iz Navier-Stokesovih enačb.

Zdaj poznate hipotezo Riemann. Z enostavnimi besedami smo oblikovali tudi nekatere druge naloge tisočletja. Dejstvo, da bodo rešene ali bo dokazano, da nimajo rešitve, je stvar časa. In malo je verjetno, da bo to počakati predolgo, saj matematika vse bolj uporablja računalniške zmožnosti računalnikov. Vendar pa ni vse, kar je predmet tehnologije, in za reševanje znanstvenih problemov, so najprej potrebna intuicija in ustvarjalnost.