Nerešljive težave: enačbe Navier-Stokes, hipoteza Hodge, hipoteza Riemann. Milenijski cilji

Nerešljive naloge so 7 zanimivih matematičnih problemov. Vsak od njih je v dobrih časih predlagal znani znanstveniki, praviloma v obliki hipotez. Že desetletja nad svojo odločitvijo prekinjajo vodje matematike po vsem svetu. Tisti, ki bodo uspeli, bodo nagrajeni z nagrado v višini milijona dolarjev, ki jo ponuja Inštitut Clay.

Prazgodovina

V Ljubljani 1900 veliki nemški matematik David Gilbert je predstavil seznam 23 problemov.

Študije, ki so bile opravljene za njihovo reševanje, so imele velik vpliv na znanost 20. stoletja. Trenutno je večina že prenehala biti uganke. Med nerešenimi ali razrešenimi deloma ostaja:

• skladnost aritmetičnih aksiomov;
• splošni zakon o vzajemnosti v prostoru katere koli poljske številke;
• matematična študija fizičnih aksiomov;
• Študija kvadratnih oblik za poljubne algebarske številčne koeficiente;
• Problem stroge utemeljitve geometrije računov Fedorja Schubertja;
• in drugi.

Naslednji so nepričakovani: problem širjenja racionalnosti znane Kroneckerove teoreme in razširitve na katero koli algebraično domeno hipotezo Riemann.

Inštitut Clay

Pod tem imenom je znana zasebna neprofitna organizacija, katere sedež je v Cambridgeu v Massachusettsu. Ustanovljen je bil leta 1998 z matematikom Harvardom A. Jeffeyjem in poslovnežem L. Clayom. Namen inštituta je popularizirati in razviti matematično znanje. Da bi to dosegli, organizacija izda nagrade znanstvenikom in sponzorjema obetavnih raziskav.

V začetku 21. stoletja je matematični inštitut Clay ponudil nagrado tistim, ki rešujejo probleme, ki so znani kot najtežji nerešljivi problemi, pri čemer jim navajajo seznam problemov nagrade tisočletja. Iz "Liste Hilbert" je vstopila samo hipoteza Riemanna.

Milenijski cilji

Seznam Clay Institute je prvotno vseboval:

• hipoteze o Hodge ciklusih;
• enačbe kvantne Yang-Millsove teorije;
• domneva Poincareja;
• problem enakosti razredov P in NP;
• hipotezo Riemann;
• Navier Stokesove enačbe, obstoj in gladkost svojih rešitev;
• Problem Birch-Swinnerton-Dyer.

Ti odprti matematični problemi so zelo zanimivi, saj imajo lahko številne praktične izvedbe.

Kaj je dokazal Grigory Perelman

Leta 1900 je slavni znanstvenik in filozof Henri Poincaré je predlagal, da je vsak preprosto povezan kompakten 3-kolektor brez meja homeomorphic na 3-dimenzionalni sferi. Dokaz v splošnem primeru ni bil stoletje. Samo v obdobju 2002-2003, St Petersburg matematik G. Perelman objavil serijo člankov s rešitvi problema Poincaré. Ustvarili so učinek eksplozije bombe. V letu 2010 je bila Poincaréjeva domneva izključena iz seznama "nerešen problem" Clay inštituta, in Perelmana je bil povabljen, da bi dobili veliko nadomestilo zaradi njega, ki ga je ta zavrnil, ne da bi pojasnil razloge za svojo odločitev.

Najbolj razumljivo razlago, kaj bi se lahko izkazal za ruski matematik, je mogoče dati, ki zagotavlja, da je krof (torus), potegnite gume disk, nato pa vlecite rob njenega obsega na eni točki. Očitno je to nemogoče. Druga stvar je, če naredite ta poskus z žogo. V tem primeru, se zdi, da bo tridimenzionalno sfere, dobimo iz obodu diska privezan na točko hipotetično kabla je tridimenzionalna v razumevanje povprečnega človeka, ampak dvodimenzionalna na področju matematike.

Poincare je predlagal, da je tridimenzionalna sfera edini tridimenzionalni "predmet", katerega površina se lahko povleče v eno točko, Perelman pa je to uspel dokazati. Tako je danes na seznamu »Nerešljive naloge« 6 težav.

Teorija Yang-Millsa

Ta matematični problem so avtorji predlagali leta 1954. Znanstveno formulacija teorije je, kot sledi: za obstaja kak preprost kompaktni merilnik skupina teorija prostora quantum Yang in Millsom ustvarili, in je s tem nič masni defekt.

Govor jezik po rednem oseba razume, interakcija med naravnimi predmeti (. Delci, organi, valovi, itd) se delijo v 4 tipe: elektromagnetnimi, gravitacijski, in šibko. Fiziki že več let poskušajo ustvariti splošno teorijo polja. To bi moralo biti orodje za razlago vseh teh interakcij. Teorija Yang-Mills - matematični jezik, s katerim je bilo mogoče opisati 3 4 osnovne sile narave. Ne velja za težo. Zato ni mogoče domnevati, da sta Yangu in Mills uspela ustvariti terensko teorijo.

Poleg tega je nelinearnost predlaganih enačb izjemno težko rešiti. Za majhne konstante sklopke jih je mogoče približno rešiti v obliki serije teorije perturbacije. Vendar pa še ni jasno, kako te enačbe lahko rešimo z močnim povezovanjem.

Navier-Stokesove enačbe

S pomočjo teh izrazov so opisani procesi, kot so zračni tokovi, pretok tekočin in turbulence. Za nekatere posamezne primere so že bile ugotovljene analitične rešitve Navier-Stokesove enačbe, vendar tega sploh še ni uspelo narediti za splošno. Hkrati pa numerično modeliranje za določene vrednosti hitrosti, gostote, tlaka, časa in tako naprej omogoča doseganje odličnih rezultatov. Upati je treba, da bo nekdo lahko uporabil Navier-Stokesove enačbe v nasprotni smeri, torej izračunati parametre z njimi ali dokazati, da ni rešitve.

Problem Birch-Swinnerton-Dyer

Kategorija "Nerešene težave" vključuje tudi hipotezo, ki so jo predlagali angleški znanstveniki s Univerze Cambridge. Še pred 2300 leti je stari grški učenjak Euclid dal popoln opis rešitev enačbe x2 + y2 = z2.

Če izračunamo število točk na krivulji s svojim modulom za vsako od prvih števil, dobimo neskončni niz celih števil. Če jo posebej "lepimo" v funkcijo kompleksne spremenljivke, potem dobimo funkcijo Hasse-Weil zeta za krivuljo tretjega reda, ki jo označuje L. Vsebuje informacije o ravnanju po vseh primehtnih številkah hkrati.

Brian Birch in Peter Swinnerton-Dyer sta podali hipotezo o eliptičnih krivinah. Glede na to je struktura in število njenih racionalnih rešitev povezana z obnašanjem L-funkcije v enoti. Pretpostavka Birch-Swinnerton-Dyer, ki še ni bila prikazana, je odvisna od opisa algebrskih enačb tretje stopnje in je edina sorazmerno preprosta splošna metoda za izračun rangov eliptičnih krivulj.

Da bi razumeli praktični pomen tega problema, je dovolj, da rečemo, da so v sodobni kriptografiji, ki temelji na eliptičnih krivuljah razred asimetričnih sistemih, in njihova uporaba temeljijo domače standarde digitalni podpis.

Enakost razredov p in np

Če so preostali "tisočletni izzivi" zgolj matematični, se to nanaša na sedanjo teorijo algoritmov. Problem enakopravnosti razredov p in np, znan tudi kot problem Cook-Levin, se lahko formulira v jasnem jeziku na naslednji način. Predpostavimo, da se lahko pozitiven odgovor na določeno vprašanje hitro preveri, to je v polinomskem času (PV). Nato je izjava pravilna, da je odgovor na to mogoče najti hitro? Še lažje to nalogo sliši se tako: Ali je res težje preveriti težavo, kot da bi jo našli? Če je enakopravnost razredov p in np vedno dokazana, se lahko vsi problemi izbire rešijo za PV. Trenutno mnogi strokovnjaki dvomijo v resnico te izjave, čeprav ne morejo dokazati nasprotnega.

Riemannova hipoteza

Do leta 1859 ni bilo nobene pravilnosti, ki bi opisovala, kako preproste številke porazdeljujejo med naravnimi številkami. Morda je to bilo zaradi dejstva, da se je znanost ukvarjala z drugimi vprašanji. Vendar pa se je sredi 19. stoletja situacija spremenila, in postali so eden od najpomembnejših, s katerimi se je matematika začela ukvarjati.

Hipoteza Riemana, ki se je pojavila v tem obdobju, je domneva, da je v razdelitvi prvin definirana pravilna regularnost.

Danes mnogi sodobni znanstveniki verjamejo, da bo, če bo dokazano, treba ponovno pretehtati številna temeljna načela sodobne kriptografije, ki so osnova večine mehanizmov elektronskega poslovanja.

V skladu z Riemannovo domnevo je narava porazdelitve primatov verjetno bistveno drugačna od tistega, kar naj bi bilo v tem trenutku. Dejstvo je, da doslej pri distribuciji prime števila ni bil odkrit noben sistem. Na primer, obstaja problem "dvojčkov", razlika med katerimi je enaka 2. Te številke so 11 in 13, 29. Drugi primesi oblikujejo grozde. To so 101, 103, 107 itd. Znanstveniki že dolgo trdijo, da takšni grozdi obstajajo med zelo velikimi primeškimi številkami. Če se najdejo, bo prožnost sodobnih kripto-tipk vprašljiva.

Hipoteza o ciklu Hodgeja

Ta nerešena težava je bila oblikovana leta 1941. Hodgejeva hipoteza nakazuje možnost približevanja oblike vsakega predmeta z "lepljenjem" preprostih teles večje dimenzije. Ta metoda je bila znana in uspešno uporabljena že dolgo časa. Vendar pa ni znano, v kolikšni meri je mogoče poenostaviti.

Zdaj veste, kakšni so nerešljivi problemi v tem trenutku. Te so predmet raziskav na tisoče znanstvenikov po vsem svetu. Še vedno je treba upati, da bodo v bližnji prihodnosti rešeni in njihova praktična uporaba bo ljudem pomagala vstopiti v nov krog tehnološkega razvoja.