Peti postulat Euklida: formulacija

Verjamejo, da so se prve človeške civilizacije pojavile pred 10.000 leti. V primerjavi s starostjo našega planeta, ki je po mnenju znanstvenikov star okoli 4,54 milijona let, je to le kratek trenutek. Za ta "trenutek" človeštvo je naredilo velik preskok iz primitivnih kamnitih orodij na medplanetarna vesoljska plovila. Bilo bi nemogoče, če se občasno na planetu ne bi rodili geniji, tako da bi napredovali znanost. Med njimi je seveda Euclid. Njegova dela so postala temelj in močna spodbuda za razvoj sodobne matematike.

Ta članek je posvečen peti postavki Euclida in njene zgodovine.

Kako se je pojavila geometrija

Ker so zemljiške parcele postale predmet prodaje in zakupa, je bilo treba njihovo velikost in površino meriti, tudi z izračunom. Poleg tega so taki izračuni postali potrebni za gradnjo velikih struktur, pa tudi za merjenje količine različnih predmetov. Vse to je postalo predpogoj za nastanek pred tremi tisočimi leti v Egiptu in Babilonu umetnosti zemeljske geodezije. Bilo je empirično in predstavljalo zbirko primerov reševanja več sto specifičnih problemov brez kakršnih koli dokazov.

Kot sistematična znanost se je geometrija razvila v starodavni Grčiji. Do tretjega stoletja pred našim štetjem je bilo veliko dejstev in dokazov. Hkrati je nastala naloga, da posploši dovolj veliko geometrijsko zbranega materiala. Hippocrates, Fedy in drugi antični grški filozofi so ga poskušali rešiti. Vendar se je logično umerjen znanstveni sistem pojavil le okoli 300 pr. e. z objavo "Elementi".

Kdo je bil Euclid

Stara Grčija je svetu dala veliko največjih filozofov in znanstvenikov. Eden izmed njih je Euclid, ki je postal ustanovitelj matematične šole v Aleksandriji. Praktično nič ni znano o samem znanstveniku. Nekateri viri navajajo, da mladi bodoči oče moderne geometrije študiral na znameniti šoli Platon v Atenah, nato pa se vrnil v Aleksandrijo, kjer je nadaljeval študij matematike in optiko, kot tudi skladanje glasbe. V svojem rojstnem mestu je ustanovil šolo, kjer je skupaj s svojimi učenci ustvaril svoje znano delo, ki je več kot dva tisočletja osnova za kateri koli učbenik o načrtimetriji in stereometriji.

"Začetek" evklida

Glavno in prvo najbolj sistematično delo na geometriji je sestavljeno iz 13 zvezkov. Prve štiri in šest knjig se ukvarjajo s planimetrijo, 11., 12. in 13. pa stereometrija. Kar zadeva preostale količine, so namenjene aritmetičnosti, ki je podana v geometrijskih postulatih.

Vloga Euclidovega glavnega dela pri nadaljnjem razvoju matematičnih znanosti ni mogoče precenjevati. Dosegli so nam številne liste papira iz izvirnih in bizantinskih rokopisov.

V srednjem veku so "Elemente" Euklida preučevali predvsem Arabci, ki so jih obravnavali kot eno največjih del človeške misli, sam znanstvenik pa je prebivalec Damaska. Veliko kasneje so ta dela zanimala Evropejce. S prihodom knjigotisk, znanost, vključno z geometrijo Euclid, ni več lastnina samo izbranih. Po prvi izdaji leta 1533 so »Elementi« postali dostopni vsem, ki so želeli vedeti o svetu, in vsako leto je postajalo vse več. Povpraševanje je povzročilo predlog, zato se domneva, da je to delo drugo med najbolj berljivim antičnim mestom po Svetem pismu.

Nekatere funkcije

"Začetki" opisujejo metrične lastnosti tridimenzionalnega, praznega, neskončnega in izotropnega prostora, ki se običajno imenuje evklidska. Šteje se za areno, na kateri se pojavijo pojavi klasične fizike Galilea in Newtona.

Elementarni geometrijski objekt, glede na Euclid, je točka. Drugi pomemben koncept je neskončnost prostora, za katerega so značilni trije prvi postulati. Četrti se nanaša na enakost pravih kotov. Kar se tiče pete postavke Euclida, je tisti, ki določi lastnosti in geometrijo evklidskega prostora.

Po mnenju znanstvenikov je oče klasične geometrije ustvaril popoln učbenik, v študiji katerega je izključeno kakršno koli nerazumevanje materiala zaradi načina predstavitve. Zlasti se vsak obseg »Začetki« začne z opredelitvijo pojmov, s katerimi se srečujejo prvič. Še posebej, od prvih strani 1. knjige bralec izve, da je točka, linija, naravnost in tako naprej. V celoti pa ima 23 opredelitve, potrebne za razumevanje temeljnih predpisov materiala, predstavljene v tem temeljnem delu.

Aksiomi in prva štiri postulata Euclida

Po definicijah avtor "Nachal" citira stavke, ki se sprejmejo brez dokazov. Razdelijo jih v aksiome in postulate. Prva skupina je sestavljena iz 11 izjav, ki so intuitivno znane osebi. Na primer, 8. aksiom navaja, da je celota večja od dela, in glede na prvo sta dve količini, ki sta ločeno enaka tretjini, enaka.

Poleg tega Euclid daje 5 postulatov. Prve štiri se glasijo:

• od katere koli točke do katere koli druge lahko narišemo črto;
• Iz katerega koli središča poljubnega polmera je mogoče opisati krog;
• omejena črta se lahko neprekinjeno nadaljuje vzdolž ravne črte;
• vsi pravokotni koti so enaki.

Peti postulat Euklida

Več kot dva tisočletja je ta izjava večkrat postala predmet pozornosti matematikov. Najprej pa se seznanimo z vsebino petega postulata Euclida. Torej, v sodobnem oblikovanju se sliši, kot da je na ravnini, na stičišču dveh ravno enostranskega tretje vsoto notranjih kotov manj kot 180 °, nato pa te vrstice, medtem ko še vedno prej ali slej sestane na tisti strani, na kateri je ta količina (količina) manj kot 180 °.

Peti postulat Euklida, katerega formulacija v različnih virih je drugačna, je že od samega začetka povzročila šport in željo, da bi jo prevedli v kategorijo teorema z izgradnjo dobro utemeljenega dokaza. Mimogrede, ga pogosto nadomešča še en izraz, ki ga je dejansko izumil Proclus in znan tudi kot aksiom Playfairja. Piše: na ravnini skozi točko, ki ne sodi v določeno črto, je mogoče narisati eno in samo eno ravno črto, vzporedno s to.

Formulacije

Kot smo že omenili, so mnogi znanstveniki poskušali na drugačen način izraziti idejo o petem podstavku Euclida. Mnoge formulacije so očitne. Na primer:

• približujoče se ravne črte sekajo;
• obstaja vsaj en pravokotnik, to je 4-gon s štirimi pravimi koti;
• vsaka številka se lahko sorazmerno poveča;
• Obstaja trikotnik, ki ima poljubno poljubno velikost, ki je poljubno velika.

Slabosti

Geometrija Euclida je postala največje matematično delo antike in do 19. stoletja je prevladovalo v matematiki. Kljub temu so nekatere od njegovih pomanjkljivosti zaznali sodobni avtorji in stari grški učenjaki, ki so živeli nekoliko pozneje. Zlasti je dodal nov aksiom, ki mu je bilo ime. Piše: za vse segmente AB in CD obstaja naravno število n, tako da nmiddot- [AB]> [CD].

Poleg tega so znanstveniki poskušali zmanjšati sistem evklidskih postulatov in aksiomov. Da bi to naredili, so nekatere od njih pripeljali iz drugih.

Tako je bilo mogoče "znebiti" 4. postulata o enakosti pravih kotov. Za njega je bil najden strog dokaz, ki je postal teoretik.

Zgodovina 5. postulata v antiki in v zgodnjem srednjem veku

Klasična formulacija te izjave o Euclidovi geometriji se zdi precej manj očitna od ostalih štirih. Ta okoliščina ni motila matematikov.

Kamen blok za peto evklidski predpostavki bila definicija vzporednosti daljici a in b, ki navaja, da je vsota dveh enostranskih koti, ki jih tvorijo presečišču A in B tretjo ravne črte C, ki so enake 180 stopinj.

Prvi poskus, da se to izkaže kot izrek, je izvedel starinski grški geometar Posidonius. Predlagal je, da se množica vseh točk na ravnini, ki so na isti razdalji od prvotne ravnine, štejejo kot neposredna vzporedna z dani. Vendar tudi to ni omogočilo, da je Posidonia našla dokaz petega postulata.

Poskusi drugih matematikov, tudi srednjeveških, kot so arabski Ibn Korra in Hayam, niso povzročili ničesar. Edino, kar je bilo doseženo, je nastanek novih postulatov, ki so dokazani ob upoštevanju različnih predpostavk.

V 18. in 19. stoletju

Klasična geometrija je še naprej v interesu matematikov tudi v 18. stoletju. Zlasti francoski matematik A. Legendre se je lahko približal dokazu o aksiomi Euklidovega paralelizma. Njegov pero spada v izvrstno učbenik "Začetki geometrije", ki je bil približno 150 let glavni pri poučevanju matematike v šolah ruskega cesarstva. V njej je znanstvenik dal tri različice dokaza evklidske aksioma paralelizma, vendar so se vsi izkazali za nepravilne.

Do začetka 19. stoletja se je pojavila ideja o ustvarjanju neevklidske geometrije. Prvi opis sistema, ki ni odvisen od petega postulata, je dal vojaški inženir J. Boyay. Ampak bil je prestrašen nad njegovim odkritjem in ni razvil te ideje, saj je bil zmoten. Velikega nemškega matematika K. Gaussa prav tako ni mogel doseči uspeha.

Preboj

Več kot 2000 let je peti postavljeni Euclid, dokaz, ki ga je na stotine znanstvenikov poskušal najti, še vedno največji problem v matematiki. Preboj je dosegel ruski matematik NI Lobachevsky. Bil je prvi na svetu, ki je opisal lastnosti realnega prostora, kar dokazuje, da Euclidova geometrija "deluje" samo v posebnem primeru njegovega sistema.

NI Lobachevsky je najprej sledil isti poti kot njegovi kolegi. Poskušal dokazati 5. postulat, ni uspel. Potem je znanstvenik zavrnil evklidski pojem, po katerem vsota kotov trikotnika je enako 180 stopinj. Nato je začel dokazovati to trditev z nasprotno in prejel novo formulacijo za peti postulat. Zdaj je dovolil obstoj več linij, vzporednih z danim, in prehod skozi točko, ki leži zunaj te črte.

Nova geometrija

Nima smisla razpravljati, kdo je naredil več za matematično znanost. Vloga Evklida in Lobačevskega je primerljiva z vplivom na nastanek in razvoj fizike Newtona in Ajnštajna. Hkrati je nova, absolutna geometrija omogočila, da razmišljamo o konceptu prostora, ki se je oddaljil od klasične metode "lahko razumem le, kaj lahko merim". Toda ravno ta pristop, ki se v znanosti izvaja že več tisočletij.

Na žalost so ideje o geometriji Lobačevskega niso opazili in razumeli sodobniki. Še zlasti njegovi učenci niso nadaljevali z delom znanstvenika, razvoj neevklidske geometrije pa je bil prestavljen že več desetletij.

Nekatere značilnosti teorije Lobačevskega

Da bi razumeli novo geometrijo, moramo upoštevati kozmično neskončnost. Dejansko je težko predstavljati, da je brezmejno vesolje vsota pravokotnih prostorov.

Geometrija Lobačevskega se uporablja za opis curvilinearnih prostorov, ki jih ustvarja gravitacijska polja galaksij. Oddaljena je od metode zmanjševanja vseh številk na "približno desno" cilinder, krog, piramido ali poljubno kombinacijo teh številk. Konec koncev, na primer, naš planet v resnici ni krogla, ampak geoidna, to je številka, ki jo dobimo z opisovanjem zunanjega obrisa litosfere Zemlje (trdna lupina).

V resničnem življenju obstajajo tudi analogi krivuljarnih prostorov Univerzuma, ki omogočajo zamisli o obstoju več neposrednih vzporednih poti, ki potekajo skozi eno točko. To so še posebej ukrivljene površine treh vrst, ki jih odlikuje italijanska geometrija E. Beltrami in imenovana psevdosfera.

Nadaljnji razvoj teorije Lobačevskega

Izjemni ruski ni bil edini, ki je predlagal, da geometrija evklidov ni absolutna. Zlasti matematik B. Riemann je leta 1854 predstavil zamisel o možnosti obstoja prostorov nič, pozitivne in negativne ukrivljenosti. To pomeni, da je mogoče ustvariti neskončno število različnih nonclassical geometries.

S stališča B. Riemana, ki je preučeval predvsem prostore s pozitivno ukrivljenostjo, se 5. zvrst Euclida zdi precej nepričakovano. Po njegovih idejah ni mogoče premikati ravne črte skozi točko zunaj te črte, ki je vzporedna s tem.

Položaj je popolnoma drugačen s prostori nič, negativnega in pozitivnega ukrivljenja v skladu s Kleinovo teorijo. Zlasti v prvem primeru jih opisuje parabolična geometrija, katere poseben primer je klasičen, v drugem primeru se držijo idej Lobačevskega, v tretjem pa ustrezajo lastnostim, ki jih opisuje Riemann.

Po objavi teorije relativnosti Alberta Einsteina so bili koncepti takšnih prostorov dopolnjeni s podatki, ki so upoštevali obstoj štirih medsebojno odvisnih in spreminjajočih dimenzij - mase, energije, hitrosti in časa.

V praksi

Če gre za človeško percepcijo prostora, potem v zemeljski orbiti za velikan trikotnik, največji možni odklon vsote notranjih kotov s klasičnih 180 stopinj je le štiri milijoneštev sekund. Takšna vrednost presega zmožnosti homo sapiensa, zato je za evklidanke potrebna evklidska geometrija.

Še vedno čakati na ustvarjanje pogojev, ki omogočajo pridobitev eksperimentalnih podatkov, ki bodo potrdili ali ovrgli teorije N. Lobačevskega in B. Riemana v lestvici Galaksije.

Zdaj veste, da izraža peti postulat Euklida in njegovo zgodovino, kar je zelo poučno in vam omogoča, da v zadnjih 2300 letih odkrijete razvoj človeške misli.