Vsota kotov trikotnika. Izrek o vsoti kotov trikotnika

Trikotnik je poligon s tremi stranicami (trije koti). Najpogosteje so stranice označene z majhnimi črkami, ki ustrezajo velikim črkam, ki označujejo nasprotne tocke. V tem članku se bomo seznanili s tipi teh geometrijskih številk, izrek, ki določa, koliko je vsota kotov trikotnika enaka.

Vrste kotov

Obstajajo naslednje vrste poligonov s tremi tocki:

• Kotni, z vsemi koti ostri;
• pravokotni, ki ima en pravokotni kot, s na tej strani, njeni generatorji, se imenujejo katetami, stran, ki je postavljena nasproti pravemu kotu, se imenuje hipotenuza;
• Tupi, ko je eden neumen kotiček;
• enakovredna, v kateri sta obe strani enaki in imenovani so stranski, tretji pa osnova trikotnika;
• Enakostransko, ki ima vse tri enake strani.

Lastnosti

Dodelite osnovne lastnosti, ki so značilne za vsako vrsto trikotnika:

• nasproti večje strani vedno obstaja večji kot in obratno;
• nasproti enakih straneh so enaki koti in obratno;
• vsak trikotnik ima dva ostra kota;
• zunanji kot je večji od katerega koli notranjega kota, ki ni v bližini;
• vsota vseh dveh kotov je vedno manjša od 180 stopinj;
• zunanji kot je enak vsoti preostalih dveh kotov, ki ga ne motijo.

Izrek o vsoti kotov trikotnika

Izrek pravi, da če se ujemajo vse kotičke geometrične oblike, ki se nahaja v evklidski ravnini, potem njihova vsota bo 180 stopinj. Poskusimo dokazati to izrek.

Imamo poljuben trikotnik z vertikali CMN. Z vrha M se narišemo naravnost vzporedno s črto CN (ta ravna črta se imenuje tudi evklidska črta). Na njem označimo točko A tako, da sta točki K in A na nasprotnih straneh ravne črte MN. Dobimo enake kotov AMN in CNM, ki kot v notranjosti ležita v križu in tvorita secant MN skupaj z ravnimi črtami KN in MA, ki sta vzporedna. Iz tega sledi, da je vsota kotov trikotnika, ki se nahaja na vertikih M in H, enaka velikosti kota MRA. Vsi trije koti so vsota, ki je enaka vsoti kotov MRA in MKN. Ker so ti koti notranji enostranski glede na vzporedne črte KN in MA s sekantnim CM, je njihova vsota 180 stopinj. Izrek je dokazan.

Posledica

Iz zgornje izreke sledi naslednja sled: vsak trikotnik ima dva akutna kota. Da bi to dokazali, domnevamo, da ima ta geometrijska slika le en akutni kot. Lahko se tudi domneva, da noben od vogalov ni oster. V tem primeru mora biti vsaj dva kota, katerih vrednost je enaka ali večja od 90 stopinj. Ampak potem bo vsota kotov večja od 180 stopinj. In to ne more biti, ker glede na izrek je vsota kotov trikotnika 180 ° - nič več in nič manj. To je bilo potrebno dokazati.

Lastnost zunanjih kotov

Kakšna je vsota kotov trikotnika, ki so zunanji? Odgovor na to vprašanje lahko dobite z uporabo enega od dveh metod. Prvo je, da je treba najti vsoto kotov, ki jih jemlje ena na vsako točko, to je tri vogale. Druga pomeni, da morate najti vsoto vseh šestih vogalov na vrhnjih točkah. Najprej bomo obravnavali prvo možnost. Torej, trikotnik vsebuje šest zunanjih kotov - dva na vsakem vrhu. Vsak par ima enake kotov, ker so navpični:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Poleg tega je znano, da je zunanji kot trikotnika enak vsoti dveh notranjih, ki se z njo ne sekata. Zato,

∟1 = ∟A + ∟ ê, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟ ê.

Iz tega se izkaže, da bo vsota zunanjih kotov, ki so vzeta ena v vsaki verigi, enaka:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟V + ∟V + ∟C = 2 x (∟A + ∟V + ∟С).

Ob upoštevanju dejstva, da je vsota kotov 180 stopinj, lahko trdimo, da ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. In to pomeni, da ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 °. Če se uporabi druga možnost, bo vsota šestih kotov dvakrat večja. To pomeni, da bo vsota zunanjih kotov trikotnika:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Pravokotni trikotnik

Kakšna je vsota kotov pravega trikotnika, ki so ostri? Odgovor na to vprašanje spet izhaja iz izreka, ki trdi, da so koti v trikotniku vsote 180 stopinj. In naša izjava (lastnost) se sliši takole: v pravokotnem trikotniku ostri koti v vsoti dajo 90 stopinj. Naj dokažemo njeno resničnost. Dajte nam trikotnik CMN, za katerega ∟H = 90 °. Potrebno je dokazati, da ∟K + ∟M = 90 °.

Torej, glede na izrek o vsoti kotov ∟K + ∟M + ∟H = 180 °. V našem stanju je rečeno, da ∟H = 90 °. Tako se izkaže, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °. To pomeni: ∟K + ∟M = 180 ° - 90 ° = 90 °. To bi morali dokazati.

Poleg zgoraj opisanih lastnosti pravokotnega trikotnika lahko dodate še naslednje:

• Koti, ki ležijo proti nogam, so ostri;
• Hipotenoza je trikotna bolj kot katerikoli od nog;
• vsota nog je večja od hipotenuze;
• katet trikotnika, ki leži nasproti kotu 30 stopinj, je polovica velikosti hipotenuse, kar je enako njegovi polovici.

Kot drugo znamenje te geometrijske figure lahko ločimo pihagorejsko izrek. Ona trdi, da v trikotniku s kotom 90 stopinj (pravokotne), vsota kvadratov nog enaka kvadrat hipotenuze.

Vsota kotov enakopravnega trikotnika

Pred tem smo rekli, da je isosceles poligon s tremi tockami, ki vsebujejo dve enaki strani. Znana je taka lastnost določene geometrijske slike: enaki so koti na njegovi osnovi. To dokazujemo.

Vzemite trikotnik CMN, ki je enakovreden, CN je njena baza. Dokazati moramo, da je ∟K = ∟H. Torej, recimo, da je magisterij našega trikotnika CMN. Trikotnik MKA s prvim znakom enakosti je enak trikotniku MNA. Namreč, pod pogojem, da je CM = NM, MA je skupna stran, ∟1 = ∟2, saj je MA bilsektor. Z uporabo dejstva enakosti teh dveh trikotnikov lahko trdimo, da je ∟K = ∟H. Zato je izrek izrek.

Ampak nas zanima vsota kotov trikotnika (enakopravna). Ker v tem pogledu nima lastnih singularnosti, začnemo iz izreka, ki smo ga obravnavali prej. To pomeni, da lahko ∟K + ∟M + ∟H = 180 ° ali 2 × ∟K + ∟M = 180 ° (ker ∟K = ∟H). To lastnost ne bomo dokazali, saj je bila izrek o vsoti kotov trikotnika dokazana prej.

Poleg lastnosti, ki se upoštevajo glede kotov trikotnika, imajo tudi pomembne izjave:

• v enakovredna trikotnikova višina, ki je bila izpustljena na dnu, je srednja, dvožilna kota, ki je med enakimi stranmi, in tudi os simetrije njegovo ustanovitev;
• Medijani (bisectrixes, višine), ki so privlečeni na straneh te geometrijske figure, so enaki.

Enostranski trikotnik

Imenuje se tudi prav, to je trikotnik, v katerem so vse strani enake. Zato so enaki tudi koti. Vsak od njih je 60 stopinj. To dokazujemo s to lastnostjo.

Recimo, da imamo trikotnik CMN. Vemo, da KM = HM = KH. In to pomeni, da glede na lastnost kotov, ki se nahajajo na dnu v enakopravnem trikotniku, ∟K = ∟M = ∟H. Ker je v skladu z vsoto kotov trikotnika izreka ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, potem je x 3 = 180 ° ∟K ali ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Tako je trditev dokazana.Kot je razvidno iz zgornje dokazov na podlagi zgoraj izreka, vsota kotov enakostraničnega trikotnika, kot tudi vse druge vsota kotov trikotnika je 180 stopinj. Tej izrek še ni potrebno dokazati.

Obstajajo tudi lastnosti, značilne za enakostranični trikotnik:

• mediana, bisektorja, višina v taki geometrijski sliki sovpada, njihova dolžina pa se izračuna kot (x radik-3): 2;
• če opisujemo krog okrog dane poligone, bo njegov polmer enak (a x radik-3): 3;
• če vpišemo krog v enostranski trikotnik, bo njegov polmer (x radik-3): 6;
• območje te geometrijske figure se izračuna po formuli: (a2 x radik-3): 4.

Tuškotni trikotnik

Po definiciji obtuse trikotnik, eden od njegovih kotov je v območju od 90 do 180 stopinj. Toda glede na to, da sta ostali dve vogali te geometrijske figure ostra, lahko sklepamo, da ne presegajo 90 stopinj. Posledično izrek o vsoti kotov trikotnika deluje pri izračunu vsote kotov v obtočnem trikotniku. Izkazalo se je, da lahko zanesljivo trdimo, da se zanašamo na zgornjo izrek, da je vsota kotov tropskega trikotnika 180 stopinj. Tudi ta izreka ni treba ponoviti.