Primeri indukcije. Metoda matematične indukcije: primeri rešitev

Resnično znanje je vedno temeljilo na vzpostavitvi pravilnosti in dokazovanju njegove resničnosti v določenih okoliščinah. Za tako dolgo obdobje obstoja logičnega sklepanja so bila pravila oblikovana, Aristotle pa je celo pripravil seznam "pravilnega sklepanja". Zgodovinsko gledano je skupno sklepanje razdeliti na dve vrsti - od betona do množine (indukcije) in obratno (deduction). Treba je opozoriti, da vrste dokazov od zasebnih do splošnih in od splošnih do posameznih obstajajo samo v razmerju in jih ni mogoče uporabljati izmenično.

Indukcija v matematiki

Izraz "indukcija" ima latinske korenine in se dobesedno prevaja kot "vodilo". S tesno preučevanjem lahko razlikujemo strukturo besede, in sicer latinsko predpono - in- (označuje usmerjeno delovanje znotraj ali biti znotraj) in - uvajanje - uvod. Treba je opozoriti, da obstajata dve vrsti - popolna in nepopolna indukcija. Za popolno obliko so značilni zaključki, ki izhajajo iz preučevanja vseh predmetov določenega razreda.

Nepopolni - zaključki, ki se uporabljajo za vse predmete razreda, vendar so narejeni na podlagi študije le nekaj enot.

Popolna matematična indukcija je sklep, ki temelji na splošnem zaključku o celotnem sklopu objektov, ki so funkcionalno povezani z razmerji naravnega števila številk na podlagi poznavanja te funkcionalne povezave. Proces dokazovanja poteka v treh fazah:

• prvi dokazuje pravilnost položaja matematične indukcije. Primer: f = 1, to je osnova indukcija;
• Naslednja faza temelji na predpostavki veljavnosti položaja za vsa naravna števila. To pomeni, da je f = h, to je indukcijska hipoteza;
• tretja stopnja dokazuje veljavnost položaja števila f = h + 1 na podlagi pravilnosti položaja prejšnje točke - to je indukcijski prehod ali korak matematične indukcije. Primer je tako imenovani "Domino načelo": če se prva kost pade v vrsto (osnova), potem bodo vse kosti v vrsti (prehod) padle.

In za zabavo in resno

Za preprostost percepcije so primeri reševanja z matematično indukcijsko metodo izpostavljeni v obliki težav s šalami. To je naloga "vljudnega zavijanja":

• Pravila ponašanja prepovedujeta moškim, da bi se obrnili pred žensko (v takšni situaciji je bila sprejeta naprej). Izhajajoč iz te izjave, če je zadnji v vrsti človek, potem so ostali moški.

Presenetljiv primer metode matematične indukcije je problem »brezrazsežnega leta«:

• Dokazati je treba, da je v minibusu postavljeno katero koli število ljudi. Res je, da se lahko ena oseba v notranjem prometu nastani brez težav (osnove). Toda ne glede na to, kako zaseden je minibus, bo vedno en sam potnik (indukcijski korak).

Znani krogi

Primeri rešitve z matematično indukcijo problemov in enačb se pogosto srečujejo. Kot ponazoritev tega pristopa lahko upoštevamo naslednji problem.

Pogoj: na ravnini so h kroge. Potrebno je dokazati, da je za kakršnokoli razporeditev številk, ki jih tvorijo, lahko pravilno barvani z dvema barvama.

Rešitev: za h = 1 je resnica trditve očitna, zato bo dokaz temeljil na številu krogov h + 1.

Predpostavljamo, da izjava velja za katero koli kartico, h + 1 kroge pa so navedene na ravnini. Če odstranite enega od krogov iz vsega, lahko dobite pravilno barvo z dvema barvama (črno-belim) zemljevidom.

Pri obnavljanju izbrisanega kroga se barva vsake regije spremeni v nasprotno (v tem primeru znotraj kroga). Pridobi se zemljevid, pravilno obarvan z dvema barvama, kar je bilo treba dokazati.

Primeri z naravnimi številkami

Spodaj je jasno prikazana uporaba metode matematične indukcije.

Primeri rešitev:

Dokaži, da za vsako h velja naslednja enakost:

1²+2²+3²+hellip- + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

Rešitev:

1. Naj bo h = 1, potem:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Iz tega sledi, da je za h = 1 trditev pravilna.

2. Ob predpostavki, da h = d, dobimo enačbo:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Ob predpostavki, da h = d + 1, dobimo:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²+3²+hellip- + d²+(d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+(D + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Tako je dokazana veljavnost enačbe za h = d + 1, zato je trditev resnična za vsako naravno število, kar je v primeru rešitve prikazano z matematično indukcijo.

Cilj

Pogoj: dokazano je, da za vsako vrednost h izraz 7^h-1 je deljivo s 6 brez ostanka.

Rešitev:

1. Predpostavimo, h = 1, v tem primeru:

R₁= 7¹-1 = 6 (to je, deljivo s 6 brez ostanka)

Zato je za h = 1 veljavna izjava;

2. Recimo, da sta h = d in γ^d-1 je deljivo s 6 brez ostankov;

3. Dokaz veljavnosti trditve za h = d + 1 je formula:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7 ∙ 7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

V tem primeru je prvi izraz deljen s 6 glede na predpostavko prve točke, drugi pa je enak 6. Trditev, da je 7^h-1 je deljivo s 6 brez ostanka za katero koli pozitivno celo število h - je veljavno.

Napaka sodb

Pogosto v argumentih uporabite napačno sklepanje zaradi netočnosti uporabljenih logičnih konstrukcij. V bistvu se to zgodi, ko se krši struktura in logika dokaza. Primer napačnega sklepanja lahko služi kot ilustracija.

Cilj

Pogoj: potrebujete dokaz, da katera koli kup kamnov ni kup.

Rešitev:

1. Predpostavimo, h = 1, v tem primeru kamen 1 kamen in izjava je resnična (osnova);

2. Recimo, da je za h = d res, da kup kamnov ni kup (predpostavka);

3. Naj bo h = d + 1, kar pomeni, da pri dodajanju še enega kamna nabor ne bo kopica. Ugotovitev je, da je predpostavka veljavna za vse naravne h.

Napaka je v dejstvu, da ni definicije, koliko kamnov se oblikuje kup. Takšna opustitev se imenuje hitra generalizacija v metodi matematične indukcije. Primer, ki jasno kaže.

Indukcija in zakoni logike

Zgodovinsko gledano, primeri indukcije in odbitka vedno "hodite z roko v roki." Takšne znanstvene discipline kot logika, filozofija jih opisujejo v obliki nasprotij.

Z vidika zakona logike v induktivnih definicijah se lahko opira na dejstva in resničnost prostorov ne določa pravilnosti nastale trditve. Pogosto se sklepi pridobijo z določeno verjetnostjo in verodostojnostjo, ki jih je seveda treba preveriti in potrditi z dodatnimi raziskavami. Primer indukcije v logiki je lahko izjava:

V Estoniji - suša v Latviji - suša v Litvi - suša.

Estonija, Latvija in Litva so baltske države. V vseh baltskih državah je suša.

Iz primera je mogoče sklepati, da nove metode ali resnica ni mogoče dobiti z indukcijsko metodo. Vse, na kar se lahko računamo, je nekaj možnih resničnosti sklepov. Poleg tega resnica prostorov ne zagotavlja enakih zaključkov. Vendar pa to dejstvo ne pomeni, da se indukcija vegetira na mejah odbitka: ogromno število določb in znanstveni zakoni so upravičene z metodo indukcije. Primer je enaka matematika, biologija in druge znanosti. To je večinoma posledica metode popolne indukcije, v nekaterih primerih pa tudi delne.

Častitljiva doba indukcije ji je omogočila prodor praktično na vsa področja človeške dejavnosti - to je znanost, ekonomija in vsakdanji zaključki.

Indukcija v znanstvenem okolju

Metoda indukcije zahteva natančen odnos, saj je preveč odvisno od števila preučenih podatkov o celoti: večje število preučevanih, bolj zanesljiv rezultat. Iz te značilnosti se znanstveni zakoni, pridobljeni z indukcijo, dolgo časa preverjajo na ravni verjetnostnih predpostavk za izoliranje in proučevanje vseh možnih strukturnih elementov, povezav in vplivov.

V znanosti indukcija temelji na znatnih znakih, z izjemo naključnih položajev. To dejstvo je pomembno v povezavi s posebnostmi znanstvenega znanja. To je jasno razvidno iz primerov indukcije v znanosti.

V znanstvenem svetu obstajata dve vrsti indukcije (v povezavi z metodo študija):

1. izbira indukcije (ali izbira);
2. indukcija je izjema (izločitev).

Prva vrsta se razlikuje po metodični (skromni) izbiri vzorcev razreda (podrazredi) z različnih področij.

Primer indukcije te vrste je naslednji: srebro (ali srebrne soli) čisti vodo. Ugotovitev temelji na dolgotrajnih opazovanjih (vrsta izbire potrditev in zavrnitev - izbira).

Druga vrsta indukcije temelji na sklepih, ki vzpostavljajo vzročne odnose in izključujejo okoliščine, ki ne izpolnjujejo njegovih lastnosti, in sicer univerzalnost, spoštovanje časovnega zaporedja, nujnosti in nedvoumnosti.

Indukcija in odbitka s stališča filozofije

Če pogledate zgodovinsko retrospektivo, je izraz "indukcija" prvič omenil Socrates. Aristotel je opisal primere indukcije v filozofiji v bolj približnem terminološkem slovarju, vendar je vprašanje nepopolne indukcije še vedno odprto. Po preganjanju aristotelskega silogizma je induktivna metoda postala plodna in edina možna v naravoslovju. Oče indukcije kot samostojne posebne metode se obravnava kot Bacon, vendar se mu ni uspelo ločiti, kot to zahtevajo sodobniki, induciranje iz deduktivne metode.

Nadaljnji razvoj indukcije je opravil J. Mill, ki je obravnaval indukcijsko teorijo s položaja štirih osnovnih metod: soglasja, razlike, ostankov in ustreznih sprememb. Ni presenetljivo, da so do sedaj te metode, če so podrobno obravnavane, deduktivne.

Zavedanje neskladnosti teorij Bacona in Milla je vodilo znanstvenike, da bi preučili verjetnostno osnovo indukcije. Toda tudi tukaj ni bilo brez skrajnosti: poskušali smo zmanjšati indukcijo v teorijo verjetnosti z vsemi posledičnimi posledicami.

Glasovanje o indukciji zaupanja se pridobi pri praktični uporabi na določenih predmetnih področjih in zaradi natančne meritve induktivne osnove. Primer induciranja in dedukcije v filozofiji se lahko šteje za zakon univerzalne gravitacije. V času odkritja zakona je Newton uspelo to preveriti s točnostjo 4 odstotke. In ko se preveri po več kot dvesto letih, je bila pravilnost potrjena v 0,0001 odstotku, čeprav je bil preskus izveden z istimi induktivnimi posplošitvami.

Sodobna filozofija posveča več pozornosti do odbitka, ki narekuje logično željo, da odstopi od že znanega in novega znanja (ali resnica), brez zatekanja k izkušenj, intuicije in izraza "čista" razmišljanje. Pri sklicevanju na prave premise v deduktivni metodi je v vseh primerih izhod resnična izjava.

Ta zelo pomembna značilnost ne sme zasenčiti vrednosti induktivne metode. Od indukcije, ki temelji na dosežkih izkušenj, postane sredstvo za njegovo obdelavo (vključno s posploševanjem in sistematizacijo).

Indukcija v gospodarstvu

Indukcija in odbitka sta že dolgo uporabljali kot metode raziskovanja gospodarstva in napovedovanja njenega razvoja.

Spekter uporabe metode indukcijski je precej širok: študija izvajanja kazalnikov napovedi (dobiček, amortizacija, itd ...) in splošni oceni stanja predpriyatiya- oblikovanju učinkovite politike za spodbujanje podjetništva na podlagi dejstev in njihovih odnosov.

Enaka metoda se uporablja za indukcijo "Shewhart kart", kjer pod predpostavko separacijskih procesov na upravljanih in neurejena držav, ki obsega upravlja neaktivnega procesa.

Treba je opozoriti, da so znanstveni zakoni utemeljena in potrjena z metodo indukcije, in kot je ekonomija znanost, pogosto uporabljajo matematične analize, tveganja in statistiko, ni presenetljivo prisotnost indukcije v osnovnem seznamu metod.

Naslednji položaj lahko služi kot primer indukcije in odbitka v gospodarstvu. Povečanje cen prehrambenih izdelkov (iz potrošniške košarice) in osnovnega blaga potrošnika spodbuja k razmišljanju o nastajajočih visokih stroških v državi (indukcija). Hkrati pa je zaradi visokih stroškov z matematičnimi metodami mogoče sklepati o višjih cenah za ločeno blago ali kategorije blaga (odbitka).

Najpogosteje se nanaša na metodo indukcije, vodstveno osebje, menedžerje, ekonomiste. Da bi lahko napovedali razvoj podjetja z zadostno resničnostjo, tržnim vedenjem, posledicami konkurence, je potreben induktivno deduktivni pristop k analizi in obdelavi informacij.

Jasen primer indukcije v gospodarstvu, ki se nanaša na napačne sodbe:

• Dobiček družbe se je zmanjšal za 30% -
  Konkurenčna družba je razširila svojo linijo izdelkov,
  nič drugega se ni spremenilo;
• proizvodna politika konkurenčne družbe povzročila 30-odstotno zmanjšanje dobička;
• zato je treba izvajati isto proizvodno politiko.

Primer je barvita ilustracija, kako neučinkovita uporaba indukcijske metode prispeva k uničenju podjetja.

Odsotnost in indukcija v psihologiji

Ker obstaja metoda, potem logično obstaja tudi pravilno organizirana miselnost (za uporabo metode). Psihologija kot znanost preučuje duševne procese, njihov nastanek, razvoj, odnosi, interakcije, pozoren na "deduktivno" razmišljanje kot eni obliki odbitka in indukcijo. Žal na straneh o psihologiji na internetu praktično ni utemeljitve deduktivno-induktivne integritete. Čeprav so poklicni psihologi bolj verjetni, da bodo naleteli na indukcijo ali pa na napačne zaključke.

Primer indukcije v psihologiji, kot ilustracija napačnih sodb, je izjava: moja mati je zavajala, zato so vse ženske zavajalci. Še več se lahko naučimo iz "napačnih" primerov indukcije iz življenja:

• Študent ni sposoben ničesar, če je prejel maturo v matematiki;
• on je bedak;
• pameten je;
• Vse lahko naredim;

- in številne druge ocenjevalne sodbe, ki izhajajo iz popolnoma naključnih in včasih nepomembnih obljub.

Opozoriti je treba: ko gre za napačno presojo sodbe osebe, se za terapevta pojavijo prednji del dela. Eden od primerov indukcije pri imenovanju specialist:

"Pacient je popolnoma prepričan, da rdeča barva nosi za njega samo nevarnost pri kakršnih koli manifestacijah. Kot posledica tega je oseba iz svojega življenja izključila to barvno shemo - kolikor je mogoče. V domačem okolju obstaja veliko možnosti za udobno življenje. Lahko opustite vse predmete rdeče barve ali jih nadomestite z analogi v drugačni barvni shemi. Toda na javnih mestih, pri delu, v trgovini - to je nemogoče. Ko pride v stresno situacijo, pacient izkusi »plimovanje« popolnoma drugačnih čustvenih stanj, kar je lahko nevarno za druge. «

Ta vzrok indukcije, nezavedno, se imenuje "fiksne ideje". V primeru, da se to zgodi z duševno zdravo osebo, lahko govorimo o pomanjkanju organizacije miselne dejavnosti. Elementarni razvoj deduktivnega razmišljanja lahko postane način, kako se znebiti kompulzivnih držav. V drugih primerih psihiatri delajo s takšnimi bolniki.

Izkazani primeri indukcije pričajo, da "neznanje zakona ne odstopa od posledic (napačne sodbe)".

Psihologi, ki so se ukvarjali s temo deduktivnega razmišljanja, so pripravili seznam priporočil za pomoč ljudem pri obvladovanju te metode.

Prva točka je rešitev težav. Kot je bilo mogoče videti, se oblika poučevanja, ki se uporablja v matematiki, lahko šteje za "klasično", uporaba te metode pa prispeva k "disciplini" uma.

Naslednji pogoj za razvoj deduktivnega razmišljanja je širitev obzorja (kdo jasno misli, jasno navaja). To priporočilo usmerja "bolnike" v znanstvene in informacijske skenerje (knjižnice, spletne strani, izobraževalne pobude, potovanja itd.).

Točnost je naslednje priporočilo. Konec koncev, iz primerov uporabe indukcijskih metod je jasno, da je v mnogih pogledih zagotovilo resničnosti izjav.

Prav tako se je izognila fleksibilnosti uma, kar je pomenilo možnost uporabe različnih načinov in pristopov pri reševanju postavljene naloge, ob upoštevanju spremenljivosti razvoja dogodkov.

In, seveda, opazovanje, ki je glavni vir akumulacije empirične izkušnje.

Ločeno moramo omeniti tako imenovano "psihološko indukcijo". Ta izraz, čeprav redko, lahko najdete na internetu. Vsi viri ne dajejo niti na kratko formulacijo opredelitve tega pojma, ampak se nanaša na "resničnem življenju primeri", kar daje novo vrsto indukcijo predlog, nekatere oblike duševnih bolezni, skrajno stanje človeške psihe. Iz vsega zgoraj navedenega je razvidno, da je poskus, da bi "nov izraz," se opira na lažni (in pogosto neresničnih) pošiljanje obsoja eksperimentator lažno (ali nepremišljenim) odobritev.

Opozoriti je treba, da je sklicevanje na poskusih leta 1960 (brez navedbe kraj, imena preizkuševalci vzorcu predmetov in kar je najpomembnejše - Cilj poskusa) Izgleda, milo rečeno, prepričljiva, in trditev, da možgani zaznava informacije, ne da bi šli skozi vse organe percepcije (stavek "Doživeti vpliv" v tem primeru bi se bolj ekološko ujemala), razmišlja o verodostojnosti in nekritičnosti avtorja izjave.

Namesto sklepanja

Kraljica znanosti - matematika, zavestno uporablja vse možne rezerve metode induciranja in dedukcije. Ti primeri kažejo, da je površno in nesposobno (nepremišljeno, kot pravijo) uporaba celo najbolj natančno in zanesljivo metodo vedno vodi do napačnih rezultatov.

V množični zavesti metode odbitka je povezana z znamenitega Sherlock Holmes, ki je v svojih logičnih konstruktov pogosto uporablja indukcijska primere v pravih situacijah, izkoriščajo odbitka.

Članek je preučil primere uporabe teh metod v različnih vedah in sferah človeške dejavnosti.