Fourierjeva serija: zgodovina in vpliv matematičnega mehanizma na razvoj znanosti

Fourierjeva serija je predstavitev poljubno sprejete funkcije s specifičnim obdobjem v obliki niza. Na splošno se ta rešitev imenuje razširitev elementa po ortogonalni osnovi. Razširitev funkcij v nizu Fourierja je precej močno orodje za reševanje različnih problemov zaradi lastnosti danega preoblikovanja pri integraciji, diferenciaciji in premiku izraza za argument in konvolucijo.

Oseba, ki ni seznanjena z višjo matematiko, in tudi z delom francoskega znanstvenika Fourierja, najverjetneje ne bo razumela, kakšne vrste "činov" in za kaj so. In vendar je ta preobrazba v našem življenju precej gosta. Uporabljajo ga ne samo matematiki, ampak tudi fiziki, kemiki, zdravniki, astronomi, seizmologi, oceanografi in mnogi drugi. Seznanimo se tudi z delom velikega francoskega znanstvenika, ki je odkril pred časom.

Man in Fourierova transformacija

Serije Fourier so ena od metod (skupaj z analizami in drugimi) Fourierova transformacija. Ta proces se zgodi vsakič, ko oseba sliši zvok. Naš uho samodejno pretvori zvočni val. Vibracije gibanja elementarnih delcev v elastičnem mediju se razgradijo v serijo (po spektru) zaporednih vrednosti nivoja glasnosti za tone različnih višin. Nadalje, možgani te podatke pretvarjajo v znane zvoke za nas. Vse to se dogaja poleg naše želje ali zavesti samo po sebi, vendar za razumevanje teh procesov bo trajalo nekaj let za študij višje matematike.

Več o Fourierovi transformaciji

Fourierovo transformacijo lahko izvedemo z analitičnimi, numeričnimi in drugimi metodami. Serije Fourier se nanašajo na numerično metodo razgradnje vibracijskih procesov - od morskih plimovanja in svetlobnih valov do ciklov aktivnosti sončnih (in drugih astronomskih objektov). Z uporabo teh matematičnih tehnik lahko razčlenite funkcije, ki predstavljajo katerikoli oscilacijski proces kot serijo sinusnih elementov, ki se gibljejo od najmanjšega do najvišjega in zadnjega. Fourierjeva transformacija je funkcija, ki opisuje fazo in amplitudo sinusoidov, ki ustrezajo določeni frekvenci. Ta proces se lahko uporabi za reševanje zelo zapletenih enačb, ki opisujejo dinamične procese, ki se pojavljajo pod vplivom toplotne, lahke ali električne energije. Fourierjeve serije prav tako omogočajo izolacijo stalnih komponent v kompleksnih nihajnih signalih, kar omogoča pravilno interpretacijo eksperimentalnih opazovanj, pridobljenih v medicini, kemiji in astronomiji.

Zgodovinsko ozadje

Ustanoviteljica te teorije je francoski matematik Jean Baptiste Joseph Fourier. Njegovo ime je bilo pozneje imenovano ta preobrazba. Na začetku je znanstvenik uporabil svojo metodo za preučevanje in razlago mehanizmov toplotne prevodnosti - širjenja toplote v trdnih delih. Fourier je predlagal, da se lahko začetna nepravilna porazdelitev toplotnega vala razgradi v preproste sinusoide, od katerih bo vsaka imela lastno minimalno in maksimalno temperaturo, pa tudi njegovo fazo. V tem primeru se vsaka taka komponenta meri od najmanjše do največje in obratno. Matematično funkcijo, ki opisuje zgornji in spodnji vrh krivulj, pa tudi fazo vsakega od harmonikov, je bila imenovana Fourierova transformacija izraza za porazdelitev temperature. Avtor teorije je zmanjšal splošno funkcijo porazdelitve, ki jo je težko opisati, v zelo priročno serijo periodične funkcije kosinus in sinus, v vsoti, ki daje začetno porazdelitev.

Načelo preoblikovanja in pogledi sodobnikov

Sodobniki znanstvenikov - vodilnih matematikov iz začetka devetnajstega stoletja - te teorije niso sprejeli. Glavni ugovor je bila trditev Fourierja, da je lahko prekinjena funkcija, ki opisuje ravno črto ali krivuljo pretrganja, predstavljena kot vsota sinusoidnih izrazov, ki so neprekinjeni. Kot primer lahko upoštevamo "korak" Heaviside: njena vrednost je nič na levi od prekinitve, enota pa na desno. Ta funkcija opisuje odvisnost električnega toka od časovne spremenljivke, ko je vezje zaprto. Sodobniki teorije takrat nikoli niso naleteli na podobno situacijo, ko bi bil diskontinuiran izraz opisan s kombinacijo neprekinjenih, navadnih funkcij, kot so eksponentni, sinusni, linearni ali kvadratni.

Kakšne sramote francoskih matematikov v teoriji Fourierja?

Konec koncev, če bi bil matematik v svojih izjavah prav, potem seštevanje neskončne trigonometrične serije Fourierja lahko dobi natančno predstavitev koračnega izraza, čeprav ima več takšnih korakov. V začetku devetnajstega stoletja je bila takšna izjava absurdna. Toda kljub vsem dvomom so mnogi matematiki razširili obseg proučevanja tega pojava in ga presegli meje raziskav toplotne prevodnosti. Vendar pa je večina znanstvenikov še naprej trpela vprašanje: "Ali se lahko vsota sinusoidnih serij konvergira s točno vrednostjo prekinjene funkcije?"

Konvergenca serije Fourierja: primer

Vprašanje zbliževanja se dvigne vsakič, ko je potrebno dodati neskončno število številk. Da bi razumeli ta pojav, razmislimo o klasičnem primeru. Ali lahko kdaj dosežete steno, če je vsak naslednji korak polovica prejšnjega? Recimo, da ste od cilja dva metra, prvi korak vas pripelje do oznake na polovici poti, naslednji - do oznake treh četrtin, po petem pa boste premagali skoraj 97 odstotkov poti. Vendar ne glede na to, koliko korakov vzamete, svojega cilja ne boste dosegli v strogem matematičnem smislu. Z uporabo numeričnih izračunov lahko dokažemo, da se na koncu lahko približamo poljubno majhni vnaprej določeni razdalji. Ta dokaz je enakovreden dokazovanju, da bo skupna vrednost ene sekunde, ene četrtine itd. Težila k enotnosti.

Vprašanje konvergence: drugi prihajajoči ali lordov Kelvinova naprava

To vprašanje je bilo večkrat ponovljeno ob koncu devetnajstega stoletja, ko je bila serija Fourierja poskušala uporabiti intenziteto plimovanja in plimovanja in plimovanja. V tem času je Lord Kelvin izumil napravo, ki je analogna računalniška naprava, ki je jadralcem vojaške in trgovske flote omogočala sledenje temu naravnemu pojavu. Ta mehanizem je med letom določil množice faz in amplitud iz tabele višine plime in ustreznih časovnih točk, ki so bile skrbno izmerjene v pristanišču. Vsak parameter je bil sinusna komponenta višine plime in je bila ena od rednih komponent. Rezultati meritev so bili vneseni v računalniško napravo Kelvin, ki je sintetizirala krivuljo, ki je napovedovala višino vode kot začasno funkcijo za naslednje leto. Kmalu so bile takšne krivulje zbrane za vse pristanišča sveta.

In če je postopek prekinjen s prekinjeno funkcijo?

Takrat se je zdelo očitno, da naprava, ki napoveduje plimski val z velikim številom štetnih elementov, lahko izračuna veliko število faz in amplitud in tako zagotovi natančnejše napovedi. Kljub temu se je izkazalo, da se ta pravilnost ne opazi v tistih primerih, ko je plimski izraz, ki ga je treba sintetizirati, vseboval oster skok, to je, da je bil diskontinuiran. Če se podatki vnesijo v napravo iz tabele časovnih trenutkov, izračuna več Fourierovih koeficientov. Izvirna funkcija je obnovljena zaradi sinusoidnih komponent (v skladu s najdenimi koeficienti). Razlika med izvirnim in obnovljenim izrazom se lahko meri na kateri koli točki. Pri ponavljajočih se izračunih in primerjavah je očitno, da vrednost največje napake ni zmanjšana. Vendar pa so lokalizirani v regiji, ki ustrezajo točki diskontinuitete, in na kateri koli drugi točki se nagibajo k nič. Leta 1899 je ta rezultat teoretično potrdil Joshua Willard Gibbs z univerze Yale.

Konvergenca serije Fourier in razvoj matematike na splošno

Analiza Fourierja se ne uporablja za izraze, ki vsebujejo neskončno število porušitev v določenem intervalu. Na splošno je serija Fourierja, če je izvirna funkcija prikazana z dejansko fizično dimenzijo, vedno konvergirati. Konvergenca tega procesa za določene razrede funkcij je privedla do nastanka novih odsekov v matematiki, na primer teorije splošnih funkcij. Povezan je s takimi imeni kot L. Schwartz, J. Mikusinsky in J. Temple. V okviru te teorije je bil ustvarjen jasen in natančen teoretični okvir za takšne izraze, kot je delta Dirac (opisuje območje ene same površine, koncentrirane v neskončno majhni soseski točke) in Heavisidejevega "koraka". Zaradi tega dela se je serija Fourierja začela uporabljati pri reševanju enačb in problemov, pri katerih se pojavljajo intuitivni koncepti: točkovna obremenitev, točkovna masa, magnetni dipoli in tudi koncentrirana obremenitev na žarek.

Fourierjeva metoda

Serije Fourierja, v skladu z načeli motenj, se začnejo z razpadom kompleksnih oblik v enostavnejše. Sprememba toplotnega toka je na primer posledica prehoda skozi različne ovire iz toplotnoizolacijskega materiala nepravilne oblike ali spremembe zemeljske površine - potresa, spremembe v orbiti nebesnega telesa z vplivom planetov. Praviloma so podobne enačbe, ki opisujejo preproste klasične sisteme, rešene osnovno za vsak posamezen val. Fourier je pokazal, da se preproste rešitve lahko povzamejo, da bi dobili rešitve za bolj kompleksne probleme. Izražena v matematičnem jeziku je serija Fourierjeva tehnika za izražanje izraza z vsoto harmonikov - kosinusnimi in sinusnimi valovi. Zato je ta analiza znana tudi kot "harmonična analiza".

Serija Fourier je idealna tehnika pred "računalniško dobo"

Pred ustvarjanjem računalniške tehnologije je bila Fourierjeva metoda najboljše orožje v arzenalu znanstvenikov pri delu z valovno naravo našega sveta. Serije Fourierja v kompleksni obliki nam omogočajo, da ne rešimo le preprostih problemov, ki jih je mogoče uporabiti za neposredno uporabo zakonov Newtonove mehanike, temveč tudi temeljnih enačb. Večina odkritij Newtonove znanosti iz devetnajstega stoletja je postala mogoča samo zaradi metode Fourierja.

Danes Fourierjeva serija

Z razvojem računalnikov so se Fourierove transformacije dvignile na kvalitativno novo raven. Ta tehnika je trdno utrjena na skoraj vseh področjih znanosti in tehnologije. Primer je digitalni avdio in video signal. Njegova realizacija je postala mogoča samo zaradi teorije, ki jo je razvil francoski matematik v začetku devetnajstega stoletja. Tako je Fourierjev niz v kompleksni obliki omogočil preboj v študiji vesolja. Poleg tega je to vplivalo na študij fizike polprevodniških materialov in plazme, mikrovalovne akustike, oceanografije, radiolokacije, seizmologije.

Trigonometrične Fourierove serije

V matematiki je Fourierova vrsta način predstavitve poljubnih kompleksnih funkcij kot vsote enostavnejših. Na splošno je lahko število takšnih izrazov neskončno. V tem primeru bolj se njihovo število upošteva pri izračunu, bolj natančno se dobi končni rezultat. Najpogosteje se kot najpreprostejši uporabljajo trigonometrične funkcije kosina ali sinusa. V tem primeru se Fourierova serija imenuje trigonometrična, rešitev takšnih izrazov pa je razširitev harmonike. Ta metoda igra pomembno vlogo pri matematiki. Najprej, trigonometrična serija zagotavlja sredstva za sliko, pa tudi študija funkcij, je osnovni aparat teorije. Poleg tega omogoča reševanje številnih problemov matematične fizike. Nazadnje, ta teorija je prispevala k razvoju matematična analiza, je oživel številne zelo pomembne dele matematične znanosti (teorija integralov, teorija periodičnih funkcij). Poleg tega je služil kot izhodišče za razvoj naslednjega teorije: določa, funkcije realne spremenljivke, funkcionalna analiza, in prav tako začela usklajeno analizo.