Temeljni koncept teorije verjetnosti. Zakoni teorije verjetnosti

Mnogi, ki se soočajo s konceptom teorije verjetnosti, so prestrašeni in mislijo, da je to nekaj nad zmogljivostjo, zelo težko. Ampak vse ni res tako tragično. Danes bomo preučili osnovni koncept teorije verjetnosti in se naučili reševati probleme na konkretnih primerih.

Znanost

Kaj proučuje takšno vejo matematike kot "teorijo verjetnosti"? Opazuje vzorce naključni dogodki in količine. Prvič so se znanstveniki zanimali za to vprašanje v osemnajstem stoletju, ko so igrali na srečo. Temeljni koncept teorije verjetnosti je dogodek. To je vsako dejstvo, ki ga ugotavljajo izkušnje ali opazovanje. Toda kakšne so izkušnje? Drug osnovni koncept teorije verjetnosti. To pomeni, da ta okoliščina ni naključno ustvarjena, temveč s posebnim namenom. Kar se tiče opazovanja, potem raziskovalec sam ne sodeluje pri izkušnjah, ampak je preprosto priča o teh dogodkih, nima nikakršnega vpliva.

Dogodki

Naučili smo se, da je osnovni koncept teorije verjetnosti dogodek, vendar ni upošteval razvrstitve. Vsi od njih spadajo v naslednje kategorije:

• Verodostojno.
• Nemogoče.
• Naključno.

Ne glede na to, kateri dogodki so opazovani ali ustvarjeni med poskusom, so vsi predmet te razvrstitve. Predlagamo, da se seznanite z vsako vrsto posebej.

Zanesljiv dogodek

To je takšna okoliščina, pred katero je potreben potreben sklop ukrepov. Da bi bolje razumeli bistvo, je bolje dati nekaj primerov. Ta zakon je predmet fizike, kemije, ekonomije in višje matematike. Teorija verjetnosti vključuje tako pomemben koncept kot zanesljiv dogodek. Vzemimo nekaj primerov:

• Delamo in prejemamo plačilo v obliki plač.
• Izpolnili izpit, opravili tekmovanje, za katerega prejmemo pristojbino v obliki sprejema v izobraževalno ustanovo.
• V banko smo vložili denar, po potrebi pa jih bomo vrnili nazaj.

Takšni dogodki so zanesljivi. Če bomo izpolnili vse potrebne pogoje, bomo zagotovo dobili pričakovani rezultat.

Nemogoči dogodki

Zdaj razmišljamo o elementih teorije verjetnosti. Predlagamo, da nadaljujemo z razlago naslednje vrste dogodka, in sicer nemogočega. Najprej se pogovorimo o najpomembnejšem pravilu - verjetnost nemogočega dogodka je nič.

Iz te formulacije se ne morete umakniti pri reševanju težav. Za razlago podajamo primere takšnih dogodkov:

• Voda se je zamrznila pri temperaturi plus deset (to je nemogoče).
• Odsotnost električne energije nikakor ne vpliva na proizvodnjo (prav tako nemogoče, kot v prejšnjem primeru).

Več primerov ne bi smeli dajati, kot je opisano zgoraj, zelo jasno odražajo bistvo te kategorije. Med poskusom se pod nobenim pogojem nikoli ne bo zgodilo.

Naključni dogodki

Pri proučevanju elementov teorije verjetnosti je treba posebno pozornost nameniti tej vrsti dogodka. So tisti, ki preučujejo to znanost. Kot rezultat izkušenj se lahko nekaj zgodi ali ne. Poleg tega se lahko preskus izvede neomejeno številokrat. Močni primeri so:

• Kovanec kovanca je izkušnja, ali test, orel je dogodek.
• Vlečenje žoge iz vrečke slepo - test, rdeča kroglica je bila ujeta - ta dogodek in tako naprej.

Takšni primeri so lahko neomejeno število, toda na splošno mora biti bistvo jasno. Za povzemanje in sistematizacijo pridobljenega znanja o dogodkih je podana tabela. Teorija verjetnosti proučuje le zadnjo vrsto vseh predstavljenih.

Zakoni

Teorija verjetnosti je znanost, ki proučuje možnost opustitve dogodka. Kot drugi, ima nekaj pravil. Obstajajo naslednji zakoni teorije verjetnosti:

• Konvergenca zaporedij naključnih spremenljivk.
• Zakon velikih števil.

Pri izračunu možnosti zapletenega lahko uporabimo kompleks preprostih dogodkov, da dosežemo rezultat na enostavnejši in hitrejši način. Opažamo, da se zakoni teorije verjetnosti lahko dokažejo z določenimi izrekami. Predlagamo, da se najprej seznanimo s prvim zakonom.

Konvergenca zaporedij naključnih spremenljivk

Upoštevajte, da obstaja več vrst konvergence:

• Zaporedje naključnih spremenljivk je konvergentno v verjetnosti.
• Skoraj nemogoče.
• Srednja kvadratna konvergenca.
• Konvergenca v distribuciji.

Torej, na letalu je zelo težko priti do točke. Tukaj so definicije, ki vam bodo pomagale razumeti to temo. Za začetek, prvi pogled. Zaporedje se imenuje konvergentna v verjetnosti, če je izpolnjen naslednji pogoj: n nagiba v neskončnost, število, do katerega je zaporedje nagnjeno, je večje od nič in je blizu enotnosti.

Nadaljujemo z naslednjo obliko, skoraj zagotovo. Rečeno je, da se sekvenca konvergira skoraj zagotovo na naključno spremenljivko pri n, ki se nagiba v neskončnost, in P se približuje vrednosti, ki je blizu enotnosti.

Naslednji tip je konvergenčni srednji kvadrat. Ko uporabljamo SC-konvergenco, se študija vektorskih naključnih procesov zmanjša na študijo njihovih koordinatnih naključnih procesov.

Zadnji tip ostane, kratek si ga oglejmo in pojdimo neposredno na reševanje težav. Konvergenca v distribuciji ima drugo ime - "šibko", dodatno pojasnite, zakaj. Slaba konvergenca Je konvergenca porazdelitvenih funkcij na vseh točkah kontinuitete omejevalne funkcije porazdelitve.

Ne pozabite izpolniti obljube: šibka konvergenca se razlikuje od vsega zgoraj, ker naključna spremenljivka ni definirana na verjetnem prostoru. To je mogoče, ker je stanje oblikovano izključno z uporabo distribucijskih funkcij.

Zakon velikih števil

Odlični teoretiki v dokazu tega zakona bodo teorema teorije verjetnosti, kot so:

• Chebysheva neenakost.
• Chebyshevov izrek.
• Generaliziran Chebyshevov izrek.
• Markov izrek.

Če upoštevamo vse te izreke, lahko to vprašanje zamuja več deset listov. V naši državi je glavna naloga v praksi uporabiti teorijo verjetnosti. Predlagamo vam, da to naredite takoj. Toda pred tem bomo upoštevali aksiome teorije verjetnosti, bodo glavni pomočniki pri reševanju problemov.

Aksiomi

Od prvega smo se že srečali, ko smo govorili o nemogočem dogodku. Naj spomnimo: verjetnost nemogočega dogodka je nič. Primer, ki smo ga dali, je bil zelo svetel in nepozaben: sneg je padel pri temperaturi zraka 30 stopinj Celzija.

Drugi zveni takole: zanesljiv dogodek se pojavi z verjetnostjo, enako eni. Zdaj pa pokažimo, kako je to mogoče napisati z uporabo matematičnega jezika: P (B) = 1.

Tretjič: naključni dogodek se lahko pojavi ali ne, vendar se možnost vedno spreminja od nič do ene. Bolj ko je vrednost enotnost, večja je verjetnost, če se vrednost približa nič, verjetnost je zelo majhna. To zapišemo v matematičnem jeziku: 0

Razmislimo o zadnji, četrti aksiom, ki se glasi: verjetnost vsote dveh dogodkov je enaka vsoti njihovih verjetnosti. Pišemo ga v matematičnem jeziku: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksiomi teorije verjetnosti so najpreprostejša pravila, ki jih je mogoče enostavno zapomniti. Poskusimo rešiti nekatere težave, ki se opirajo na že pridobljeno znanje.

Loterija

Najprej si oglejmo najpreprostejši primer - loterijo. Predstavljajte si, da ste za srečo kupili eno loterijsko karto. Kakšna je verjetnost, da boste zmagali vsaj dvajset rubljev? Skupaj obtok je vključen v tisoč vstopnic, od katerih ima nagrado v višini pet sto rubljev, deset sto rubljev, dvajset in petdeset rubljev, in sto - pet. Težave v teoriji verjetnosti temeljijo na iskanju možnosti za uspeh. Zdaj bomo skupaj analizirali rešitev zgornje naloge.

Če z črko A označimo dobitke petsto rubljev, potem je verjetnost izgube A 0,001. Kako smo dobili to? Potrebno je samo število "srečnih" vozovnic, deljeno s skupnim številom (v tem primeru: 1/1000).

V - to je dobiček sto rubljev, verjetnost bo 0,01. Zdaj smo ravnali po istem načelu kot v preteklosti (10/1000)

C - zmaga je enaka dvaindvajset rubljev. Verjamemo, da je enaka 0,05.

Ostale vstopnice nam ne zanimajo, saj je njihov nagradni sklad manjši od tistega, ki je določen v pogojih. Uporabite četrto aksiom: verjetnost osvojitve vsaj dvajset rubljev je P (A) + P (B) + P (C). Pismo P pomeni verjetnost izvora tega dogodka, ki smo jih že našli v prejšnjih dejanjih. Še vedno je treba dodati potrebne podatke, v odgovoru dobimo 0,061. Ta številka bo odgovor na vprašanje o dodelitvi.

Krovska kartica

Težave v teoriji verjetnosti so bolj zapletene, na primer naredimo naslednjo nalogo. Preden si krov trideset šest kart. Vaša naloga je, da pripravite dve karti zaporedoma brez mešanja sklada, prva in druga karta morata biti asi, obleka ni pomembna.

Najprej bomo našli verjetnost, da bo prva kartica ace, saj to delimo štiri s trideset in šestimi. Odložili so ga. Dobimo drugo karto, to bo as, z verjetnostjo tri trideset pet. Verjetnost drugega dogodka je odvisna od kartice, ki smo jo najprej potegnili, sprašujemo se, ali je bil to asistent ali ne. Iz tega sledi, da je dogodek B odvisen od dogodka A.

Naslednji korak najdemo verjetnost sočasnega izvajanja, kar pomeni, pomnožite A in B. Njihovo delo je, kot sledi: verjetnost za en dogodek, pomnoženo s pogojno verjetnostjo drugega, smo izračunali, ob predpostavki, da je prišlo do prvega dogodka, to je prva kartica smo potegnil asa.

Da bi vse postalo jasno, bomo dali oznako elementu, kakršen je pogojna verjetnost dogodki. Izračuna se, ob predpostavki, da je prišlo do dogodka A. Izračunano na naslednji način: P (B / A).

Nadaljujemo z reševanjem našega problema: P (A_*B) = P (A)_*P (B / A) ali P (A_*B) = P (B)_*P (A / B). Verjetnost je (4/36)_*((3/35) / (4/36). Izračunajte, zaokrožite na najbližjo stotino. Imamo: 0.11_*(0,09 / 0,11) = 0,11_*0,82 = 0,09. Verjetnost, da bova pripravili dva asa zaporedoma, je enaka devetim stotinam. Vrednost je zelo majhna, zato je verjetnost izvora dogodka izredno majhna.

Pozabljena številka

Predlagamo, da razstavite še nekaj variant nalog, ki jih študija teorije verjetnosti. Primeri rešitev nekaterih izmed tistih, ki ste jih videli v tem članku, poskušajo rešiti naslednji problem: Fant je pozabil telefonsko številko za zadnjo številko svojega prijatelja, a ker je bil klic zelo pomembno, nato pa se je začela, da poberem vsak po vrsti. Izračunati moramo verjetnost, da bo poklical le trikrat. Rešitev problema je najpreprostejša, če so znana pravila, zakoni in aksiomi teorije verjetnosti.

Preden se lotite rešitve, poskusite sami rešiti. Vemo, da je lahko zadnja številka od nič do devet, to je samo deset vrednosti. Verjetnost, da vnesete želeno, je 1/10.

Nato moramo razmisliti o variantah izvora dogodka, domnevati, da je fant uganil in takoj vnesel v desno, verjetnost takega dogodka je 1/10. Druga možnost: prvi klic je miss, drugi je na tarči. Izračunajte verjetnost takega dogodka: 9/10 pomnožimo z 1/9, na koncu pa dobimo tudi 1/10. Tretja možnost: prvi in ​​drugi klic ni bil na naslovu, le od tretjega fanta je dobil, kjer je hotel. Izračunamo verjetnost takega dogodka: 9/10 pomnožimo z 8/9 in 1/8, zato dobimo 1/10. Druge variante nas ne zanimajo za pogoj problema, zato moramo dodati rezultate, na koncu pa imamo 3/10. Odgovor: verjetnost, da bo deček poklical ne več kot trikrat, je 0,3.

Kartice s številkami

Preden imate devet kartic, od katerih je vsak napisan s številko od enega do devet, se številke ne ponovijo. Postavili so jih v škatlo in temeljito pomešali. Morate izračunati verjetnost, da

• bo tudi število,
• dvomestna.

Preden preidemo na rešitev, recimo, da je m število uspešnih primerov, n pa skupno število možnosti. Najdemo verjetnost, da bo številka enaka. Ne bo težko izračunati, da obstajajo celo štiri številke, to bo naše m, morda bo devet variant, to je m = 9. Potem je verjetnost 0,44 ali 4/9.

Razmislimo o drugem primeru: število možnosti je devet in ne more biti nobenih uspešnih rezultatov, torej m je enako nič. Verjetnost, da bo podolgovata kartica vsebovala dvomestno številko, je tudi nič.