Geometrijsko napredovanje. Primer z raztopino

Menimo, da imamo določeno serijo.

7 28 112 448 1792 ...

Precej je jasno, da je vrednost katerega koli njegovega elementa štirikrat večja od prejšnje. Zato je ta serija progresija.

Geometrijsko napredovanje je neskončno zaporedje številk, katere glavna značilnost je, da je naslednje število pridobljeno iz prejšnjega z množenjem z določeno številko. To se izrazi z naslednjo formulo.

a_z+1= a_zmiddot-q, kjer je z številka izbrane postavke.

V skladu s tem z isin-N.

Obdobje, ko se v šoli proučuje geometrijsko napredovanje, je razred 9. Primeri vam bodo pomagali razumeti koncept:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 2 ...

Izhajajoč iz te formule, imenovalec napredovanja lahko najdemo takole:

Niti q niti b_z ne more biti nič. Tudi vsak element število serij napredovanje ne sme biti nič.

V skladu s tem, da bi našli naslednje število vrstic, moramo zadnjo pomnožiti z q.

Če želite določiti to napredovanje, morate določiti svoj prvi element in imenovalec. Po tem je mogoče najti kateri koli od naslednjih članov in njihovo vsoto.

Sorte

Odvisno od q in a_1, ta napredek je razdeljen na več vrst:

• Če je₁, in q je večja od ene, potem je taka zaporedje geometrijsko napredovanje, ki se poveča z vsakim naslednjim elementom. Primer tega je predstavljen spodaj.

Primer: a₁= 3, q ​​= 2 - oba parametra sta večja od ene.

Potem lahko numerično zaporedje zapišemo kot:

3 4 5 6 7 8 ...

• Če je | q | manj kot eno, tj. množenje z njim je enakovredno delitvi, potem je napredovanje s podobnimi pogoji upadajoča geometrijska napredovanja. Primer tega je predstavljen spodaj.

Primer: a₁= 6, q = 1/3 - a₁ več kot ena, q - manj.

Nato lahko zapišemo numerično zaporedje tako:

6 2 2/3 ... - kateri koli element je večji od elementa, ki sledi, 3-krat.

• To je izmenično. Če je q<0, potem se znaki zaporednih številk nenehno spreminjajo ne glede na a₁, elementi pa se ne povečujejo ali zmanjšujejo.

Primer: a₁ = -3, q = -2 - oba parametra sta manjši od nič.

Potem lahko numerično zaporedje zapišemo kot:

-3, 6, -12, 24, ...

Formule

Za priročno uporabo geometrijskih progresij obstaja veliko formul:

• Formula zeth termina. Omogoča, da izračunate element, ki je pod določenim številom, ne da bi izračunali prejšnje številke.

Primer: q = 3, a₁ = 4. Izračunati je treba četrti element napredovanja.

Rešitev: a₄ = 4 middot- 3^4-1= 4 middot-3³ = 4 middot- 27 = 108.

• Vsota prvih elementov, katerih število jez. Omogoča vam, da izračunate vsoto vseh elementov zaporedja a_z vključujoč.

Ker (1-q) v imenovalec, potem (1-q) ne-0, zato q ni enak 1.

Opomba: če je q = 1, bi bilo napredovanje serija neskončno ponavljajočih se številk.

Vsota geometrijskega napredovanja, primeri: a₁ = 2, q = -2. Izračunajte S₅.

Rešitev: S₅ = 22 - izračun s formulo.

• Vsota, če |q| | < 1 in če se z nagiba v neskončnost.

Primer: a₁ = 2_, q = 0,5. Poiščite vsoto.

Rešitev: S_z = 2middot- = 4

Če štejete vsoto več članov ročno, lahko vidite, da se resnično nagiba na štiri.

S_z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Nekatere lastnosti:

• Karakteristična lastnost. Če je naslednji pogojse izvaja za katero koli z, potem je navedena numerična serija geometrijsko napredovanje:

a_z²= a_z-1middot- a_{z + 1}

• Podobno je tudi kvadrat poljubnega števila geometrijskega napredovanja z dodajanjem kvadratov dveh drugih polj v določeni vrsti, če so enako oddaljeni od tega elementa.

a_z² = a_z-t² + a_z+t², kjer t - razdalja med temi številkami.

• Elementi se razlikujejo po q krat.
• Logaritmi elementov napredovanja tudi tvorijo napredovanje, vendar že aritmetično, to je, da je vsaka od njih za določeno število večja od prejšnje.

Primeri nekaterih klasičnih problemov

Da bi bolje razumeli, kakšen je geometrijski napredek, lahko pomagajo primeri z rešitvijo za razred 9.

• Pogoji: a₁ = 3, a₃ = 48. Najdi q.

Rešitev: vsak nadaljnji element je večji od prejšnjega v qkrat. Nekatere elemente je treba izraziti prek drugih, ki uporabljajo imenovalec.

Zato, a₃ = q²middot-a₁

Pri zamenjavi q=4

• Pogoji: a₂ = 6, a₃ = 12. Izračunajte S₆.

Rešitev: Če želite to narediti, zadošča, da bi našli q, prvi element in ga nadomestite v formuli.

a₃ = qmiddot-a₂, zato, q = 2

a₂ = qmiddot-a₁, zatoa₁ = 3

S₆ = 189

• middot- a₁ = 10, q = -2. Poiščite četrti element napredovanja.

Rešitev: za to zadostuje, da izrazi četrti element skozi prvi in ​​skozi imenovalec.

a₄ = q³middot-a₁ = -80

Primer aplikacije:

• Stranka banke je prispevala v višini 10.000 rublejev, pod pogoji, po katerih se vsako leto naročniku dodeli znesek v višini 6%. Koliko denarja bo na računu v 4 letih?

Sklep: začetni znesek je 10 tisoč rubljev. Zato bo eno leto po deponiranju znesek znašal 10.000 + 10.000middot-0,06 = 10000 middot- 1.06

Skladno s tem se znesek na računu v drugem letu izrazi kot sledi:

(10000 middot-1.06) middot- 0,06 + 10.000 middot- 1,06 = 1,06 middot- 1.06 middot- 10000

To pomeni, da se vsako leto poveča za 1,06-krat. Zato, da bi našli številko računa po 4 letih, je dovolj, da bi našli še četrto napredovanje element, ki se daje prvi del v višini 10 tisoč evrov, in imenovalec v višini 1,06.

S = 1.06middot-1.06middot-1.06middot-1.06middot-10000 = 12625

Primeri nalog za izračun vsote:

V različnih težavah se uporablja geometrijsko napredovanje. Primer iskanja zneska je mogoče določiti na naslednji način:

a₁ = 4, q = 2, izračunajte S₅.

Rešitev: vsi podatki, potrebni za izračun, so znani, jih morate le nadomestiti v formuli.

S₅= 124

• a₂ = 6, a₃ = 18. Izračunajte vsoto prvih šestih elementov.

Rešitev:

V geomu. vsakega naslednjega elementa je večji od prejšnjega v q-krat, to je, da izračunamo vsoto, je treba poznati element a₁ in imenovalec q.

a₂middot-q = a₃

q = 3

Podobno ga je treba najti a₁, vedeti a₂ in q.

a₁middot-q = a₂

a₁ = 2

In še dovolj, da nadomestimo znane podatke v formuli vsote.

S₆= 728.