Aritmetično napredovanje

Težave na aritmetični progresiji so obstajale že v antičnih časih. Pojavili so se in zahtevali rešitve, ker so imeli praktično potrebo.

Na primer, v eni od papirusov iz starega Egipta, ki ima matematično vsebino, - papirusa Rhind (XIX stoletja pred našim štetjem) - vsebuje tak problem: razdeli deset ukrepov žita za deset ljudi, pod pogojem, če je razlika med vsako od njih je ena osmina ukrepov ".

In v matematičnih delih starodavnih Grkov obstajajo elegantne teoreme, povezane z aritmetično napredovanjem. Torej, latvijska Aleksandrija (II. Stoletje BC), v višini veliko zanimivih nalog in dodal štirinajst knjig na "začetek" Evklid oblikovala ideja: "V aritmetično napredovanje ima tudi število članov, znesek članov v drugi polovici več kot vsota prvih članov do večkrat na kvadrat 1/2 od števila izrazov. "

Vzamemo poljubno serijo naravno število (večja od nič): 1, 4, 7, hellip-n-1, n, hellip-, ki se imenuje numerično zaporedje.

Označuje zaporedje an. Številke zaporedja se imenujejo njeni člani in se navadno označujejo s črkami z indeksi, ki označujejo redno število tega člana (a1, a2, a3 hellip-se glasi: "1.", "2.", "3-v" in tako naprej).

Zaporedje je lahko neskončno ali končno.

In kaj je aritmetično napredovanje? Pod njim razumejo zaporedje številk, dobljen z dodajanjem prejšnjega izraza (n) z isto številko d, kar je razlika v napredovanju.

Če d<0, potem se zmanjšuje napredovanje. Če je d> 0, velja, da se takšno napredovanje povečuje.

Aritmetično napredovanje naj bi bilo končno, če upoštevamo le nekaj njegovih prvih izrazov. Z zelo velikim številom članov je to neskončno napredovanje.

Vsaka aritmetična napoved je podana z naslednjo formulo:

an = kn + b, pri čemer sta b in k nekaj številk.

Izjava, ki je obratna, je popolnoma res: če je zaporedje podano s podobno formulo, potem je to ravno aritmetična progresija, ki ima lastnosti:

1. Vsak član napredovanja je aritmetična sredina prejšnjega in naslednji.
2. Nasprotno, če je, od začetka drugič, vsak izraz aritmetična sredina prejšnjega izraza in naslednji, tj. če je pogoj izpolnjen, potem je to zaporedje aritmetično napredovanje. Ta enakost je tudi znak napredovanja, zato se ga praviloma imenuje značilna lastnost napredovanja.
   Podobno je izrek, ki odraža to lastnost, resničen: zaporedje je aritmetično napredovanje samo, če je ta enakost enaka za katerikoli od izrazov zaporedja, začenši z 2..

Karakteristično lastnost za vsa štiri števila aritmetične progresije lahko izrazimo s formulo a + am = ak + al, če je n + m = k + l (m, n, k število napredovanja).

V aritmetičnem napredovanju lahko najdemo vse potrebne (N-ti) izraze z uporabo naslednje formule:

an = a1 + d (n-1).

Na primer: podan je prvi izraz (a1) v aritmetični progresiji in je enak tri, razlika (d) pa je enaka štiri. Poiščite štirideset petega člana tega napredovanja. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formula an = ak + d (n - k) nam omogoča, da določimo nth izraz aritmetičnega napredovanja skozi katerega koli od njegovih k-ti izrazov, če je znano.

Vsota izrazov aritmetične progresije (mislimo prvih n izrazov končnega napredovanja) se izračuna na naslednji način:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Če je razlika med aritmetično napovedjo in prvim izrazom znana, potem je druga formula primerna za računanje:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Vsota aritmetičnega napredovanja, ki vsebuje n izrazov, se izračuna tako:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Izbira formul za izračun je odvisna od pogojev nalog in začetnih podatkov.

Naravna serija poljubnih številk, kot je 1,2,3, ..., n, ... je najpreprostejši primer aritmetične progresije.

Poleg aritmetičnega napredovanja je tudi geometrijsko napredovanje, ki ima svoje lastnosti in značilnosti.