Geometrijsko napredovanje in njegove lastnosti

Geometrijsko napredovanje je pomembno v matematiki kot znanosti in v uporabljenem pomenu, saj ima zelo široko področje uporabe, tudi v višja matematika, recimo, v teoriji serij. Prve informacije o napredovanju so nas dosegle iz starodavnega Egipta, zlasti v obliki znane naloge iz papira Rhinda o sedmih osebah s sedmimi mačkami. Različice te naloge so bile v različnih časih večkrat ponovljene v drugih državah. Tudi veliki Leonardo iz Pise, bolj znan kot Fibonacci (XIII stoletje), se je obrnil k njej v svoji knjigi Abakusa.

Tako, da ima geometrično napredovanje starodavno zgodovino. To predstavlja številčno sekvenco z neničelno prvega elementa, in vsaka nadaljnja, začenši z drugim se določi tako, da se prejšnji ponavljanja formulo pri konstantni, različen od nič številko, ki se imenuje imenovalec napredovanje (običajno označeni z črko Q).
Očitno ga lahko najdemo tako, da vsak zaporedni član zaporedja deli s prejšnjim, to je z 2: z 1 = ... = z n: z n-1 = .... Zato je za določitev napredovanja (z n) dovolj, da je znana vrednost njenega prvega izraza y 1 in imenovalca q.

Predpostavimo, na primer, da z 1 = 7, q = - 4 (q < 0), dobimo naslednjo geometrijsko napredovanje: 7, - 28, 112, - 448, .... Kot smo videli, dobljena sekvenca ni monotona.

Spomnimo se, da je poljubna zaporedja monotonična (narašča / zmanjšuje), kadar je vsak njegov zaporedni izraz večji / manj kot prejšnji. Na primer, sekvence 2, 5, 9, ... in -10, -100, -1000, ... so monotone, od katerih je druga padajoča geometrijska napredovanja.

V primeru, ko je q = 1, so v napredovanju vsi izrazi enaki in se imenujejo konstantni.

Za to, da je zaporedje tovrstno napredovanje, mora izpolnjevati naslednji potrebni in zadostni pogoj, in sicer: od drugega, mora biti vsak od njegovih članov geometrična sredina sosednjih izrazov.

Ta lastnost nam omogoča, da najdemo poljuben izraz napredovanja dveh znanih bližnjih.

N-ti izraz geometrijskega napredovanja zlahka najdemo iz formule: z n = z 1 * q ^ (n-1), poznamo prvi izraz z 1 in imenovalec q.

Od leta numerično zaporedje ima vsoto, nekaj preprostih izračunov nam bo dalo formulo, ki nam omogoča, da izračunamo vsoto prvih izrazov napredovanja, in sicer:

S n = - (z n * q - z 1) / (1 - q).

Zamenjava vrednosti z n v formuli z izrazom z 1 * q ^ (n-1) dobimo drugo formulo vsote tega napredovanja: S n = - z1 * (q ^ n-1) / (1-q).

Vredno pozornost je zanimivo naslednje: gline tablice, najdene med izkopavanji Ancient Babylon, ki sega v VI. BC, presenetljivo vsebuje vsoto 1 + 2 + 22 + ... + 29, kar je enako 2 v deseti stopnji minus 1. Rešitev tega pojava še ni bila najdena.

Opazujemo še eno lastnost geometrijskega napredovanja - konstantni produkt njegovih izrazov, razmaknjenih na enaki razdalji od koncev zaporedja.

Poseben pomen z znanstvenega vidika je pojem neskončne geometrijske progresije in izračun njegove vsote. Ob predpostavki, da je (y n) geometrijska progresija z imenomatorjem q, ki izpolnjuje pogoj | q |< 1, potem je njegova vsota meja, do katere vsota njegovih prvih izrazov, ki nam je znana, nagiba, z neomejenim povečanjem n, to je, ko se približuje neskončnosti.

Poiščite ta znesek na koncu s pomočjo formule:

S n = y 1 / (1 - q).

In, kot je pokazala praksa, je za navidezno preprostostjo tega napredovanja skrit velik uporaben potencial. Če na primer zgradimo zaporedje kvadratov z naslednjim algoritmom, ki povezuje središčne točke strani prejšnjega, potem njihova področja tvorijo neskončno geometrijsko napredovanje z imenomatorjem 1/2. Enako napredovanje oblikuje območje trikotnikov, ki se dobijo v vsaki fazi gradnje, njegova vsota pa je enaka površini prvotnega kvadrata.