Aksiomatska metoda: opis, faze tvorbe in primeri

Aksiomatska metoda je metoda izdelave znanstvenih teorij, ki so že bile vzpostavljene. Osnova temelji na argumentih, dejstvih, izjavah, ki ne zahtevajo dokazov ali zavrnitev. Dejansko je ta različica znanja predstavljena v obliki deduktivne strukture, ki na začetku vključuje osnovo za vsebino temeljev - aksiomi.

Ta metoda ne more biti odprtje, temveč le klasifikacijski koncept. Primernejša je za poučevanje. V jedru so začetne predpostavke, ostale informacije pa sledijo kot logična posledica. Kje je aksiomatska metoda konstruiranja teorije? Leži v strukturi najsodobnejših in uveljavljenih znanosti.

Oblikovanje in razvoj koncepta aksiomatske metode, definiranje besede

Prvič, ta koncept je izviral iz antične Grčije, zahvaljujoč Euclidu. Postal je ustanovitelj aksiomatske metode v geometriji. Danes je to navadno v vseh znanostih, predvsem pa v matematiki. Ta metoda se oblikuje na podlagi ugotovljenih izjav, poznejše teorije pa izhajajo iz logične konstrukcije.

To je razloženo takole: obstajajo besede in koncepti, ki so opredeljeni z drugimi koncepti. Kot rezultat, so raziskovalci prišli do zaključka, da obstajajo osnovni zaključki, ki so upravičeni in so trajni - osnovni, to je aksiomi. Na primer, kadar dokazujejo izrek, se običajno opirajo na že ugotovljena dejstva in ne zahtevajo zavrnitve.

Toda pred tem so morali biti upravičeni. V procesu se izkaže, da se neeksplodirana izjava vzame kot aksiom. Na podlagi niza konstante dokazujejo druge teoreme. So osnova planimetrije in so logična struktura geometrije. Ustanovljeni aksiomi v tej znanosti so opredeljeni kot predmeti katere koli narave. Imajo pa lastnosti, ki so označene v trajnih konceptih.

Nadaljnje študije aksiomov

Metoda je veljala za idealno do devetnajstega stoletja. Logična sredstva za iskanje osnovnih pojmov v teh časih niso proučevali, vendar pa v evklidskem sistemu opazujemo strukturo pridobivanja pomembnih posledic iz aksiomatske metode. Raziskovalni znanstvenik je pokazal idejo o tem, kako pridobiti celoten sistem geometrijskega znanja na podlagi povsem deduktivne poti. Ponudili so jim relativno majhno število odobrenih aksiomov, ki so vizualno resnični.

Zasluga starih grških umov

Euclid je dokazal številne koncepte, nekateri so upravičeni. Vendar pa večina pripisuje te zasluge Pythagorasu, Democritusu in Hipokratu. Slednji je sestavil celoten potek geometrije. Vendar pa je kasneje v Aleksandriji prišla zbirka "Začetek", avtorica katerega je bil Euclid. Nato se je preimenovala v "Elementarna geometrija". Po nekaj časa je bil kritičen zaradi nekaterih razlogov:

• vse vrednosti so bile zgrajene le s pomočjo ravnila in kompasa;
• Geometrija in aritmetika sta bila ločena in dokazana z ustreznim upoštevanjem razumnih števil in pojmov;
• aksiomi, nekateri od njih, zlasti peti, so predlagali črtanje s splošnega seznama.

Posledično se v devetnajstem stoletju pojavlja neevklidska geometrija, v kateri ni objektivno resničnega postulata. Ta ukrep je spodbudil nadaljnji razvoj geometrijskega sistema. Tako so matematični raziskovalci prišli do deduktivnih metod gradnje.

Razvoj matematičnih znanj na osnovi aksiomov

Ko se je začel razvijati novi sistem geometrije, se je spremenila tudi aksiomatska metoda. V matematiki so se začeli pogosteje obračati na čisto deduktivno konstrukcijo teorije. Posledično se je pojavil celoten sistem dokazov v sodobni numerični logiki, ki je glavna veja celotne znanosti. Matematična struktura je začela razumeti potrebo po utemeljitvi.

Tako so se do konca stoletja oblikovale jasne naloge in konstrukcija kompleksnih pojmov, ki so se iz kompleksne teoreme zmanjšale na najpreprostejšo logično trditev. Tako je neevklidska geometrija spodbudila trdno podlago za nadaljnji obstoj aksiomatske metode, pa tudi za reševanje splošnih problemov matematičnih konstrukcij:

• doslednost;
• popolnost;
• neodvisnost.

V procesu se je pojavilo in uspešno razvilo metodo interpretacije. Ta metoda je opisana takole: za vsak izhodni koncept je matematični predmet v teoriji, katere vsota se imenuje polje. Izjava o določenih elementih je lahko napačna ali resnična. Posledično so trditve podana glede na ugotovitve.

Posebnosti teorije interpretacije

Praviloma se polje in lastnosti proučujejo tudi v matematičnem sistemu, ki pa lahko postane aksiomatsko. Tolmačenje dokazuje izjave, v katerih obstaja relativna konsistenca. Dodatna možnost je več dejstev, v katerih teorija postane protislovna.

Dejansko je pogoj izpolnjen v več primerih. Zato se izkaže, da če sta v izjavah ene od izjav obstajata dva lažna ali resnična koncepta, potem se štejeta za negativna ali pozitivna. S to metodo je bila dokazana konsistenca evklidske geometrije. Z metodo interpretacije je mogoče rešiti problem neodvisnosti sistemov aksiomov. Če je treba zavrniti teorijo, je dovolj dokazati, da eden od konceptov ni izpeljan iz drugega in je napačen.

Vendar pa ima skupaj z uspešnimi izjavami nekaj pomanjkljivosti. Doslednost in neodvisnost sistemov aksiomov so rešena kot vprašanja, ki prejmejo rezultate, ki so relativni v naravi. Edini pomemben dosežek interpretacije je odkrivanje vloge aritmetike kot strukture, v kateri se vprašanje skladnosti zmanjša na številne druge znanosti.

Sodobni razvoj aksiomatske matematike

Aksiomatska metoda se je začela razvijati v delu Gilberta. V svoji šoli je bil izpopolnjen sam koncept teorije in formalnega sistema. Posledica tega je postala skupen sistem, matematični predmeti pa so postali natančni. Poleg tega je bilo mogoče rešiti vprašanja utemeljitve. Tako je formalni sistem konstruiran s točnim razredom, v katerem so podsistemi formul in izrekov.

Če želite zgraditi to strukturo, morate le voditi tehnične zmogljivosti, ker nimajo semantične obremenitve. Lahko jih vpisujejo znaki, simboli. To je dejansko sam sistem zgrajen tako, da je formalno teorijo mogoče uporabiti ustrezno in v celoti.

Posledično se specifični matematični cilj ali problem vnaša v teorijo na podlagi dejanske vsebine ali deduktivnega razmišljanja. Jezik numerične znanosti se prevede v formalni sistem, pri čemer je vsak konkreten in smiseln izraz izražen s formulo.

Metoda formalizacije

V naravnem stanju stvari lahko takšna metoda reši tako globalna vprašanja kot doslednost in gradi pozitivno bistvo matematičnih teorij na izpeljanih formulah. In v bistvu vse to bo rešil uradni sistem, ki temelji na dokazanih izjavah. Matematične teorije so bile nenehno zapletene z utemeljitvami, Gilbert pa je predlagal, da raziščejo to strukturo s končnimi metodami. Toda ta program ni uspel. Rezultati Gödela že v dvajsetem stoletju so privedli do naslednjih zaključkov:

• naravna konsistenca ni mogoča zaradi dejstva, da bo formalizirana aritmetika ali druga podobna znanost iz tega sistema nepopolna;
• so bile nerešljive formule;
• trditve so neizvedljive.

Resnične sodbe in razumna končna zaključka se štejejo za formalizirana. Ob upoštevanju tega ima aksiomatska metoda v okviru te teorije določene in jasne meje in možnosti.

Rezultati razvoja aksiomov v spisih matematikov

Kljub temu, da so bile nekatere sodbe zavrnjene in niso prejele ustreznega razvoja, ima metoda trajnih konceptov pomembno vlogo pri oblikovanju temeljev matematike. Poleg tega sta interpretacija in aksiomatska metoda v znanosti razkrili temeljne rezultate konsistence, neodvisnost izjave o izbiri in hipoteze v pluralni teoriji.

Pri reševanju problema doslednosti je najpomembnejše, da se ne uporabljajo samo uveljavljeni koncepti. Prav tako jih je treba dopolniti z idejami, koncepti in sredstvi za končno dokončanje. V tem primeru se upoštevajo različni pogledi, metode, teorije, ki morajo upoštevati logični pomen in utemeljitev.

Skladnost formalnega sistema kaže podobno aritmetiko, ki temelji na indukciji, štetju, transfitnem številu. Na znanstvenem področju je najpomembnejša orodja, ki imajo nepojasne pojme in izjave, ki so osnova.

Bistvo začetnih izjav in njihova vloga v teorijah

Vrednotenje aksiomatske metode kaže, da v bistvu leži določena struktura. Ta sistem temelji na opredelitvi temeljnega koncepta in temeljnih izjav, ki jih ni mogoče zaznati. Enako se zgodi z izrekami, ki veljajo za začetne in se sprejmejo brez dokazov. V naravoslovju za takšne izjave so pravila, predpostavke, zakoni.

Potem je proces določitve utemeljenih temeljev. Praviloma je takoj označeno, da se iz enega položaja izda drugo, medtem ko se ostalo odda v procesu, ki v bistvu sovpada z deduktivno metodo.

Značilnosti sistema v sodobnem času

Kot del aksiomatskega sistema so:

• logični zaključki;
• izrazi in opredelitve;
• delno napačne izjave in koncepte.

V sodobni znanosti ta metoda izgubi abstraktnost. V Euclidovi geometrijski aksiomatizaciji so bili v središču intuitivni in resnični položaji. Teorija je bila interpretirana na edinstven, naraven način. Danes je aksiom stališče, ki je sama po sebi očitna, vendar lahko vsak sporazum deluje kot začetni koncept, ki ne zahteva utemeljitve. Zato so izvirne vrednosti daleč od jasne. Ta metoda zahteva ustvarjalni pristop, poznavanje odnosov in izvirno teorijo.

Osnovna načela sklepanja sklepov

Deduktivno metodo samoumevno - to je znanost, v gradnji v določenem vzorcu, ki temelji na dobro obveščene hipoteze, da predstavljajo izjav na empiričnih dejstvih. Ta sklep temelji na logičnih strukturah, s trdim izločanjem. Aksiomi so najprej neizpodbitne izjave, ki ne zahtevajo dokaza.

Pri odbitku začetnih konceptov se uporabljajo določene zahteve: doslednost, popolnost, neodvisnost. Kot kaže praksa, prvi pogoj temelji na formalnem logičnem znanju. To je v teoriji, ne sme biti nobene resnice in neumnosti, ker ne bo več imelo nobenega pomena ali vrednosti.

Če takega stanja ne opazimo, potem se šteje za nezdružljivo in v njem izgubljen vsak pomen, saj se semantična obremenitev med resnico in lažjo izgubi. Deduktivno je aksiomatska metoda metoda konstruiranja in utemeljevanja znanstvenih spoznanj.

Praktična uporaba metode

Aksiomatska metoda konstruiranja znanstvenih spoznanj ima praktično uporabo. Dejansko ta metoda vpliva in ima globalni pomen na matematiki, čeprav je to znanje že doseglo vrhunec. Primeri aksiomatske metode so:

• affine ravni imajo tri izjave in opredelitev;
• teorija ekvivalence ima tri dokaze;
• Binarni odnosi so razdeljeni v sistem definicij, konceptov in dodatnih vaj.

Če je treba oblikovati začetno vrednost, je treba poznati naravo sklopov in elementov. Dejansko je bila aksiomatska metoda osnova za različna področja znanosti.