Fourierova transformacija. Hitra Fourierova transformacija. Diskretna transformacija Fourierja

Fourierjeva transformacija je transformacija, ki povezuje funkcije z določeno realno spremenljivko. Ta operacija se izvaja vsakič, ko slišimo različne zvoke. Ear proizvaja avtomatske "izračun", ki izpolnjujejo naše lahko zavest šele po pregledu odseka višje matematike. predstavitvi organ v človeškem transformacije konstruktov, pri katerih se zvok (konvencionalnih vibracijsko gibanje delcev v elastičnega medija, ki se širijo v obliki valov v trdnem, tekočem ali plinastem mediju) predvidena v območju zaporednih vrednosti glasnosti tonov različnih višin. Po tem možgani te informacije pretvorijo v znani zvok.

Matematična transformacija Fourierja

Pretvorba zvočnega valovanja ali procesov drugo vibracijsko (s oddajanja svetlobe in oceanov plima in zvezdni ali sončnih ciklov) lahko izvedemo in s pomočjo matematičnih metod. Tako je z uporabo teh tehnik, funkcije je mogoče razširiti z uvedbo vibracijske procesov iz sinusnih komponent, tj valovitimi krivulj, ki gredo od najmanj do največ in nato spet na minimum, kot val morja. Fourierjeva transformacija - funkcija preoblikovanje, ki opisuje faze ali amplituda vsakega sinusoide, ki ustreza določeni frekvenci. Faza je izhodišče krivulje, amplituda pa je njegova višina.

Transformacija Fourierja (primeri so prikazani na sliki) je zelo močno orodje, ki se uporablja na različnih področjih znanosti. V nekaterih primerih se uporablja kot sredstvo za reševanje precej zapletenih enačb, ki opisujejo dinamične procese, ki nastajajo pod vplivom svetlobe, toplote ali električne energije. V drugih primerih nam omogoča, da določimo redne sestavine v kompleksnih nihajnih signalih, s tem pa je mogoče pravilno razlagati različne eksperimentalne opazke v kemiji, medicini in astronomiji.

Zgodovinsko ozadje

Prvi uporabnik te metode je bil francoski matematik Jean Baptiste Fourier. Preoblikovanje, ki je bilo kasneje poimenovano po njem, je bilo prvotno uporabljeno za opis mehanizma toplotne prevodnosti. Fourier je preživel celotno odraslo življenje, ki je proučeval lastnosti toplote. Veliko je prispeval k matematični teoriji določanja korenin algebrskih enačb. Fourier je bil profesor analize na École Polytechnique, sekretar Inštituta za egiptologije, je cesarska služba, ki je povzročil razburjenje v času gradnje ceste proti Torinu (pod njegovim vodstvom je izsušena več kot 80 tisoč kvadratnih kilometrov malarijo močvirja). Vendar pa vsa ta aktivna dejavnost znanstveniku ni preprečila matematične analize. Leta 1802 je izhajal iz enačbe, ki opisuje širjenje toplote v trdnih delih. Leta 1807 je znanstvenik odkril metodo za rešitev te enačbe, ki se je imenovala "Fourierova transformacija".

Analiza toplotne prevodnosti

Znanstvenik je uporabil matematično metodo za opis mehanizma toplotne prevodnosti. Primeren primer, pri katerem ni težav pri izračunu, je širjenje toplotne energije vzdolž železnega obroča, ki ga ogenj v enem kosu potopi. Za izvedbo poskusov je Fourier segreval rdeči del tega obroča in ga pokopal v drobnem pesku. Po tem je izmeril temperaturo na nasprotni strani. Na začetku je porazdelitev toplote nepravilna: del obroča je hladen in drugi je vroč, med temi območji je opazen oster temperaturni gradient. Vendar pa se v procesu toplotnega razmnoževanja na celotni površini kovine postane bolj enotna. Torej, kmalu je ta proces v obliki sinusoida. Graf se najprej postopoma poveča in gladko zmanjša, točno v skladu z zakoni spremembe kosina ali sine funkcije. Vlak je postopoma strgal in posledično temperatura postane enaka na celotni površini obroča.

Bistvo analize

Z uporabo te analize za pretvorbo distribucije toplote na trdnem predmetu, ki ima obročasto obliko, matematik obrazloženo ki povečujejo dobe sinusnih komponent vodi do hitre dušenja. To je dobro razvidno iz temeljnih in drugih harmonik. V slednji temperatura doseže največje in najnižje vrednosti dvakrat v enem prehodu, v prvem pa le enkrat. Izkazalo se je, da bo razdalja, presežena s toploto v drugi harmoniki, polovica od glavne. Poleg tega bo gradient v drugem dvakrat bolj strm od prvega. Zato, ker bolj intenzivni tok toplote prehaja na najširšo razdaljo, se bo dani harmonik razpadal štirikrat hitreje od temeljnega kot funkcije časa. V nadaljevanju se bo ta proces nadaljeval še hitreje. Matematik je verjel, da ta metoda nam omogoča, da sčasoma izračunamo začetno temperaturno porazdelitev.

Izziv za sodobnike

Algoritem transformacije Fourierja je postal izziv teoretičnim temeljem matematike tistega časa. V začetku devetnajstega stoletja, najbolj uglednih znanstvenikov, vključno Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre in Biot ni sprejelo njegovo trditev, da je temperatura začetne porazdelitve razgradi v sestavne dele v obliki osnovnega vala in višjo frekvenco. Vendar akademija znanosti niso mogli prezreti dobljene rezultate matematik, in mu podelil nagrado za teorijo toplotne prevodnosti zakonov, kot tudi vodenju primerjavo s fizikalnimi eksperimenti. V pristopu Fourier, je glavni očitek je, da je prekinjenega funkcija predstavlja vsoto več sinusne funkcije, ki so neprekinjeno. Navsezadnje opisujejo razbitje ravne in ukrivljene črte. Sodobna znanstvenik ni nikoli naletel na takšno situacijo, ko so prekinjene funkcije s kombinacijo neprekinjeno, kot kvadratna, linearno, sine ali razstavljavec opisane. V primeru, da je bil matematik prav v svojih trditvah, naj bi vsota neskončno vrsto trigonometrične funkcije omejen na točno hitrost. Tedaj se je takšna izjava zdela absurdna. Vendar pa je kljub dvomom nekaterih raziskovalcev (npr Claude Navier, Sophie Germain) razširila področje raziskav in jih pripeljal iz analize distribucije toplote. Matematike, medtem, še naprej trpijo vprašanje, ali je vsota več sinusnih funkcij zmanjšati na točno zastopanje pokanja.

200-letna zgodovina

Ta teorija se je razvila v dveh stoletjih, danes se je končno oblikovala. S svojo pomočjo so prostorske ali časovne funkcije razdeljene na sinusoidne komponente, ki imajo lastno frekvenco, fazo in amplitudo. To preoblikovanje dobimo z dvema različnima matematičkima metodama. Prva od njih se uporablja v primeru, ko je prvotna funkcija neprekinjena, druga pa v primeru, ko je predstavljena s skupino diskretnih posameznih sprememb. Če je izraz pridobljen iz podatkov, ki so opredeljeni v ločenih časovnih intervalih, se lahko razdeli v več diskretnih sinusne frekvenc izrazi - od najnižje in nato dvakrat, trikrat, in tako naprej nad osnovno. Takšen znesek se navadno imenuje Fourierjev niz. Če je začetni izraz podan z vrednostjo za vsako realno število, se lahko razgradi na več sinusoidnih vseh možnih frekvenc. Običajno se imenuje integral Fourierja, rešitev pa implicira integralne transformacije funkcije. Ne glede na način pridobivanja transformacije je treba za vsako frekvenco določiti dve številki: amplitudo in frekvenco. Te vrednosti so izražene kot posamezne kompleksno število. Teorija izrazov kompleksnih spremenljivk v povezavi s Fourierjevo transformacijo nam je omogočila izračune za konstrukcijo različnih električnih vezij, analizo mehanskih oscilacij, študijo mehanizma širjenja valov in druge.

Fourier Transform Today

Danes se študija tega procesa v bistvu zmanjša za iskanje učinkovitih metod prehoda iz funkcije v svojo transformirano obliko in nazaj. Ta rešitev se imenuje neposredna in inverzna Fourierova transformacija. Kaj to pomeni? Da bi določi integral in za izdelavo neposredne Fourierove transformacije, lahko uporabimo matematične metode ali celo analitične metode. Kljub dejstvu, da pri njihovi uporabi v praksi obstajajo določene težave, je večina integralov že ugotovljena in vključena v matematične referenčne knjige. Z uporabo numeričnih metod lahko izračunamo izraze, katerih oblika temelji na eksperimentalnih podatkih, ali funkcije, katerih integrali niso prisotni v tabelah in jih je težko predstaviti v analitični obliki.

Pred začetkom računalniške tehnologije so bili izračuni takih transformacij zelo potrpežljivi, zahtevali so ročno izvedbo velikega števila aritmetičnih operacij, kar je odvisno od števila točk, ki opisujejo valovno funkcijo. Da bi olajšali izračune, danes obstajajo posebni programi, ki omogočajo izvajanje novih analitske metode. Torej, leta 1965 sta James Cooley in John Tewki ustvarila programsko opremo, ki je postala znana kot »hitro Fourierova transformacija«. Pri izračunu krivulje prihrani z zmanjšanjem števila množenj v analizi krivulje. Metoda "hitre Fourierove transformacije" temelji na razdelitvi krivulje v veliko število enotnih vzorčnih vrednosti. V skladu s tem se število množenj prepolovi z enakim zmanjšanjem števila točk.

Uporabi Fourierovo transformacijo

Ta proces se uporablja na različnih področjih znanosti: v teorija števil, fizika, obdelava signalov, kombinatorika, teorija verjetnosti, kriptografije, statistika, oceanografija, optika, akustika in druge geometrije. Bogate možnosti njegove uporabe temeljijo na številnih uporabnih lastnostih, ki so jih poimenovali "lastnosti transformacije Fourierja". Razmislite o njih.

1. Preoblikovanje funkcije je linearni operator in z ustrezno normalizacijo je enoten. Ta lastnost je znana kot izrek Parseval, ali v splošnem primeru izreka Plancherela ali Pontryaginov dualizem.

2. Preoblikovanje je reverzibilno. In obratni rezultat ima skoraj enako obliko, kot pri neposredni rešitvi.

3. Sinusoidni osnovni izrazi so lastne funkcije. To pomeni, da se takšna predstavitev spremeni linearne enačbe s konstantnim koeficientom v navadne algebrske tiste.

4. V skladu s teoremom "konvolucije" ta proces transformira kompleksno operacijo v elementarno množenje.

5. Diskretno Fourierjevo transformacijo lahko hitro izračunamo na računalniku z uporabo "hitre" metode.

Vrste Fourierjeve transformacije

1. Najpogosteje se ta izraz uporablja za označevanje neprekinjene transformacije, ki omogoča vsak kvadratno integriran izraz kot vsota kompleksnih eksponentnih izrazov s specifičnimi kotnimi frekvencami in amplitudami. Ta vrsta ima več različnih oblik, ki se lahko v stalnih koeficientih razlikujejo. Neprekinjena metoda vključuje pretvorbeno tabelo, ki jo najdemo v matematičnih referenčnih knjigah. Posplošeni primer je delna transformacija, s katero se lahko dani proces poveča na potrebno realno moč.

2. Neprekinjena metoda je posplošitev zgodnje tehnike serije Fourierja, ki je definirana za različne periodične funkcije ali izrazi, ki obstajajo na omejenem območju in jih predstavljajo kot vrstice sinusoidov.

3. Diskretna Fourierova transformacija. Ta metoda se uporablja v računalniški tehnologiji za znanstvene izračune in za digitalno obdelavo signalov. Za izvedbo te vrste izračuna je potrebno imeti funkcije, ki določajo posamezne točke, periodične ali omejene domene namesto kontinuiranih Fourierovih integralov. Pretvorba signala v tem primeru je predstavljena kot vsota sinusoidov. Hkrati pa uporaba "hitre" metode omogoča uporabo diskretnih rešitev za praktične naloge.

4. Okenska Fourierova transformacija je splošna oblika klasične metode. V nasprotju s standardno raztopino, kadar se uporablja spektar signala, ki se upošteva v celotnem obsegu obstoja določene spremenljivke, je lokalna frekvenčna porazdelitev posebnega pomena le, če se ohrani prvotna spremenljivka (čas).

5. Dvodimenzionalna Fourierova transformacija. Ta metoda se uporablja za delo z dvodimenzionalnimi nizi podatkov. V tem primeru se najprej izvede pretvorba v eni smeri in nato v drugi.

Zaključek

Danes je Fourierova metoda trdno utrjena na različnih področjih znanosti. Na primer, leta 1962 je bila oblika dvojne DNA vijačnice odkrita z uporabo Fourierjeve analize v kombinaciji z rentgensko difrakcijo. Slednji so bili osredotočeni na kristale DNA vlaken, zaradi česar je bila slika, dobljena med difrakcijo sevanja, zabeležena na filmu. Ta slika je podala informacije o vrednosti amplitude pri uporabi Fourierove transformacije za dano kristalno strukturo. Podatki o fazi so bili pridobljeni s primerjanjem difrakcijske karte DNK z zemljevidi, dobljenimi pri analizi takih kemičnih struktur. Zato so biologi obnovili kristalno strukturo - prvotno funkcijo.

Fourierove transformacije igrajo veliko vlogo pri proučevanju vesolja, fizike polprevodniških materialov in plazme, mikrovalovne akustike, oceanografije, radarja, seizmologije in medicinskih raziskav.