Nedoločen integral. Izračun nedoločenih integralov

Ena od temeljnih vej matematične analize je integralni račun. Zajema najširšo polje predmetov, kjer je prvi nedoločen integral. Za postavitev je ključna, da celo v srednji šoli razkriva vse večje število perspektiv in priložnosti, ki jih opisuje višja matematika.

Videz

Na prvi pogled se zdi, da je integral povsem sodoben, relevanten, vendar se v praksi izkaže, da se je pojavil leta 1800 BC. Domovina, ki se uradno šteje za Egipt, ker nismo prejeli dokazov o svojem obstoju. Zaradi pomanjkanja informacij je ves ta čas postal le fenomen. Še enkrat je potrdil stopnjo razvoja znanosti med narodi tistih časov. Nazadnje so bila najdena dela starodavne grške matematike, segajo v 4. stoletje pred našim štetjem. Opisali so metodo, v kateri je bil uporabljen nedoločen integral, katerega bistvo je bilo najti volumen ali površino krivolinaste slike (tridimenzionalne in dvodimenzionalne ravnine). Načelo izračunavanja je temeljilo na razdelitvi začetnega števila v neskončno manjše komponente, če je njihova prostornina (površina) že znana. Sčasoma je metoda rasla, ga je Archimedes uporabil za iskanje območja parabole. Analogni izračuni so istočasno izvedli znanstveniki iz starodavne Kitajske, poleg tega pa so bili popolnoma neodvisni od grških bratov v znanosti.

Razvoj

Naslednji preboj v XI stoletju pred našim štetjem je postalo delo arabskega učenjaka "vagon" Abu Ali al-Basri, ki premika meje že znano, so bili pridobljeni iz integralnega formulo za izračun vsote zneskov in stopinj od prvega do četrtega, ki se uporablja za to je znano, da nas metoda matematične indukcije.
Umovi modernosti občudujejo, kako so stari Egipčani ustvarili neverjetne arhitekturne spomenike, brez posebnih prilagoditev, razen morda svojih rok, vendar ni sila tistih znanstvenikov v tem času nič manj čudež? V primerjavi s sedanjostjo se zdi, da je njihovo življenje skoraj primitivno, vendar je bila rešitev neskončnih integralov izvedena povsod in se je v praksi uporabljala za nadaljnji razvoj.

Naslednji korak se je zgodil v 16. stoletju, ko je italijanski matematik Cavalieri izpeljal metodo nedeljivosti, ki ga je pobral Pierre Fermat. Te dve posamezniki, ki so postavili temelje sodobnega integralnega računala, ki je trenutno znan. Vezali so se koncepti diferenciacije in integracijo, ki so bile prej zaznane kot samostojne enote. Na splošno je bila matematika teh časov razdrobljena, delček sklepov je obstajal sam, z omejenim področjem uporabe. Pot poenotenja in iskanja skupnega tla je bila edina pravilna v tistem času, zahvaljujoč se moderni matematična analiza imela priložnost, da se je razvila in razvijala.

S časom se je vse spremenilo in oznaka integrala. Na splošno so ga označili znanstveniki, ki so na primer Newton uporabili kvadratno ikono, v kateri je dal integrirano funkcijo ali jo preprosto postavil poleg njega. To nesoglasje se je nadaljevalo do 17. stoletja, ko je ikonični znanstvenik Gottfried Leibniz predstavil simbol, ki nam je tako znano za celotno teorijo matematične analize. Raztegnjeni "S" res temelji na tem pismu Latinska abeceda, saj označuje vsoto brezposelnih. Ime je dobil integral, zahvaljujoč Jacobu Bernoulliju po 15 letih.

Formalna opredelitev

Nedoločni integral je neposredno odvisen od definicije antiderivativnega, zato ga najprej premislite.

Primitivna je funkcija, ki je obratna derivatu, v praksi pa jo imenujemo tudi primitivna. V nasprotnem primeru: antiderivativno za funkcijo d je funkcija D, katere derivat je v <=> V `= v. Iskanje antiderivative je izračun nedoločenega integrala, sam proces pa se imenuje integracija.

Primer:

Funkcija s (y) = y³, in njegovega antiderivativnega S (y) = (y⁴/ 4).

Skupaj vseh antiderivativov obravnavane funkcije je nedoločen integral in se označi kot sledi: int-v (x) dx.

Ker je V (x) le nekaj primitivnih izvirne funkcije, velja naslednji izraz: int-v (x) dx = V (x) + C, kjer je C konstanta. Samostojno konstanto razumemo kot vsako konstanto, saj je njen derivat nič.

Lastnosti

Lastnosti, ki jih ima nedoločen integral, temeljijo na osnovni definiciji in lastnostih derivatov.
Razmislite o ključnih točkah:

• integral iz derivata primitiva je sama po sebi antiderivativna plus poljubna konstanta C <=> int-V `(x) dx = V (x) + C;
• Izvod integralnega funkcije je prvotna funkcija <=> (int-v (x) dx) `= v (x);
• Konstanta se vzame iz znaka integrala <=> int-kv (x) dx = kint-v (x) dx, kjer je k poljubno;
• Integral, ki je vzet iz vsote, je enak enak vsoti integralov <=> int- (v (y) + w (y)) dy = int-v (y) dy + int-w (y) dy.

Iz zadnjih dveh lastnosti lahko sklepamo, da je nedoločen integral linearen. Zahvaljujoč temu imamo: int (kv (y) dy + int-lw (y)) dy = kint-v (y) dy + lint-w (y) dy.

Za fiksacijo upoštevamo primere rešitev neomejenih integralov.

Potrebno je najti integral int- (3sinx + 4cosx) dx:

• int- (3sinx + 4cosx) dx = int-3sinxdx + INT-4cosxdx = 3int-sinxdx + 4int-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Iz primera lahko zaključimo: ne vem, kako rešiti nedoločene integrale? Najdi vse antistipične! In tukaj so spodaj navedena načela iskanja.

Metode in primeri

Da bi rešili integral, lahko uporabimo naslednje metode:

• uporabite dokončano mizo;
• integrirati po delih;
• integrirati s spreminjanjem spremenljivke;
• subduction pod znak razlik.

Tabele

Najlažji in najprijetnejši način. V tem trenutku se matematična analiza lahko pohvali s precej obširno tabelo, v kateri so predpisane osnovne formule nedoločenih integralov. Z drugimi besedami, obstajajo predloge, ki so izpeljane pred vami in za vas, jih je še vedno mogoče uporabiti. Tukaj je seznam pozicij glavne mize, na katere je mogoče izpeljati skoraj vsak primer, ki ima rešitev:

• int-0dy = C, kjer je C konstanta;
• int-dy = y + C, kjer je C konstanta;
• int-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, pri čemer je C konstanta in n je nično število;
• int- (1 / y) dy = ln | y | + C, kjer je C konstanta;
• int-e^ydy = e^y + C, kjer je C konstanta;
• int-k^ydy = (k^y/ ln k) + C, kjer je C konstanta;
• int-cosydy = siny + C, kjer je C konstanta;
• int-sinydy = -cosy + C, kjer je C konstanta;
• int-dy / cos²y = tgy + C, kjer je C konstanta;
• int-dy / sin²y = -ctgy + C, kjer je C konstanta;
• int-dy / (1 + y²) = arctgy + C, kjer je C konstanta;
• int-chydy = sramežljiv + C, kjer je C konstanta;
• int-shydy = chy + C, kjer je C konstanta.

Če je treba, naredite nekaj korakov, podajte integrand k pregledu tabele in uživajte v zmago. Primer: int-cos (5x -2) dx = 1 / 5int-cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) +

Z odločitvijo je jasno, da za primer tabele integrand nima množitelja 5. Dodamo ga, pomnožimo s 1/5 vzporedno, tako da se splošni izraz ne spremeni.

Integracija po delih

Razmislimo o dveh funkcijah - z (y) in x (y). Nenehno jih je treba razlikovati na celotnem področju opredelitve. Z eno od diferenciacijskih lastnosti imamo: d (xz) = xdz + zdx. Vključevanje obeh strani enakosti dobimo: int-d (xz) = int- (xdz + zdx) => zx = int-zdx + int-xdz.

Če povzemamo dobljeno enačbo, dobimo formulo, ki opisuje metodo integracije po delih: int-zdx = zx - int-xdz.

Zakaj je to potrebno? Dejstvo je, da imajo nekateri primeri možnost, da se poenostavijo, sorazmerno govori, zmanjšajo int-zdx do int-xdz, če je slednji blizu tabele. Tudi ta formula se lahko uporabi več kot enkrat in doseže optimalen rezultat.

Kako rešiti nedoločene integrale na ta način:

• je treba izračunati int- (s + 1) e^2sds

int- (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2int-e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• je treba izračunati int-lnsds

int-lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - int-s x ds / s = slns - int-ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Zamenljiva spremenljivka

To načelo reševanja nedoločnih integralov ni manj povpraševanje kot prejšnja, čeprav je težje. Metoda je sestavljena iz naslednjega: naj bo V (x) integral neke funkcije v (x). V primeru, da je integral sama v tem primeru zapleten, obstaja velika verjetnost, da se zmede in napreduje na napačen način. Da bi se temu izognili, se izvaja prehod iz spremenljivke x v z, v katerem je splošni izraz vizualno poenostavljen, ko je ohranjena odvisnost z na x.

V matematičnem jeziku je videti tako: int-v (x) dx = int-v (y (z)) y `(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), kjer je x = y (z) permutacija. In, seveda, inverzna funkcija z = y^-1(x) v celoti opisuje odvisnost in medsebojno povezavo spremenljivk. Pomembno je, da je diferencial dx nujno nadomeščen z novim diferencialom dz, saj zamenjava spremenljivke v nedoločenem integralu pomeni njegovo zamenjavo povsod, ne samo v integrandu.

Primer:

• moraš najti int- (s + 1) / (s² + 2s-5) ds

Uporabljamo zamenjavo z = (s + 1) / (s²+2s-5). Potem dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Posledično dobimo naslednji izraz, ki ga je zelo enostavno izračunati:

int- (s + 1) / (s²+2s-5) ds = int- (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+2s-5 | + C;

• je treba najti integral int-2^se^sdx

Za rešitev, ponovimo zapis v naslednji obliki:

int-2^se^sds = int- (2e)^sds.

Za a = 2e (z zamenjavo argumenta ta korak ni, je še vedno s), na prvi pogled predstavljamo kompleksni integral z elementarno tabelarno obliko:

int- (2e)^sds = int-a^sds = a^s / lna + C = (2e)^s / ln (2e) + C = 2^se^s / ln (2 + lne) + C = 2^se^s / (ln2 + 1) + C

Risba pod znak razlik

Na splošno ta metoda nedoločenih integralov je dvojček brat načina zamenjave spremenljivk, vendar se v procesu načrtovanja razlikujejo. Poglejmo si bolj podrobno.

Če je int-v (x) dx = V (x) + C in y = z (x), potem int-v (y) dy = V (y) + C.

Istočasno ne smemo pozabiti na trivialne integralne transformacije, med katerimi:

• dx = d (x + a), kjer je a katera koli konstanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), kjer je a znova konstantna, vendar ne enaka nič;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Če upoštevamo splošni primer, ko izračunamo nedoločen integral, lahko primere zmanjšamo na splošno formulo w `(x) dx = dw (x).

Primeri:

• moraš najti int- (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

int- (2s + 3)²ds = 1 / 2int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

int-tgsds = int-sins / cossds = int-d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Spletna pomoč

V nekaterih primerih je krivda, ki je lahko lenoba ali nujna potreba, lahko uporabite spletne nasvete ali raje uporabite kalkulator negotovih integralov. Kljub vsa očitna kompleksnost in polemika integralov je njihova rešitev podvržena določenemu algoritmu, ki temelji na načelu "če ne ..., potem ...".

Seveda še posebej zanimivi primeri takega kalkulatorja ne morejo obvladati, saj obstajajo primeri, ko je treba rešitev umetno najti, "prisilno" uvajati določene elemente v proces, ker očitnih načinov rezultata ni mogoče doseči. Kljub vsemu polemika te izjave je res, saj je matematika načeloma abstraktna znanost in meni, da je njegova glavna naloga razširiti meje možnosti. Dejansko je izjemno težko premikati in razvijati z gladko vključenimi teorijami, zato ne predpostavljajte, da so primere reševanja nedoločenih integralov, ki smo jih dali, najboljša možnost. Vendar se vrnimo k tehnični strani zadeve. Vsaj za preverjanje izračuna lahko uporabite storitve, v katerih je bilo vse napisano pred nami. Če obstaja potreba po samodejnem izračunu kompleksnega izraza, potem ne morejo, se bodo morali zateči k bolj resni programski opremi. Pri tem je treba pozornost nameniti predvsem okolju MatLab.

Uporaba

Rešitev nedoločenih integralov na prvi pogled se zdi popolnoma ločena od realnosti, saj je težko videti očitne nanosne ravnine. Pravzaprav jih ni mogoče neposredno uporabiti nikamor, vendar se štejejo za nepogrešljiv vmesni element pri iskanju rešitev, ki se uporabljajo v praksi. Tako je integracija inverzno diferencirana, zaradi česar aktivno sodeluje v procesu reševanja enačb.
Po drugi strani pa te enačbe neposredno vplivajo na reševanje mehanskih problemov, izračun poti in toplotne prevodnosti - na kratko, vse, kar predstavlja sedanjost in oblikuje prihodnost. Nedoločni integral, primeri, ki smo jih obravnavali zgoraj, je samo na prvi pogled trivijalen, saj je osnova za vedno več novih odkritij.