Polyhedra. Vrste poliedra in njihove lastnosti

Poliedri ne le zasedajo pomembno mesto v geometriji, vendar se pojavljajo tudi v vsakdanjem življenju vsakega človeka. Da ne omenjamo umetni podobne predmete v različnih poligonov, izhajajoč iz vžigalicami in končajo arhitekturne elemente v naravi pride tudi kristale v obliki kocke (sol), prizme (kristalno), piramida (šelit), oktaedrov (diamant), itd e.

Koncept poliedra, vrste polyhedra v geometriji

Geometrija kot znanost vsebuje odsek stereometrije, ki proučuje značilnosti in lastnosti prostornine številke. Geometrijsko Telesa, katerih stranice v tridimenzionalnem prostoru so oblikovane z omejenimi ravninami (obrazi), imenujemo "poliedra". Vrste poliedra štejejo več kot en ducat predstavnikov, ki se razlikujejo po številu in obliki obrazov.

Kljub temu imajo vsi poliedri skupne lastnosti:

1. Vsi imajo tri integralne komponente: obraz (poligonalni površine), pri čemer plošča (kote, oblikovani v tleh faset spojine), rob (bok ali reši oblike tvorjen na stičišču dveh straneh).
2. Vsak rob mnogokotnika se poveže z dvema in le dve strani, ki sta med seboj blizu.
3. Konveksnost pomeni, da je telo popolnoma nameščeno le na eni strani ravnine, na kateri leži ena od obrazov. Pravilo velja za vse obraze poliedra. Take geometrijske figure v stereometriji imenujemo konveksni poliedri. Izjema so zvezdne poliedre, ki so derivati ​​rednih poledričnih geometrijskih teles.

Polyhedra je mogoče pogojno razdeliti na:

1. Vrste konveksni poliedri, ki so sestavljeni iz naslednjih kategorij: konvencionalno ali klasično (prizma, piramida, škatla), desno (imenovan tudi platonsko telo), semiregular (drugo ime - arhimedsko telo).
2. Konveksni poliedri (stellate).

Prizma in njegove lastnosti

Stereometrija kot del geometrije proučuje lastnosti tridimenzionalnih števil, vrste poliedra (prizma v njihovem številu). Prizma imenujemo geometrijsko telo, ki je potrebno dva enaka ploskvi (imenovan tudi baze), ki leži v vzporednih ravninah in n-ti stranic v obliki paralelograme. Po drugi strani pa ima prizma tudi več vrst, vključno s takšnimi vrstami poliedra kot:

1. Parallelepiped - se tvori, če je v podnožju paralelogram - poligon z dvema paroma enakih nasprotnih kotov in dveh parov skladnih nasprotnih strani.
2. Ravna prizma ima pravokotne robove na podnožju.
3. Za nagnjeno prizmo je značilna prisotnost indirektnih kotov (razen 90) med obrazi in podnožjem.
4. Za pravilno prizmo so značilne baze v obliki reden mnogokotnik z enakimi stranskimi obrazi.

Osnovne lastnosti prizme:

• Skladne baze.
• Vsi robovi prizme so enaki in vzporedni drug drugemu.
• Vse stranske ploskve imajo obliko paralelograma.

Piramida

Piramida je geometrijsko telo, ki je sestavljeno iz ene baze in n-tega števila trikotnih obrazov, ki se v eni točki povezujejo - tocka. Treba je opozoriti, da če so bočne ploskve piramide predstavljene s trikotnikom, potem lahko v dnu obstaja trikotni mnogokotnik, štirikotnik in pentagon, in tako naprej ad infinitum. Ime piramide bo ustrezalo poligonu na dnu. Na primer, če je na dnu piramide trikotnik, je trikotna piramida, štirikotnik je štirikotna piramida in tako naprej.

Piramide so stožčasti poliedri. Vrste poliedra te skupine, poleg zgoraj navedenega, vključujejo tudi naslednje predstavnike:

1. Redna piramida ima pravilen poligon na dnu, njegova višina pa je projicirana v središče kroga, vpisanega v osnovo ali opisano okoli njega.
2. Pravokotna piramida se tvori, kadar se eden od stranskih robov sekata s podnožjem pod pravim kotom. V tem primeru se ta rob pravično imenuje tudi višina piramide.

Lastnosti piramide:

• V primeru, ko vsi stranski robovi ujemajo piramide (enako višino), vsi prekrivajo z bazo, na enega kota in okoli dna lahko pripravi krog s središčem sovpada s projekcijo oglišča piramide.
• Če je na dnu piramide pravilen mnogokotnik, so vsi stranski robovi skladni, obrazi pa so enobarvni trikotniki.

Pravilni poliedron: vrste in lastnosti poliedra

Pri stereometri je posebno mesto zasedeno geometrijsko telo z absolutno enakimi obrazi, pri vertikih katerih je povezano isto število robov. Ta telesa se imenujejo Platonska telesa, ali redni poliedri. Vrste poliedra s temi lastnostmi imajo le pet številk:

1. Tetrahedron.
2. Heksahedron.
3. Octahedron.
4. Dodekaeder.
5. Ikozaeder.

Njegovo ime redno poliedri morajo starogrške filozof Platon je opisal te geometrijskih teles pri njihovem delu in jih povezati z elementi narave: zemlja, voda, ogenj, zrak. Peta številka je bila podeljena podobnost strukturi vesolja. Po njegovem mnenju so atomi naravnih elementov v obliki oblike podobni vrstam pravilnih poliedrih. Zaradi svoje najbolj spektakularne funkcijo - simetrije, te geometrijske oblike velikega pomena ne le za starodavne matematiki in filozofov, temveč tudi za arhitekte, slikarjev in kiparjev vseh časov. Prisotnost samo petih tipov poliedra z absolutno simetrijo je bila temeljna najdba, ki jim je bila dodeljena tudi povezava z božanskim začetkom.

Heksaeder in njegove lastnosti

Platonovi nasledniki so v obliki šesterokotnika prevzeli podobnost s strukturo atomov zemlje. Seveda je ta hipoteza v današnjem času popolnoma oproščena, kar pa ne preprečuje številk in v sodobnem času z estetiko privablja um znanih osebnosti.

V geometriji se kot poseben primer paralelepipeda šteje tudi heksaeder, tudi kocka, ki pa je nekakšna prizma. Zato so lastnosti kocke povezane s lastnostmi prizme z edino razliko, da so vsi obrazi in koti kocke enaki drug drugemu. To pomeni naslednje lastnosti:

1. Vsi robovi kocke so skladni in ležijo v vzporednih ravninah glede na druge.
2. Vsi obrazi so skladni kvadratki (v kocki je 6), kateri koli od njih se lahko vzame kot osnovo.
3. Vsi kotni koti so enaki 90.
4. Iz vsake tocke pride enako število robov, in sicer 3.
5. Kocka ima 9 osi simetrije, ki se vsi križajo na točki presečišča diagonalov heksaedra, ki se imenuje središče simetrije.

Tetrahedron

Tetraeder je tetraedron z enakimi obrazi v obliki trikotnikov, pri čemer je vsaka od tock povezana s tremi obrazi.

Lastnosti navadnega tetraedrona:

1. Vsi obrazi tetraedrona so enostranski trikotniki, iz katerega izhaja, da so vsi obrazi tetraedrona skladni.
2. Ker je osnova predstavljena s pravilno geometrijsko sliko, to pomeni, da ima enake stranice, potem so obrazi tetraedrona konvergirajo pod enakim kotom, to pomeni, da so vsi koti enaki.
3. Vsota ploskornih kotov pri vsaki od tock je 180, saj so vsi koti enaki, zato je vsak kotov pravilnega tetraedrona 60.
4. Vsaka od tock se projicira do presečišča točke višine nasprotne (orthocentrične) površine.

Octahedron in njegove lastnosti

Če opisujemo vrste pravilnih poliedrih, ne moremo spregledati predmeta, kakršen je oktaeder, ki ga lahko vizualiziramo v obliki dveh štirikotnih navadnih piramid, ki sta skupaj obloženi.

Lastnosti oktaeder:

1. Samo ime geometrijskega telesa nam pove število njegovih obrazov. Osončilo sestavlja 8 sorazmernih enakostraničnih trikotnikov, v vsaki vrsti katerih je enako število obrazov, in sicer 4.
2. Ker so vsi obrazi oktaeder enaki, so enaki tudi njegovi med-kotni koti, ki so enaki 60, in je vsota ploskornih kotov katere koli od tock 240.

Dodekaeder

Če si predstavljamo, da so vsi obrazi geometrijskega telesa reden pentagon, potem dobimo dodekaeder - številka 12 poligonov.

Lastnosti dodekaedrona:

1. Vsako točko seka tri obraze.
2. Vsi obrazi so enaki in imajo enako dolžino robov, pa tudi enako površino.
3. Dodekaeder ima 15 osi in simetrijske ploskve, katerikoli od njih pa poteka skozi točko obraza in sredi nasprotnega roba.

Ikozaeder

Nič manj zanimivega od dodekaedrona, ikozahedron je prostorninsko geometrijsko telo z 20 enakimi obrazi. Med lastnostmi rednega dvajsetega lahko opazimo naslednje:

1. Vsi obrazi ikošedrona so trikotniki enakopravnega porekla.
2. Vsaka tocka poliedra se konvergira na pet obrazov, vsota sosednjih kotov vrha je 300.
3. Ikozahedron ima, tako kot dodekaeder, 15 osi in simetrijske ravnine, ki potekajo skozi središča nasprotnih obrazov.

Polavredni poligoni

Poleg platonskih trdnih snovi skupina konveksnih poliedra vključuje Archimedean telesa, ki so okrnjeni pravilni polyhedra. Tipi polyhedra te skupine imajo naslednje lastnosti:

1. Geometrijska telesa so parne enake ploskvi različnih tipov, na primer, prisekan tetraeder je enako kot redno tetraeder, 8 obrazov, toda pri telesu so 4 Arhimedov ploskvi trikotne oblike in 4 - šesterokotna.
2. Vsi koti ene vertexa so kongruentni.

Star polyhedra

Predstavniki ogromnih vrst geometrijskih teles so zvezdni poliedri, katerih obrazi se sekata med seboj. Lahko se oblikujejo s fuzijo dveh rednih tridimenzionalnih teles ali kot rezultat nadaljevanja njihovih obrazov.

Tako je na primer znan zvezdastih poliedri kot: zvezdnati obliki oktaedra, dodekaeder ikozaeder, cuboctahedral, ikozidodekaeder.