Kako izračunati površino piramide: osnovno, stransko in polno?

Pri pripravi na UPORABO v matematiki morajo učenci sistematizirati znanje algebre in geometrije. Želim združiti vse znane podatke, na primer, kako izračunati površino piramide. In od osnovnega kot bočnega obraza na površino celotne površine. Če je stanje s stranskimi robovi jasno, ker so trikotniki, je dno vedno drugačno.

Kako naj bi bil pri iskanju območja baze piramide?

Lahko je katerakoli slika: od poljubnega trikotnika do n-gona. In ta osnova, razen razlike v številu kotov, je lahko prava številka ali narobe. V šolskih nalogah, ki so v interesu šolarjev, se srečujejo samo delovna mesta s pravilnimi številkami na bazi. Zato bomo o njih govorili le.

Pravi trikotnik

To je enostransko. Tisti z vsemi stranmi je enak in označen s črko "a". V tem primeru se območje osnove piramide izračuna po formuli:

S = (a² * radik-3) / 4.

Trg

Formula za izračun njegove površine je najpreprostejša, tukaj je "a" spet stran:

S = a².

Samovoljni redni n-gon

Stran poligona ima enako oznako. Za število kotov uporabite latinsko črko n.

S = (n * a²) / (4 * tg (180ordm / r)).

Kaj naj naredim pri izračunu površine bočne in polne površine?

Ker je osnova pravilna, so vsi obrazi piramide enaki. Poleg tega je vsak od njih enakokrak trikotnik, saj so stranski robovi enaki. Potem, da bi izračunali stransko področje piramide, potrebujemo formulo, ki je sestavljena iz vsake enake monomiale. Število izrazov določa število strani podnožja.

Območje izokceličnega trikotnika se izračuna po formuli, v kateri se polovica proizvoda baze pomnoži z višino. Ta višina v piramidi se imenuje apofemija. Njegova oznaka je "A". Splošna formula za površino stranske površine je naslednja:

S = frac12-P * A, kjer je P obod dna piramide.

Obstajajo primeri, ko strani baze niso znane, vendar so na stranskih robovih (c) in ravnem kotu na vrhu (alfa-). Potem naj bi za izračun bočne površine piramide uporabili takšno formulo:

S = n / 2 * v² greh alfa-.

Naloga številka 1

Pogoj. Poiščite skupno površino piramide, če je v njegovi bazi enakostranični trikotnik s stranico 4 cm, in apofem je pomemben radik-3 cm.

Rešitev. Začne se z izračunom oboda baze. Ker je to pravi trikotnik, potem P = 3 * 4 = 12 cm. Ker je znana apopemska, lahko takoj izračunamo površino celotne bočne površine: frac12- * 12 * radic-3 = 6radic-3 cm².

Za trikotnik na dnu dobimo naslednjo površinsko vrednost: (4²* radic-3) / 4 = 4radic-3 cm².

Če želite določiti skupno površino, boste morali dodati dve nastali vrednosti: 6radic-3 + 4radic-3 = 10radic-3 cm².

Odgovor. 10radic-3 cm².

Naloga številka 2

Pogoj. Običajna je štirikotna piramida. Dolžina stranice podnožja je 7 mm, stranski rob je 16 mm. Potrebno je poznati območje svoje površine.

Rešitev. Ker je polieder kvadrankularen in navaden, je na svoji osnovi kvadrat. Ko se boste naučili področja baze in bočnih obrazov, bo mogoče šteti območje piramide. Formula za kvadrat je navedena zgoraj. In na stranskih obrazih so znane vse strani trikotnika. Zato lahko uporabite Geronovo formulo za izračun njihovih površin.

Prvi izračuni so preprosti in vodijo do takega števila: 49 mm². Za drugo vrednost moramo izračunati semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Zdaj lahko izračunamo površino enakopravnega trikotnika: radik- (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16)²) = radic-2985,9375 = 54,644 mm². Obstajajo le štirje takšni trikotniki, zato je pri izračunu končne številke potrebno pomnožiti s 4.

Izkazalo se je: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm².

Odgovori. Zahtevana vrednost je 267.576 mm².

Naloga številka 3

Pogoj. Običajna četveročasta piramida mora izračunati površino. Pozna stran kvadrata - 6 cm in višina - 4 cm.

Rešitev. Najenostavnejši način je uporaba formule s produktom perimetra in apopheme. Prva vrednost je enostavno najti. Drugi je malo bolj zapleten.

Treba je opozoriti na izrek Pitagora in razmisliti desni trikotnik. Nastaja z višino piramide in apopheme, kar je hipotenoza. Druga noga je enaka polovici strani kvadrata, saj višina poliedra pada na njegovo sredino.

Želena apofemija (hipotenuza pravokotnega trikotnika) je radik- (3² + 4²) = 5 (cm).

Zdaj lahko izračunate zahtevano vrednost: frac12 - * (4 * 6) * 5 + 6² = 96 (cm²).

Odgovor. 96 centimetrov².

Naloga številka 4

Pogoj. Zaradi redne heksagonalne piramide. Strani njene baze so 22 mm, stranske rebra so 61 mm. Kakšna je površina stranske površine tega poliedra?

Rešitev. Argumenti v njej so enaki tistim, opisanim v Problemi 2. Samo tam je bila dana piramida s kvadratom na dnu, zdaj pa je šesterokotnik.

Prvi korak je izračunati površino baze po zgornji formuli: (6 * 22²) / (4 * tg (180ordm- / 6)) = 726 / (tg30ordm-) = 726radik-3 cm².

Zdaj je potrebno ugotoviti, kakšno je pol-perimeter enakopravnega trikotnika, ki je stranski obraz. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 ostane heronova formula za izračun površino vsakega trikotnika, in nato pomnožimo s šest-krat in tistega, ki se je izkazalo, da se na podlago.

Izračuni z uporabo Heronove formule: radik- (72 * (72-22) * (72-61)²) = radik-435600 = 660 cm². Izračuni, ki dajejo površino stranske površine: 660 * 6 = 3960 cm². Še vedno jih dodamo, da ugotovimo celotno površino: 5217,47symp-5217 cm².

Odgovor. Zemljišča - 726radic-3 cm², stranske površine - 3960 cm², celotno območje - 5217 cm².