Redni poliedri: elementi, simetrija in površina

Geometrija je lepa v tem, za razliko od algebre, kjer ni vedno jasno, kaj in zakaj mislite, daje objektu vidljivost. Ta neverjeten svet različnih teles je okrašen z rednimi poliedri.

Splošne informacije o pravilnih poliedrih

Po mnogih, pravilni poliedri, ali kot jih imenujemo Platonova telesa, imajo edinstvene lastnosti. S temi predmeti je povezanih več znanstvenih hipotez. Ko začnete preučevati ta geometrijska telesa, razumete, da praktično niste vedeli o takem pojmu kot redni poliedri. Predstavitev teh predmetov v šoli ni vedno zanimiva, zato se mnogi sploh ne spomnijo, kako jih kličejo. V spominu večine ljudi ostaja samo kocka. Nobeno telo v geometriji ni tako popolno, kot je pravilna poliedra. Vsa imena teh geometrijskih teles so izvirala iz antične Grčije. Predstavljajo število obrazov: tetraeder - štiristranski, šesterokotnika - Allen, oktaeder - osemkotnik DODEKAEDER - dodecahedral, ikozaedra - ikozaedričnih. Vsa ta geometrijska telesa so zasedla najpomembnejše mesto v konceptu Platona o vesolju. Štiri izmed njih so zapisane elemente ali subjekte: tetraedra - ogenj je ikozaeder - voda kocka - zemlja, oktaeder - zrak. Dodekaeder je vseboval vse, kar obstaja. Šlo je za glavnega, ker je bil simbol vesolja.

Posploševanje pojma poliedra

Polyhedron je zbirka končnega števila mnogokotnikov, tako da:

• vsaka stran katerega od mnogokotnikov je hkrati stran samo enega drugega poligona vzdolž iste strani;
• od vsakega od mnogokotnikov je mogoče iti na drugo, tako da gredo vzdolž mnogokotnikov, ki mejijo nanj.

Poligoni, ki tvorijo polieder, so njene ploskve, njihove stranice pa so robovi. Poligonske tocke so tocke poligonov. Če je koncept mnogokotnika razumljen kot zaprt poligonalna linija, potem pridejo do iste definicije poliedra. V primeru, da ta izraz pomeni del ravnine, ki je omejena z lomljenimi črtami, je treba razumeti površino, sestavljeno iz poligonalnih kosov. Konveksni poliedron Pokliče telo, ki leži na eni strani ravnin, ki mejijo na njen obraz.

Druga opredelitev poliedra in njegovih elementov

Polieder je površina, sestavljena iz mnogokotnikov, ki omejujejo geometrijsko telo. So:

• nekonveksni;
• konveksni (desno in narobe).

Pravilen polyhedron je konveksni polieder z največjo simetrijo. Elementi pravilnega poliedra:

• tetraeder: 6 robov, 4 obraza, 5 tock;
• heksaeder (kocka): 12, 6, 8;
• dodekaeder: 30, 12, 20;
• oktaeder: 12, 8, 6;
• ikozahedron: 30, 20, 12.

Eulerova izreka

Ustvari povezavo med številom robov, tockami in obrazi, ki so topološko enakovredni krogi. Dodajanje število vrhov in ploskev (B + D) različne redno poliedrov in jih primerja s številom reber, je možno določiti eno pravilo: vsota števila obrazov je enako številu vozlišč in robov (P), povečane za 2. Možno je izpeljati preprosto formulo:

• B + F = P + 2.

Ta formula velja za vse konveksne poliedre.

Osnovne definicije

Koncept pravilnega večglasja ni mogoče opisati z enim stavkom. Je bolj polisemantičen in obsežen. Da bi bilo telo priznano kot takšno, je potrebno, da je v skladu s številnimi opredelitvami. Tako bo geometrijsko telo pravilen polieder, če so izpolnjeni naslednji pogoji:

• je konveksno;
• Enako število robov konvergira na vsaki od svojih tock;
• vsi njegovi obrazi so redni mnogokotniki enaki drugemu;
• vsi njeni dvorezni koti so enaki.

Lastnosti pravilnih poliedra

Obstaja 5 različnih vrst pravilnih poliedrih:

1. Kocka (heksaeder) - ima ravno kot na vrhu 90 °. Ima trifazni kot. Vsota ravninskih kotov na vrhu je 270 °.
2. Tetraeder je ravno kot na vrhu 60 °. Ima trifazni kot. Vsota ploskovnih kotov na verigi je 180 °.
3. Oktehron je ravno kot na vrhu 60 °. Ima 4-kotni kot. Vsota ravnih kotov na vrhu je 240 °.
4. Dodekaeder je ravno kot na vrhu 108 °. Ima trifazni kot. Vsota ploskornih kotov na vrhu je 324 °.
5. Ikozahedron - ima ravno površino na vrhu - 60 °. Ima 5-stranski kot. Vsota ravnih kotov na vrhu je 300 °.

Območje rednih poliedra

Površina teh geometrijskih teles (S) se izračuna kot površina pravilnega mnogokotnika, pomnožena s številom njegovih obrazov (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg pi- / p.

Prostornina pravilnega poliedra

Ta vrednost se izračuna z množenjem obsega rednega piramide, katere osnova je pravilnega mnogokotnika, število ploskev, in njegova višina je vpisana radij krogle (r):

• V = 1: 3rS.

Količine pravilnih poliedra

Kot vsako drugo geometrijsko telo imajo pravilni poliedri različni volumni. Spodaj so formule, po katerih se lahko izračunajo:

• tetraeder: alfa-3radik-2: 12;
• oktaeder: alfa-3radik-2: 3;
• icosahedron- alfa-x3;
• heksaeder (kocka): 5 x alfa-x 3 x (3 + radik-5): 12;
• dodekaeder: alfa-3 (15 + 7radik-5): 4.

Elementi pravilnih poliedrih

Heksaeder in oktaeder sta dvojna geometrijska telesa. Z drugimi besedami, jih je mogoče pridobiti drug od drugega v primeru, ko je težišče obraza enega vzetega kot vertex drugega in obratno. Tudi ikošeder in dodekaeder sta dvojna. Samo tetraeder je dvojni sama. Z metodo Euclida lahko dobimo dodekaeder iz heksaedra s konstrukcijo "streh" na obrazih kocke. V vertikih tetraedrona so vse štiri tocke kocke, ki se ne nahajajo v parih vzdolž roba. Iz hexadron (kocka) je mogoče dobiti druge pravilne poliedre. Kljub dejstvu, da redni mnogokotniki obstaja nešteto, obstaja le 5 pravilnih poliedrih.

Radii pravilnih mnogokotnikov

Z vsakim od teh geometrijskih teles so priključene 3 koncentrične krogle:

• opisano, ki poteka skozi njegove tocke;
• Zapisano je, da se dotika vsake njegove obraze v središču;
• Sredina, ki se dotika vseh reber na sredini.

Polmer kroga, ki je opisan, se izračuna po naslednji formuli:

• R = a: 2 x tg pi / g x tg theta-: 2.

Polmer kroga vpisanih je izračunan po formuli:

• R = a: 2 x ctg pi- / p x tg theta-: 2,

kjer Theta- je dvostranski kot, ki leži med sosednjima obrazoma.

Polmer kroga sredice se lahko izračuna po naslednji formuli:

• rho- = cos pi- / p: 2 sin pi- / h,

kjer je h vrednost 4,6, 6,10 ali 10. Razmerje opisanih in vpisanih polmerov je simetrično glede na p in q. Izračuna se po formuli:

• R / r = tg pi- / p x tg pi- / q.

Simetrija poliedra

Simetrija pravilnih polyhedrov povzroča glavni interes v teh geometrijskih telesih. Razume se kot tak gibanje telesa v vesolju, ki pušča enako število tock, obrazov in robov. Z drugimi besedami, pod vplivom preoblikovanja simetrije, rob, vertex ali obraz bodisi ohranja svoj prvotni položaj ali premakne v prvotno pozicijo drugega roba, drugega vertexa ali obraza.

Elementi simetrije pravilnih poliedra so značilni za vse vrste takšnih geometrijskih teles. Tu govorimo o transformaciji identitete, ki zapusti katero koli od točk v prvotnem položaju. Tako lahko pri vrtenju poligonalne prizme dobimo več simetrije. Vsak od njih je lahko predstavljen kot produkt odsevov. Simetrija, ki je produkt enakega števila refleksij, se imenuje črta. Če je produkt neparnega števila odsevov, potem se imenuje obratno. Tako vsa vrtenja okoli ravne črte predstavljajo neposredno simetrijo. Vsak odraz poliedra je inverzna simetrija.

Da bi bolje razumeli simetrične elemente pravilnih polyhedrov, lahko vzamemo primer tetraedrona. Vsaka ravna črta, ki gre skozi eno od točk in središče tega geometrijska številka, se bo skozi središče obraza nasproti njej. Vsaka od zvitkov pri 120 in 240 ° okoli črte pripada številu simetrije tetraedrona. Ker ima štiri tocke in obraze, obstaja le osem neposrednih simetrije. Vsaka od ravnih črt, ki potekajo skozi sredino rebra in središče tega telesa, poteka skozi sredino nasprotnega roba. Vsaka rotacija 180 °, imenovana pol-obrat, okoli črte je simetrija. Ker tetraedron ima tri pare robov, potem obstaja še tri neposredne simetrije. Iz zgoraj navedenega lahko sklepamo, da bo skupno število neposrednih simetrije, vključno z enako transformacijo, doseglo dvanajst. Za tetraedron ni druge neposredne simetrije, vendar ima 12 inverznih simetrik. Posledično je za tetraedron značilno le 24 simetrije. Zaradi jasnosti lahko izdelate model pravilnega tetraedrona iz kartona in zagotovite, da ima to geometrijsko telo res samo 24 simetrije.

Dodekaeder in ikosaeder sta telesa, ki so najbližja krogli. Ikozahedron ima največje število obrazov, največji dihedral kot, najbližji pa je lahko vpisano sfero. Dodekaeder ima najmanjšo kotno okvaro, največji svetel kot na vrhu. Svojo opisano področje lahko izpolni čim bolj.

Uvajanje poliedra

Pravi poliedrini čiščenja, ki smo jih vse skupaj zlepili v otroštvu, imajo številne koncepte. Če obstaja niz poligonov, pri katerih je vsaka stran označena samo z ene strani poliedra, mora identifikacija strani ustrezati dvema pogojema:

• iz vsakega poligona je mogoče iti skozi mnogokotnike, ki imajo označeno stran;
• morajo identificirane stranke imeti enako dolžino.

To je zbirka mnogokotnikov, ki izpolnjujejo te pogoje, ki se imenujejo razvijanje poliedra. Vsako od teh teles ima nekaj od njih. Tako ima na primer kocka 11 kosov.