Sistem neenakosti je rešitev. Sistem linearnih neenakosti

Neenakosti in neenakosti so ena od tem, ki se poučujejo v srednji šoli v algebi. Na ravni kompleksnosti ni najtežje, saj ima preproste predpise (o njih je malo kasneje). Učenci lahko praviloma preprosto rešijo sistem neenakosti. To je tudi posledica dejstva, da učitelji preprosto "učijo" svoje učence na to temo. In to ne morejo storiti, ker se v prihodnosti proučuje z uporabo drugih matematičnih veličin in se tudi preveri za OGE in UPORABO. V šolskih učbenikih je tema neenakosti in neenakosti podrobno opisana, zato je najbolje, da se z njimi ukvarjate, če jo boste študirali. Ta članek samo ponavlja velike materiale, v njej pa so lahko tudi nekaj opustitev.

Koncept sistema neenakosti

Če se obrnemo k znanstvenega jezika, je mogoče opredeliti pojem "sistem neenakosti". To je matematični model, ki predstavlja več neenakosti. Iz tega modela, seveda, potrebuje rešitev, in na njeno sposobnost, da deluje kot skupni odgovor za vse neenakosti sistema predlaganih na delovnem mestu (običajno v njem in pisati, na primer: "Rešite sistem neenakosti 4 x + 1> 2 in 30 - x > 6 ... "). Vendar, preden nadaljujete z vrstami in načini izdelovanja, boste potrebovali nekaj drugega, da ugotovimo, kaj.

Sistemi neenakosti in sistem enačb

V procesu preučevanja nove teme pogosto nastanejo nesporazumi. Po eni strani je vse jasno in raje začeli reševati naloge, na drugi pa nekaj trenutkov ostane v "senci", ne pa dokaj dobro razumeti. Tudi nekateri elementi že pridobljenega znanja se lahko prepletajo z novimi. Zaradi tega "prekrivanja" se pogosto pojavljajo napake.

Zato moramo pred začetkom analiziranja naše teme upoštevati razlike med enačbami in neenakostmi, njihovimi sistemi. Da bi to naredili, moramo še enkrat pojasniti, kaj so matematični koncepti. Enačba je vedno enakost in vedno je nekaj enaka (v matematiki je ta beseda označena z znakom = =). Neenakost je model, v katerem ena količina ali več ali manj kot druga ali vsebuje izjavo, da niso enaki. Tako je v prvem primeru primerno govoriti o enakosti, v drugem primeru pa je očitno, da se iz naslova lahko pojavi neenakost prvotnih podatkov. Sistemi enačb in neenakosti se praktično ne razlikujejo drug od drugega in metode za njihovo reševanje so enake. Edina razlika je v tem, da v prvem primeru uporabljamo enakosti, medtem ko se v drugi neenakosti uporablja.

Vrste neenakosti

Obstajata dve vrsti neenakosti: numerično in z neznano spremenljivko. Prvi tip predstavljajo količine (slike), ki so med seboj neenake, na primer 8> 10. Druga je neenakost, ki vsebuje neznano spremenljivko (označeno s katerokoli črko latinske abecede, najpogosteje X). Ta spremenljivka zahteva njegovo ugotovitev. Odvisno od tega, koliko jih je v matematičnem modelu neenakosti z eno (sestavljajo sistem neenakosti z eno spremenljivko) ali več spremenljivk (sestavljajo sistem neenakosti z več spremenljivkami).

Zadnji dve vrsti glede na stopnjo njihove konstrukcije in raven kompleksnosti rešitve sta razdeljeni na preproste in zapletene. Enostavno imenujemo tudi linearne neenakosti. Po drugi strani so razdeljeni na stroge in nestroge. Stroga je posebej "reči", da mora biti ena vrednost nujno manj ali več, zato je to v čisti obliki neenakost. Lahko podamo nekaj primerov: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, itd. Ne-enostavno vključujejo tudi enakost. To pomeni, da je ena vrednost lahko večja ali enaka drugi vrednosti (znak "ge;") ali manjša ali enaka drugi vrednosti (znak "le;"). Tudi v linearnih neenakostih, spremenljivka ne stoji v korenu, kvadrat, ni nič deljena, zaradi tega, kar imenujemo "preprosta". Kompleksne vključujejo neznane spremenljivke, katerih ugotovitev zahteva več matematičnih operacij. Pogosto so v kvadratu, kocki ali pod korenom, lahko so modularni, logaritmični, frakcijski itd. Toda ker naša naloga postane potrebo po razumevanju rešitve sistemov neenakosti, se bomo pogovarjali o sistemu linearnih neenakosti. Pred tem pa morate povedati nekaj besed o njihovih lastnostih.

Lastnosti neenakosti

Za lastnosti neenakosti veljajo naslednje določbe:

1. Znak nepravilnosti se spremeni, če se operacija uporablja za obrnitev strani (na primer, če je t₁ le-t₂, potem t₂ ge-t₁).
2. Oba dela neenakosti omogočata dodati enako številko (na primer, če je t₁ le-t₂, potem t₁ + število le-t₂ + številka).
3. Dve ali več neenakosti, ki imajo znak ene smeri, omogočajo dodajanje svoje leve in desne strani (na primer, če je t₁ge- t₂, t₃ge- t₄, potem t₁ + t₃ge- t₂ + t₄).
4. Oba dela neenakosti omogočata, da se pomnožita ali delita z enakim pozitivnim številom (na primer, če je t₁ le-t₂ in številka le-0, potem številka middot-t₁ geslo middot-t₂).
5. Dve ali več neenakosti, ki imajo pozitivne izraze in znak ene smeri, omogočajo, da se eden drug drugega pomnoži (na primer, če je t₁ le-t₂, t₃ le-t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ge- 0 potem t₁ middot-t₃ le-t₂ middot-t₄).
6. Oba dela neenakosti omogočata, da se pomnožita ali delita z enakim negativnim številom, vendar se znak neenakosti spremeni (na primer, če je t₁ le-t₂ in številka le-0, potem številka middot-t₁ geslo middot-t₂).
7. Vse neenakosti imajo lastnost tranzitnosti (na primer, če je t₁ le-t₂ in t₂ le-t₃, potem t₁ le-t₃).

Zdaj, ko preučimo glavne določbe teorije, ki se nanašajo na neenakosti, lahko neposredno preučimo pravila za reševanje njihovih sistemov.

Rešitev sistemov neenakosti. Splošne informacije. Rešitve

Kot je omenjeno zgoraj, je rešitev vrednost spremenljivke, ki je primerna za vse neenakosti danega sistema. Rešitev sistemov neenakosti je izvajanje matematičnih dejanj, ki sčasoma vodijo do rešitve celotnega sistema ali dokažejo, da nima rešitev. V tem primeru rečemo, da se spremenljivka nanaša na prazen numerični niz (napisano takole: pismo, ki označuje spremenljivko isin- (znak "pripada") ø (znak "prazen niz"), na primer x isin- ø (berite tako: "Spremenljivka" x "spada v prazen niz"). Obstaja več načinov za reševanje sistemov neenakosti: grafični, algebarski, metoda zamenjave. Omeniti velja, da se nanašajo na tiste matematične modele, ki imajo več neznanih spremenljivk. Če je le ena, je primerna metoda presledkov.

Grafična metoda

Omogoča reševanje sistema neenakosti z več neznanimi vrednostmi (od dveh in več). Zahvaljujoč tej metodi se sistem linearnih neenakosti reši zelo enostavno in hitro, zato je to najpogostejša metoda. To je zato, ker gradnja grafa zmanjšuje količino pisanja matematičnih operacij. Še posebej je prijetno, da se malo odmakne od ročaja, vzamemo svinčnik s ravnilom in nadaljujemo z nadaljnjimi ukrepi z njihovo pomočjo, ko je veliko dela opravljeno in želite malo sorte. Vendar ta metoda ne mara dejstvo, da se morate oddaljiti od naloge in spremeniti svojo duševno dejavnost na risanje. Kljub temu pa je to zelo učinkovit način.

Za reševanje sistema neenakosti z uporabo grafične metode je treba vse pogoje vsake neenakosti prenesti na njihovo levo stran. Znaki so obrnjeni, pravici je treba napisati nič, potem morate vsako neenakost zapisati ločeno. Posledično neenakosti prinašajo funkcije. Po tem lahko dobite svinčnik in ravnilo: zdaj bo treba narediti graf vseh prejetih funkcij. Celoten niz številk, ki bo v intervalu njihovega presečišča, bo rešitev sistema neenakosti.

Algebraična metoda

Omogoča reševanje sistema neenakosti z dvema neznanima spremenljivkama. Tudi neenakosti morajo imeti enak znak neenakosti (to pomeni, da morajo vsebovati le znak "več" ali le znak "manj" itd.). Kljub omejitvam je ta metoda tudi bolj zapletena. Uporablja se v dveh fazah.

Prvi vključuje dejstvo, da se znebite ene od neznanih spremenljivk. Najprej jo morate izbrati in preveriti, ali so pred to spremenljivko prisotne številke. Če niso (potem bo spremenljivo videti kot eno samo črko), potem ne bo nič spremenilo, če obstaja (vrsta spremenljivke je, na primer, tako da - 5Y in 12y), potem se morate prepričati, da je v vsakem neenakosti številko pred izbrano spremenljivko enako. Če želite to narediti, pomnožimo vsak član neenakosti s skupnim faktorjem, na primer, če prvi neenakost zabeležili 3Y, 5Y in drugega, je treba vse člane prve neenakosti, pomnožen s 5, in drugi - na 3. Get 15y in 15y oz.

Druga stopnja rešitve. Levo stran vsake neenakosti moramo prenesti na svoje desne strani, spremeniti znak vsakega izraza na nasprotno, v desno, napisati ničlo. Nato je najbolj zanimivo: znebiti se izbrane spremenljivke (na drugi način se imenuje "skrajšanje"), medtem ko zložite neenakosti. Neenakost dobimo z eno spremenljivko, ki jo je treba rešiti. Po tem morate storiti enako, le z drugo neznano spremenljivko. Dobljeni rezultati bodo rešitev sistema.

Metoda nadomestitve

Omogoča vam, da rešite sistem neenakosti, če je mogoče, da vnesete novo spremenljivko. Običajno se ta metoda uporablja, kadar se neznana spremenljivka v enem trajanju neenakosti dvigne na četrto moč in v drugem izrazu ima kvadrat. Tako je ta metoda usmerjena v zmanjšanje stopnje neenakosti v sistemu. Neenakost vzorca x⁴ - x² - 1 le-0 se tako reši, kot sledi. Uvede se nova spremenljivka, na primer t. Pišejo: "Naj bo t = x²", potem se model preoblikuje v novi obliki. V našem primeru dobimo t² - t-1 le-0. To neenakost je treba rešiti z intervalno metodo (približno malo kasneje), nato znova nazaj v spremenljivko X, potem pa enako z drugo neenakostjo. Prejeti odgovori bodo rešitev sistema.

Metoda intervalov

To je najpreprostejši način za reševanje sistemov neenakosti in hkrati je univerzalen in razširjen. Uporablja se v srednji šoli in celo v visokem šolstvu. Njeno bistvo leži v tem, da študent poišče intervencije neenakosti na številčni vrstici, ki je narisana v zvezku (to ni graf, ampak le navadna črta s številkami). Kadar se sekvence neenakosti presežejo, najdemo rešitev sistema. Če želite uporabiti metodo intervala, morate izvesti naslednje korake:

1. Vsi izrazi vsake neenakosti se prenašajo na levi strani s preobratom znaka (nič je zapisano v desno).
2. Neenakosti so napisane ločeno, odločitev vsakega od njih je določena.
3. Na številčnici so križišča neenakosti. Vse številke na teh križiščih bodo rešitve.

Kateri način uporabe?

Očitno je ta, ki se zdi najlažja in najprimernejša, vendar obstajajo primeri, ko naloge zahtevajo določeno metodo. Najpogosteje v njih je napisano, da ga je treba rešiti s pomočjo urnika ali z intervalno metodo. Algebraična Postopek zamenjave in redko uporablja ali sploh ne uporabljajo, ker so zapletene in nejasne ter tudi večjo uporabnost za reševanje sistemov enačb namesto neenakosti, zato je treba uporabiti za pripravo grafov in intervale. Prinašajo jasnost, ki ne more olajšati učinkovitega in hitrega izvajanja matematičnih operacij.

Če kaj ne uspe

Med študijem teme o algebre, seveda, lahko pride do težav z njenim razumevanjem. In to je normalno, ker so naši možgani zasnovani tako, da ne morejo razumeti kompleksnega gradiva hkrati. Pogosto morate ponovno prebrati odstavek, vzeti pomoč učitelja ali opraviti nalogo reševanja tipičnih nalog. V našem primeru, na primer, izgledajo tako: "Rešite sistem neenakosti 3 x + 1 ge- 0 in 2 x-1> 3. Torej, osebna težnja, pomoč zunanjih ljudi in praksa pomoč pri razumevanju vsake zapletene teme.

Reorganizacija?

In rezabynik je tudi zelo dober, vendar ne za odpis domače naloge, ampak za samopomoč. Z rešitvijo lahko najdejo sisteme neenakosti, si jih ogledajo (kot predloge), poskušajo razumeti, kako se avtor rešitve spopade z nalogo, nato pa poskusite to narediti na neodvisen način.

Sklepi

Algebra je eden od najtežjih predmetov v šoli. Kaj lahko storim glede tega? Matematika je bila vedno takšna: nekdo je dano preprosto, vendar nekdo s težavami. V vsakem primeru pa je treba opozoriti, da je splošni izobraževalni program zgrajen tako, da ga lahko vsak študent spozna. Poleg tega moramo upoštevati veliko število pomočnikov. Nekateri izmed njih so bili omenjeni zgoraj.