Logaritmi: primeri in rešitve

Kot je dobro znano, pri pomnoževanju izrazov s pooblastili se vedno navedejo njihovi eksponenti (a^b

Opredelitev v matematiki

Logaritem je izraz oblike: log_ab = c, tj logaritem koli nenegativno celo število (npr kakršno koli) "b" na svojem dnu "a" se šteje, da je stopnja "c", ki je potrebna za izgradnjo osnovne "A" do "b", da dobimo vrednost rezultata. Analiziramo logaritem na primerih, recimo, obstaja dnevnik zapisov₂8. Kako najti odgovor? To je zelo preprosto, morate najti stopnjo, da dobite 2 od zahtevane stopnje 8. Ko ste opravili nekaj izračunov v mislih, dobite številko 3! In res je, ker 2 v moči 3 daje odgovor na številko 8.

Različice logaritmov

Za mnoge študente in študente se ta tema zdi zapletena in nerazumljiva, v resnici pa logaritmi niso tako grozni, glavna stvar je razumeti njihov splošni pomen in se spomniti njihovih lastnosti in nekaterih pravil. Obstajajo tri ločene vrste logaritmičnih izrazov:

1. Naravni logaritem je ln, kjer je osnova številka Eulerja (e = 2,7).
2. Decimalni logaritem je lg a, kjer je osnova številka 10.
3. Logaritem poljubnega števila b na dnu a> 1.

Vsak od njih je rešen na standarden način, vključno s poenostavitvijo, zmanjšanjem in kasnejšim zmanjšanjem enega logaritma s pomočjo logaritmičnih izrekov. Da bi dobili pravilne vrednosti logaritmov, si zapomnite njihove lastnosti in vrstni red njihovih dejanj pri njihovem reševanju.

Pravila in nekatere omejitve

V matematiki obstaja več pravil - omejitev, ki so sprejete kot aksiom, torej niso predmet razprave in so resnične. Na primer, številk ne morete razdeliti za nič in še vedno ni mogoče izvleči korena s celo stopnjo iz negativnih številk. Logaritmi imajo tudi lastna pravila, po katerih se lahko brez težav naučijo delati tudi z dolgimi in prostranimi logaritmičnimi izrazi:

• osnova "a" mora biti vedno večja od nič in ne sme biti enaka 1, v nasprotnem primeru izraz izgubi svoj pomen, ker sta "1" in "0" v vsakem primeru vedno enaka njihovim vrednostim;
• če je a> 0, potem a^b0, se izkaže, da mora biti "c" večji od nič.

Kako rešiti logaritme?

Na primer, glede na nalogo iskanja odgovora na enačbo 10^x= 100. To je zelo enostavno, izbirati morate takšno stopnjo, dvigniti na deset, dobili smo 100. To je seveda kvadratna moč! 10²= 100.

In zdaj predstavimo ta izraz v obliki logaritmičnega izraza. Dobimo log₁₀100 = 2. Pri reševanju logaritmov vsa dejanja praktično konvergirajo, da bi našli stopnjo, do katere je treba vnesti bazo logaritma, da bi dobili določeno število.

Če želite natančno določiti vrednost neznane stopnje, se morate naučiti, kako delati s tabelo stopenj. Izgleda takole:

Kot lahko vidite, je mogoče nekatere eksponente uganiti intuitivno, če obstaja tehnična miselnost in poznavanje množilne tabele. Za velike vrednosti pa je potrebna tabela stopinj. Lahko ga uporabljajo tudi tisti, ki v kompleksnih matematičnih temah sploh ne razumejo. Levi stolpec vsebuje številke (osnovo a), zgornja vrstica številk pa je vrednost stopnje c, na katero se dvigne številka a. Na križišču v celicah so vrednosti številk, ki so odgovori (a^c= b). Vzemimo, na primer, prvo prvo celico s številko 10 in jo postavimo kvadratno, dobimo vrednost 100, ki je označena na presečišču naših dveh celic. Vse je tako preprosto in enostavno, da bo tudi resničen humanist razumel!

Enačbe in neenakosti

Izkazalo se je, da je pod določenimi pogoji eksponent logaritem. Zato je mogoče matematične numerične izraze zapisati v obliki logaritemske enakosti. Na primer, 3⁴= 81 se lahko zapiše v obliki logaritma števila 81 z osnovo 3, ki je enaka štiri (log₃81 = 4). Za negativne pristojnosti so pravila enaka: 2^-5= 1/32 pišemo v obliki logaritma, dobimo log₂ (1/32) = -5. Eden najbolj fascinantnih oddelkov matematike je tema "logaritmov". Primeri in rešitve enačb bodo obravnavani v nadaljevanju, takoj po proučevanju njihovih lastnosti. Sedaj pa analiziramo, kakšne so neenakosti in kako jih ločimo od enačb.

Podan je naslednji izraz: log₂(x-1)> 3 - je logaritemska neenakost, saj je neznana vrednost "x" pod znakom logaritma. In tudi v izrazu primerjamo dve količini: logaritem zahtevanega števila na dnu dveh je večji od števila treh.

Najpomembnejša razlika med logaritmičnimi enačbami in neenakostmi je v tem, da enačbe z logaritmi (na primer logaritem₂x = radik-9) v odgovor odgovarja ena ali več definiranih številskih vrednosti, medtem ko pri reševanju neenakosti določimo obseg dopustnih vrednosti in točke razkola te funkcije. Posledično odgovor ni preprost niz posameznih številk, kot v odzivu enačbe, ampak neprekinjena serija ali niz številk.

Osnovni izreki logaritmov

Pri reševanju primitivnih nalog pri iskanju vrednosti logaritma njene lastnosti morda niso znane. Ko pa gre za logaritemske enačbe ali neenakosti, je treba najprej jasno razumeti in uporabiti v praksi vse osnovne lastnosti logaritmov. Pozneje se bova seznanila s primeri enačb, zato najprej podrobneje analiziramo vsako premoženje.

1. Osnovna identiteta je naslednja: a^logaB= B. Uporablja se samo, če je a večji od 0, ki ni enak enemu in B je večji od nič.
2. Logaritem izdelka lahko predstavimo v naslednji formuli: log_d(s₁* s_{2) =} dnevnik_ds₁ + dnevnik_ds_2. V tem primeru je obvezni pogoj: d, s₁ in s₂ > 0-ane-1. Za to formulo logaritmov lahko podamo dokaze s primeri in rešitvami. Recimo, da se prijavite_as₁ = f₁ in dnevnik_as₂ = f₂, potem a^f1= s₁, a^f2= s_2. To smo pridobili₁* s₂ = a^f1* a^f2= a^{f1 + f2} (lastnosti moči), nato pa po definiciji: log_a(s₁* s₂) = f₁+ f₂ = dnevnik_as1 + dnevnik_as_2, kar je bilo treba dokazati.
3. Logaritem kvocienta je: log_a(s_{1 /}s₂) = log_as₁- dnevnik_as_2.
4. Izrek v obliki formule ima naslednjo obliko: log_a^q bⁿ = n / q log_ab.

Ta formula se imenuje "lastnost stopnje logaritma". Podobna je lastnosti navadnih stopenj in ni presenetljivo, ker vsa matematika temelji na logičnih postavitvah. Poglejmo si dokaz.

Recimo, da se prijavite_ab = t, dobimo a^t= b. Če dvignemo obe strani moči m: a^tn = bⁿ;

vendar od leta a^tn= (a^q)^{nt / q} = bⁿ, zato se prijavite_a^q bⁿ = (n * t) / t, nato log_a^q bⁿ = n / q log_ab. Izrek je dokazan.

Primeri problemov in neenakosti

Najpogostejši tipi problemov na temo logaritmov so primeri enačb in neenakosti. Najdeni so v skoraj vseh problemskih knjigah in so vključeni tudi v obvezni del matematičnih izpitov. Če želite vstopiti na univerzo ali opraviti vhodne teste iz matematike, morate vedeti, kako pravilno rešiti takšne naloge.

Na žalost ni enotnega načrta ali sheme za reševanje in določanje neznane vrednosti logaritma, vendar pa se za vsako matematično neenakost ali logaritemsko enačbo lahko uporabijo določena pravila. Najprej je treba ugotoviti, ali je mogoče poenostaviti izraz ali voditi do splošnega pogleda. Če uporabljate njihove lastnosti, lahko poenostavite dolge logaritmične izraze. Spoznajmo jih.

Pri reševanju logaritmičnih enačb je potrebno določiti, kakšen je logaritem pred nami: primer izraza lahko vsebuje naravni logaritem ali decimalno.

Tukaj je nekaj primerov decimalni logaritmi: ln100, ln1026. Njihova rešitev se izogiba dejstvu, da je treba določiti stopnjo, do katere bo osnova 10 enaka 100 in 1026. Za rešitve naravnih logaritmov je treba uporabiti logaritemske identitete ali njihove lastnosti. Oglejmo si primere rešitev logaritmičnih problemov različnih tipov.

Kako uporabljati logaritemske formule: s primeri in rešitvami

Tako obravnavamo primere uporabe osnovnih izrekov na logaritmih.

1. Lastnosti logaritma izdelka se lahko uporabijo pri nalogah, kjer je potrebno razčleniti veliko vrednost števila b v enostavnejše dejavnike. Na primer, prijavite₂4 + log₂128 = dnevnik₂(4 * 128) = log₂512. Odgovor je 9.
2. dnevnik₄8 = dnevnik_2² 2³ = 3/2 log₂2 = 1,5 - kot vidite, z uporabo četrte lastnosti stopnje logaritma, je bilo na prvi pogled mogoče rešiti kompleksen in nerazrešljiv izraz. Potrebno je samo razgraditi bazo v množitelje in nato vrednosti znakov od znaka logaritma.

Naloge iz USE

Logaritmi se pogosto nahajajo v prihajajočih izpitih, še posebej pri številnih logaritmičnih težavah v USE (državni izpit za vse šolarje). Običajno so te naloge prisotne ne samo v delu A (najlažji preskusni del izpita), temveč tudi v delu C (najbolj zapletene in obsežne naloge). Izpit pomeni natančno in popolno poznavanje teme "Naravni logaritmi".

Primeri in rešitve težav so vzeti iz uradnih različic USE. Poglejmo, kako se takšne naloge rešujejo.

Glede na dnevnik₂(2x-1) = 4. Rešitev:
ponovite zapis, nekoliko poenostavite jo z logom₂(2x-1) = 2², po definiciji logaritma ugotovimo, da 2x-1 = 2⁴, zato 2x = 17-x = 8,5.

Spodaj je nekaj priporočil, po katerih lahko enostavno rešite vse enačbe, ki vsebujejo izraze, ki so pod znakom logaritma.

• Vsi logaritmi najbolje vodijo do enega razloga, tako da rešitev ni okorna in zmedena.
• Vsi izrazi pod logaritemskim znakom so označeni kot pozitivni, tako da mora biti eksponent eksponenta, ki stoji pod logaritemskim znakom in kot osnovo, izraz, ki ostane pod logaritmom, pozitiven.