Diophantine enačba: metode reševanja s primeri

Algebraične neenakosti ali njihovi sistemi z racionalnimi koeficienti, katerih rešitve se iščejo v integralnih ali celoštevilnih številkah. Praviloma je število neznanih v dioptanski enačbi večje. Tako so znane tudi kot nejasne neenakosti. V sodobni matematiki se zgornji pojem uporablja za algebrske enačbe, katerih rešitve se iščejo v algebrskih celih razširitev polja Q-racionalnih spremenljivk, polj p-adic in tako naprej.

Izvor teh neenakosti

Študija diophantinskih enačb je na meji med teorijo števila in algebarsko geometrijo. Iskanje rešitev v celih spremenljivkah je ena najstarejših matematičnih problemov. Že na začetku drugega tisočletja pr. N. Št. Stari babilonci so uspeli rešiti sisteme enačb z dvema neznanima. Ta veja matematike je najbolj rasla v starodavni Grčiji. Aritmetika Diophantus (približno 3. stoletje AD) je pomemben in glavni vir, ki vsebuje različne vrste in sisteme enačb.

V tej knjigi je Diophantus predvidel številne metode za preučevanje neenakosti v drugi in tretji stopnji, ki so bili v celoti razviti v XIX. Stoletju. Ustvarjanje teorije racionalnih števil s strani tega raziskovalca antične Grčije je pripeljalo do analize logičnih rešitev negotovih sistemov, ki jih sistematično spremlja njegova knjiga. Kljub dejstvu, da njegovo delo vsebuje rešitve za specifične diophantine enačbe, obstajajo razlogi za domnevo, da je poznal tudi več skupnih metod.

Študija teh neenakosti je običajno povezana z resnimi težavami. Glede na to, da vsebujejo polinome s celoštevilnimi koeficienti F (x, y1, hellip-, y_n). Na podlagi tega smo ugotovili, da ni enotnega algoritma, s katerim bi bilo mogoče za vsak dan x določiti, ali je enačba F (x, y₁,hellip-., y_n). Položaj je rešljiv za y₁, hellip-, y_n. Primeri takšnih polinoma lahko zapišemo.

Najenostavnejša neenakost

ax + by = 1, kjer sta a in b sorazmerno celo število in primesi, za to obstaja veliko izvedb (če je x_0, y₀ rezultat je ustvarjen, nato pa par spremenljivk x = x₀ + b_n in y = y₀^-an, kjer je n poljubna, bo obravnavana tudi kot neenakost). Drug primer dioptanske enačbe je x² + y² = z². Pozitivne integralne rešitve te neenakosti so dolžine majhnih strani x, y in pravokotnih trikotnikov ter hipotenuze z z vsemi laternimi dimenzijami. Te številke so znane pod imenom Pitagorejske številke. Vsi tripleti v primerjavi s preprostimi spremenljivkami, ki so navedene zgoraj, so podane s formulami x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², kjer sta m in n cela števila in primesi (m> n> 0).

Diophantus v svoji "aritmetiki" išče racionalne (ne nujno integralne) rešitve posebnih vrst njihovih neenakosti. Splošno teorijo reševanja diophantinskih enačb prve stopnje je razvil K. G. Bashet v 17. stoletju. Drugi znanstveniki v začetku devetnajstega stoletja so preučevali predvsem podobne neenakosti vrste ax² +bxy + cy² + dx + ey + f = 0, kjer so a, b, c, d, e in f splošne, nehomogene, z dvema neznancema druge stopnje. Lagrange je v svoji študiji uporabljal neprekinjene frakcije. Gauss za kvadratne oblike je razvil splošno teorijo, ki je podlaga za rešitev nekaterih vrst.

V študijah teh neenakosti v drugi stopnji je bil dosežen pomemben napredek šele v dvajsetem stoletju. V A. Thueu je bilo ugotovljeno, da je dioptinska enačba a₀xⁿ + a₁x^n-1y + hellip- + a_nyⁿ= c, kjer je nge-3, a₀,hellip-, a_n,c so celo število in a₀tⁿ + ^hellip- +a_n ne more imeti neskončno število celih rešitev. Vendar Thuejeva metoda ni bila pravilno razvita. A. Baker je ustvaril učinkovite izreke, ki dajejo ocene o izpolnjevanju določenih enačb te vrste. B. N. Delaunay je predlagal še eno metodo preiskave, ki se uporablja za ožji razred teh neenakosti. Zlasti obliko ax³ + y³ = 1 je na ta način popolnoma rešljiv.

Diophantine enačbe: metode rešitve

Teorija Diophantus ima veliko smeri. Tako dobro znana težava v tem sistemu je hipoteza, da ni ne-trivialne rešitve diophantinskih enačb xⁿ + yⁿ = zⁿ če n 3 (vprašanje Fermata). Študija celostnih neenakosti je naravna generalizacija problema pitagorejskih trojčkov. Euler je dobil pozitivno rešitev problema Fermata za n = 4. Na podlagi tega rezultata se sklicuje na dokaz manjkajočega celostnega nenavadnega študija enačbe, če je n nenavadno prime število.

Študija glede odločitve ni bila zaključena. Težave pri njegovem izvajanju so posledica dejstva, da preprosta faktorizacija v obroču algebrskih celih števil ni edinstvena. Teorija deliteljev v tem sistemu za mnoge razrede primarnih eksponentov n nam omogoča, da potrdimo veljavnost Fermatovega izreka. Tako obstoječe metode in metode izpolnjujejo linearno Diophantine enačbo z dvema neznankama.

Vrste in vrste opisanih nalog

Aritmetika obročev algebrskih celih števil se uporablja tudi pri številnih drugih problemih in rešitvah diophantinskih enačb. Takšne metode so bile na primer uporabljene, če so neenakosti v obliki N (a₁ x₁ +hellip- + a_nx_n) = m, kjer je N (a) norma a in x₁, hellip-, x_n integralne racionalne spremenljivke. Ta razred vključuje pellovo enačbo x^2-dy²= 1.

Vrednosti a_{1, hellip-,} a_n ki se pojavijo, so te enačbe razdeljene na dve vrsti. Prva vrsta - tako imenovane popolne oblike - vključuje enačbe, v katerih so med m linearno neodvisnimi števili nad poljem racionalnih spremenljivk Q, kjer je m = [Q (a₁,hellip-, a_n): Q], v kateri obstaja stopnja algebraičnih eksponent Q (a1, hellip-, a_n) nad Q. Nepopolni pogledi so tisti, v katerih je največje število a_i manj kot m.

Popolne oblike so preprostejše, njihova raziskava je končana in vse rešitve lahko opišemo. Druga vrsta - nepopolne vrste - je bolj zapletena in razvoj takšne teorije še ni končan. Takšne enačbe so proučevali uporabo Diophantine približki, ki vključujejo neenakosti F (x, y) = C, kjer je F (x, y), - je NED-stopnja polinoma Nesvodljiv 3 enotna. Tako lahko predpostavimo, da y_i→infin-. Če torej y_i To je dovolj velika, da neenakost v nasprotju Ž Thue, Siegel Roth, iz katerega izhaja, da ima lahko F (x, y) = C, kjer je F tvorita tretjo stopnjo ali več Nesvodljiv neskončno število rešitev.

Kako rešiti Diophantine enačbo?

Ta primer je precej ozek razred med vsemi. Na primer, kljub njihovi preprostosti, x³ + y³ + z³ = N, in tudi x² +y ² +z² +u² = N niso vključeni v ta razred. Študija rešitev je temeljito preučena veja diophantinskih enačb, kjer predstavitev temelji na predstavitvi s kvadratnimi oblikami številk. Lagrange je ustvaril izrek, ki navaja, da obstaja izvršitev za vse naravne N. Vsako naravno številko lahko predstavlja vsoto treh kvadratov (Gaussova izreka), vendar ne bi smela imeti oblike 4^a(8K-1), pri čemer sta a in k negativni negativni celoštevilni eksponenti.

Racionalne ali integralne rešitve sistema diofantinske enačbe tipa F (x₁, hellip-, x_n) = a, kjer je F (x₁, hellip-, x_n) je kvadratna oblika z integriranimi koeficienti. Tako je, glede na izrek Minkowski-Hasse, neenakost sum-a_ijx_ix_j = b kjer je a_ij in b je racionalen, ima celovito rešitev v realnih in p-adičnih številkah za vsak prime p le, če je v tej strukturi rešljiv.

Zaradi neločljivih težav je bila študija številk s poljubnimi oblikami tretje stopnje in višje preučena v manjši meri. Glavni način izvedbe je metoda trigonometričnih vsot. V tem primeru je število rešitev enačbe izrecno zapisano v smislu Fourierjevega integrala. Po tem se okoljska metoda uporablja za izražanje količine izpolnjevanja neenakosti ustreznih soglasij. Metoda trigonometričnih vsot je odvisna od algebarskih singularnosti neenakosti. Obstaja veliko število osnovnih metod za reševanje linearnih Diophantine enačb.

Diophantine analiza

Področje matematike, katerega predmet je preučevanje integralnih in racionalnih rešitev sistemov enačb algebre z metodami geometrije, iz iste sfere. V drugi polovici 19. stoletja je pojav te teorije številk pripeljal do preučevanja Diophantusovih enačb iz poljubnega polja s koeficienti, rešitve pa smo upoštevali bodisi v njej bodisi v njegovih obročih. Sistem algebrskih funkcij, razvitih vzporedno s številkami. Osnovna analogija med dvema, ki jo je poudaril D. Hilbert in zlasti L. Kronecker, je vodil do enotne konstrukcije različnih aritmetičnih konceptov, ki se ponavadi imenujejo globalno.

To je še posebej opazno, če so algebarske funkcije, preučene v končnem polju konstant, ena spremenljivka. Koncepti, kot so teorija razrednih polj, delitelj, pa tudi razvejani in rezultati so dobra ilustracija zgoraj navedenega. To stališče je bilo v sistemu diofantskih neenakosti sprejeto le kasneje, sistematične raziskave pa so se začele šele v 50-ih letih, ne le s številčnimi, temveč tudi s koeficienti, ki so funkcije. Eden od odločilnih dejavnikov pri tem pristopu je bil razvoj algebarske geometrije. Istočasno proučevanje področij številk in funkcij, ki se pojavljajo kot dva enako pomembna vidika istega predmeta, ne samo da je dalo elegantne in prepričljive rezultate, temveč je vodilo k vzajemni obogatitvi dveh tem.

V algebrski geometriji kolektorja se nadomesti s pojmom brez nespremenljivih niz neenakosti v danem terenu K, in njihove rešitve se nadomesti z racionalnimi točk z vrednostmi v K ali končati svojo širitev. Ali se lahko v skladu s tem je dejal, da je temeljni problem Diophantine geometrija za raziskovanje racionalnih točk algebraična set X (K), X, kjer je - ima določeno število polje K. Izvedba celo geometrijski pomen a linearnih Diophantine enačb.

Študije neenakosti in možnosti izvajanja

Pri proučevanju racionalnih (ali integralnih) točk na algebarskih sortah se pojavlja prvi problem, ki se sestoji iz njihovega obstoja. Deseti Hilbertov problem je oblikovan kot problem iskanja splošne metode za reševanje tega problema. V procesu ustvarjanja natančno določitev algoritem, in potem ko se je izkazalo, da je tako veliko število usmrtitev za naloge ne obstajajo, očitno problem je negativen rezultat, in najbolj zanimivo vprašanje je opredelitev razredov Diofantske enačbe, za katere obstaja sistem zgoraj. Najbolj naraven pristop z algebarskega vidika je tako imenovano Hassejevo načelo: preučeno je začetno polje K skupaj z njenimi zaključki K_v o vseh možnih ocenah. Ker je X (K) = X (K_v) so nujen pogoj za obstoj, in K-točka upošteva, da je množica X (K_v) niso prazne za vse v.

Pomembno je, da zmanjša dva problema. Druga je veliko preprostejša, rešljiva z dobro znanim algoritmom. V konkretnem primeru, ko je raznolika X projicna, je Henselova lemma in njene generalizacije omogočena nadaljnja zmanjšanja: problem se lahko zmanjša na študijo racionalnih točk na končnem polju. Nato se odloči zgraditi koncept bodisi s sekvenčno študijo bodisi z učinkovitejšimi metodami.

Zadnja pomembna ugotovitev je, da so množice X (K_v) niso prazne za vse v, razen za končno število, tako da je število pogojev vedno končno in jih je mogoče učinkovito preveriti. Vendar se načelo Hasse ne uporablja za ukrivljene pristojnosti. Na primer, 3x³ +4y³= 5 ima točke v vseh p-adic številskih poljih in v sistemu realne številke, vendar nima racionalnih točk.

Ta metoda je služila kot izhodišče za konstruiranje koncepta, ki opisuje razrede glavnih homogenih prostorov abelovih sort za izvajanje "odstopanja" iz načela Hasse. Opisana je v smislu posebne strukture, ki jo je mogoče povezati z vsako sorto (skupino Tate-Safarevic). Glavna težava teorije je, da je težko pridobiti metode za izračun skupin. Ta koncept je bil razširjen tudi na druge razrede algebrskih sort.

Poiščite algoritem za izpolnjevanje neenakosti

Druga hevristična ideja, uporabljena pri preučevanju Diophantine enačb, je, da če je število spremenljivk, ki sodelujejo v množici neenakosti, veliko, potem ima sistem ponavadi rešitev. Vendar je za vsak primer posebej težko dokazati. Splošni pristop k takim problemom uporablja analitično teorijo številk in temelji na ocenah trigonometričnih vsot. Ta metoda je bila prvotno uporabljena za posebne vrste enačb.

Vendar pa je bilo nato dokazano z njo, če je stopnja lihe obliki, - F, in po tem, n spremenljivk, in z racionalnimi koeficienti, n je dovolj velik v primerjavi z D, zato je racionalen točko projekcijsko hiperploskev F = 0. V skladu s hipotezo Artin, ta rezultat je pravilen, četudi n> d². To je dokazano samo za kvadratne oblike. Podobne težave lahko zahtevate tudi za druga področja. Osrednji problem Diophantine geometrije je struktura nabora celih ali racionalnih točk in njihova študija, prvo vprašanje, ki ga je treba pojasniti, je, ali je ta niz konec. V tem problemu ima položaj običajno končno število usmrtitev, če je stopnja sistema veliko večja od števila spremenljivk. To je osnovna predpostavka.

Neenakosti na progah in krivinah

Skupino X (K) je lahko predstavljena kot neposredna vsota proste strukture ranga r in končne skupine reda n. Od tridesetih let naprej se postavlja vprašanje, ali so te številke omejene na množici vseh eliptičnih krivulj v danem polju K. Torsionna zveza n je bila dokazana v sedemdesetih letih. Obstajajo krivulje samovoljnega visokega ranga v funkcionalnem primeru. V številčnem primeru na to vprašanje še vedno ni odgovora.

Nazadnje, domneva Mordella trdi, da je število integralnih točk končna za krivuljo roda g> 1. V funkcionalnem primeru je ta koncept dokazal Yu. I. Manin leta 1963. Glavno orodje, ki se uporablja pri dokazovanju končnosti teoreme v Diophantine geometriji, je višina. Najbolj temeljito smo preučevali algebarske sorte dimenzij, večje od ene abelijske sorte, ki so večdimenzionalni analogi eliptičnih krivulj.

A. Weyl je generaliziral izrek o finičnosti števila generatorjev skupine racionalnih točk na abelove sorte katere koli dimenzije (koncept Mordell-Weil), ki ga razširja. V šestdesetih letih se je pojavila hipoteza Birch in Swinnerton-Dyer, ki je izboljšala to skupino in zeta funkcije kolektorja. Številne dokaze podpirajo to hipotezo.

Problem rešljivosti

Problem iskanja algoritma, s pomočjo katerega je mogoče ugotoviti, ali ima katera koli dioptinska enačba rešitev. Bistvena lastnost postavljene problematike je iskanje univerzalne metode, ki bi bila primerna za vsako neenakost. Tak postopek bi omogočal tudi rešiti navedeni sistem, ker je enakovredna P21 + ⋯ + P2k = 0.p1 = 0, ..., PK = 0n = 0, ..., NK je 0 ali p21 + ⋯ + P2K = 0. n12 + ⋯ + nK2 = 0. Problem iskanja takšne univerzalne metode za iskanje rešitev za linearne neenakosti v celih številih je predstavljal D. Hilbert.

V začetku 50. let prejšnjega stoletja so bile prve študije namenjene dokazovanju neobstoja algoritma za reševanje Diophantine enačb. V tem času se je pojavila hipoteza o Davisu, v kateri je bilo rečeno, da vsaka enumerirana množica pripada tudi grškim znanstvenikom. Ker so primeri algoritemsko nerazrešljivih množic znani, vendar so rekurzivno enumerirani. Iz tega sledi, da je domneva Davisa resnična in da ima problem solvabilnosti teh enačb negativno izpolnitev.

Po tem, za Davisovo domnevo, ostaja dokazati, da obstaja metoda preoblikovanja neenakosti, ki je hkrati tudi (ali nima) rešitve. Ugotovljeno je bilo, da je takšna sprememba dioptinske enačbe mogoče, če je z navedenimi lastnostmi: 1) v kateri koli raztopini te vrste vle-uu - 2) za vsako k Pri tem je prisotna eksponentna rast.

Primer linearne diophantine enačbe tega razreda dopolnjuje dokaz. Problem obstoja algoritma za rešljivost in prepoznavnost v racionalnem številu teh neenakosti je še vedno pomembno in odprto vprašanje, ki ga ni bilo dovolj raziskano.