Teorija verjetnosti. Verjetnost dogodka, naključni dogodki (teorija verjetnosti). Neodvisni in nezdružljivi dogodki v teoriji verjetnosti

Malo je verjetno, da mnogi razmišljajo o tem, ali je mogoče izračunati dogodke, ki so do neke mere naključni. Z enostavnimi izrazi je res mogoče vedeti, na katero stran kocke je kocke

Izvor

Če boste poskušali določiti tak koncept kot teoriji verjetnosti, dobimo naslednje: to je ena od vej matematike, ki proučuje konstantnosti naključnih dogodkov. Jasno je, da ta koncept dejansko ne razkrije celotne točke, zato ga je treba podrobneje preučiti.

Rad bi začel z ustanovitelji teorije. Kot je bilo že omenjeno, je bilo to dva Pierre Fermat in Blaise Pascal. Bili so prvi poskus z uporabo formul in matematičnih izračunov za izračun izid dogodka. Na splošno velja, zametke te znanosti je še v srednjem veku. Medtem ko so razni misleci in znanstveniki poskušali analizirati casino iger, kot so ruleta, craps, in tako naprej, tako da se vzpostavi vzorec, in izguba odstotek več. Temelj je bil položen tudi v sedemnajstem stoletju je bil prej omenjeni znanstveniki.

Sprva, njihovo delo ni bilo mogoče pripisati velike dosežke na tem področju, po vsem, kar so naredili, so bili samo empirična dejstva in poskusi so bili očitno brez uporabe formul. Sčasoma se je izkazalo, da se doseže dobre rezultate, ki so se pojavili kot posledica opazovanja zasedbi kosti. To je ta instrument pomagal, da bi prvi poseben formulo.

Enotni ljudje

Da ne omenjam, človek kot Christiaan Huygens, v postopku preučevanja predmeta, ki nosi ime "verjetnostne teorije" (verjetnost dogodka se izpostavlja v tej znanosti). Ta oseba je zelo zanimiva. On, kot tudi znanstveniki zgoraj predstavljeni so poskušali v obliki matematičnih formul razbrati vzorec naključnih dogodkov. Omeniti je treba, da je ne bi delil z Pascal in Fermat, da je vse njegovo delo ne prekriva s temi glavah. Ugotovili so Huygens osnovni koncepti teorije verjetnosti.

Zanimivo je, da je bilo njegovo delo objavljeno že dolgo pred rezultati del odkriterjev, oziroma dvajset let prej. Med določenimi koncepti so najbolj znani:

• koncept verjetnosti kot velikost priložnosti;
• matematična pričakovanja za diskretne primere;
• teoreme množenja in dodajanje verjetnosti.

Prav tako je nemogoče, da se ne spomnim Jakoba Bernoullija, ki je tudi pomembno prispeval k proučevanju problema. Svojega lastnega, nihče na neodvisnih preizkušnjah ni mogel predstaviti dokaza o velikem številu zakonov. Po drugi strani so znanstveniki iz Poissona in Laplacea, ki so delali v začetku devetnajstega stoletja, lahko dokazali izvirne izreke. V tej točki je bila teorija verjetnosti uporabljena za analiziranje napak med opazovanjem. Ruski znanstveniki, natančneje Markov, Chebyshev in Diapunov, niso mogli niti zaobiti te znanosti. Na podlagi dela, ki so ga opravili veliki geniji, so to temo določili kot del matematike. Te številke so delovale konec devetnajstega stoletja in zaradi njihovega prispevka so taki pojavi kot:

• zakonodaja velikih številk;
• teorija Markovskih verig;
• centralna mejna izreka.

Torej, z zgodovino rojstva znanosti in z glavnimi osebami, ki so vplivale na to, je vse bolj ali manj jasno. Zdaj je čas, da konkretiziramo vsa dejstva.

Osnovni pojmi

Pred dotikom zakonov in izrekov je vredno preučiti osnovne koncepte teorije verjetnosti. Dogodek v njem prevladuje. Ta tema je precej obsežna, vendar brez nje ne boste mogli razumeti vsega drugega.

Dogodek v teoriji verjetnosti je katerikoli niz rezultatov izvedenega poskusa. Ni tako veliko pojmov tega pojava. Torej, znanstvenik Lotman, ki dela na tem področju, je dejal, da v tem primeru gre za to, kar se je zgodilo ", čeprav se to ne bi moglo zgoditi."

Naključni dogodki (teorija verjetnosti namenja posebno pozornost) je koncept, ki implicira absolutno vsak pojav, ki se lahko pojavi. Ali, nasprotno, se ta scenarij ne more zgoditi, ko so izpolnjeni številni pogoji. Omeniti velja tudi, da gre za naključne dogodke, ki zajamejo celoten obseg dogodkov, ki so se zgodili. Teorija verjetnosti kaže, da lahko vse pogoje ponovimo ves čas. To je bilo njihovo vedenje, ki se je imenovalo "izkušnja" ali "test".

Določen dogodek je pojav, ki se bo v celoti pojavil v tem poskusu. Zato je nemogoč dogodek nekaj, kar se ne zgodi.

Združevanje parnih dejanj (pogojno primer A in primer B) je pojav, ki se pojavlja hkrati. Označeni so kot AB.

Vsota parov dogodkov A in B je C, z drugimi besedami, če pride vsaj eden od njih (A ali B), potem je rezultat C. Formula za opisani fenomen je zapisana kot: C = A + B.

Neusklajeni dogodki v teoriji verjetnosti pomenijo, da se dva primera medsebojno izključita. Hkrati se v nobenem primeru ne morejo zgoditi. Skupni dogodki v teoriji verjetnosti so njihova antipoda. Tu je mišljeno, da če se je zgodilo A, to ne preprečuje V.

Nasprotni dogodki (teorija verjetnosti jih obravnava zelo podrobno) je preprosta za razumevanje. Najbolje je, da jih obravnavamo v primerjavi s tem. So skoraj enaki kot nezdružljivi dogodki v teoriji verjetnosti. Toda njihova razlika je v tem, da se v vsakem primeru pojavijo eden od mnogih pojavov.

Enako možni dogodki so tisti ukrepi, katerih ponovljivost je enaka. Če želite biti jasnejši, si lahko predstavljate metanje kovanca: padec ene od njegovih strani je enak verjetni padec drugega.

Primer z ugodnim dogodkom je lažje razmisliti. Recimo, da gre za epizodo B in epizodo A. Prvo je zvitek kocke z videzom liho število, drugi pa je videz številke pet na kocki. Potem se izkaže, da je A ugodna za B.

Neodvisni dogodki v teoriji verjetnosti so predvideni le v dveh ali več primerih in pomenijo neodvisnost vsakega dejanja drugega. Na primer A - spuščanje repov med metanjem kovanca, in B - pridobivanje jack iz krova. To so neodvisni dogodki v teoriji verjetnosti. S tega trenutka je postalo jasno.

Odvisni dogodki v teoriji verjetnosti so dopustni le za njihov nabor. To pomeni odvisnost ene od druge, to je, pojav B se lahko pojavi samo, če se je A že zgodil ali, obratno, ni zgodilo, če je to glavni pogoj za V.

Rezultat naključnega poskusa, sestavljenega iz ene komponente, so elementarni dogodki. Teorija verjetnosti pojasnjuje, da je to pojav, ki se je zgodil samo enkrat.

Osnovne formule

Torej so bili pojmi "dogodek", "teorija verjetnosti" obravnavani zgoraj, opredeljena so bila tudi osnovna pojma te znanosti. Zdaj je čas, da se neposredno seznanimo s pomembnimi formulami. Ti izrazi matematično potrjujejo vse glavne pojme v tako težkem predmetu kot teorijo verjetnosti. Verjetnost dogodka ima tukaj pomembno vlogo.

Bolje je začeti z osnovnimi formulami kombinatorike. In preden nadaljujete z njimi, je vredno razmisliti o tem, kaj je.

Kombinatorika - je predvsem veja matematike, ki mu je bil študij ogromno število celih števil, in različnih permutacij obeh številk in njihovih elementov, različnih podatkov, itd, kar je privedlo do številnih kombinacij ... Poleg teoriji verjetnosti, ta industrija je pomembna za statistike, računalništva in kriptografije.

Torej, sedaj lahko nadaljujete na predstavitev formul sami in njihovo definicijo.

Prvi od teh bo izraz za število permutacij, izgleda tako:

P_n = n sdot- (n-l) sdot- (n-2) hellip-3 sdot-2 sdot-1 = n!

Enačba se uporablja le, če se elementi razlikujejo le po vrstnem redu njihove lokacije.

Zdaj bomo upoštevali formulo umestitve, izgleda tako:

A_n ^ m = n sdot- (n-l) sdot- (n-2) sdot- ... sdot- (n-m + 1) = n! : (n - m)!

Ta izraz se uporablja ne le za vrstni red postavitve elementa, ampak tudi za njegovo sestavo.

Tretja enačba kombinatorike, in to je slednja, se imenuje formula za število kombinacij:

C_n ^ m = n! : (((n - m))! : m!

Kombinacija je vzorec, ki ni naročeno, in to pravilo velja zanje.

C kombinatorne formule Izkazalo se je, da je enostavno razumeti, zdaj pa lahko nadaljujemo s klasično definicijo verjetnosti. Ta izraz je videti takole:

P (A) = m: n.

V tej formuli je m število pogojev, ki dajejo prednost dogodku A, n pa je število absolutno vseh enako mogočih in elementarnih rezultatov.

Obstaja veliko izrazov, članek ne bo pokrival vsega, ampak bodo vplivale na najpomembnejše, na primer verjetnost vsote dogodkov:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ta izrek za dodajanje samo nezdružljivih dogodkov;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ta je dodatek samo združljiv.

Verjetnost dogodka:

P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B) - to izrek za neodvisne dogodke;

(P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B | A) -P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (A | B)) - in to eno za vzdrževano.

Končajte seznam formul za dogodke. Teorija verjetnosti govori o Beesovem izreku, ki je videti takole:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (vsota -_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ... , n

V tej formuli, H₁, H₂, hellip-, H_n Je popoln niz hipotez.

V zvezi s tem bomo obravnavali primere uporabe formul za reševanje specifičnih problemov iz prakse.

Primeri

Če natančno preučujete kateri koli del matematike, to ne velja brez vaj in vzorčnih rešitev. Torej teorija verjetnosti: dogodki, primeri tukaj so sestavni del, ki potrjuje znanstvene izračune.

Formula za število permutacij

Recimo, da je v kartonskem krovu trideset kart, začenši z nominalno vrednostjo ena. Naslednje vprašanje. Koliko načinov obstajajo načini za premikanje krova tako, da kartice z osebnimi vrednostmi enega in dveh ne ležijo drug ob drugem?

Naloga je nastavljena, zdaj pa prestavimo na njegovo rešitev. Najprej morate določiti število permutacij trideset elementov, zato bomo upoštevali zgornjo formulo, dobimo P_30 = 30!

Na podlagi tega pravila se naučimo, koliko možnosti je, da bi krov razložili na različne načine, vendar moramo od njih odšteti tiste, v katerih bodo prva in druga kartica naslednja. Če želite to narediti, začnemo z možnostjo, ko je prva nad drugo. Izkazalo se je, da lahko prva karta sprejme devetindvajset mest - od prvega do devetindvajsetega, in druga karta od drugega do tridesetega, za par kart je le devetindevet mest. V zameno lahko ostalo osemindvajset mest in v poljubnem vrstnem redu. To pomeni, da je za izmenjavo osemindvajsetih kartic na voljo 28 različic P_28 = 28!

Na koncu se izkaže, da, če bomo upoštevali rešitev, ko bo prva kartica nad drugo, se bodo pojavile dodatne možnosti 29 sdot-28! = 29!

Z uporabo iste metode morate izračunati število odvečnih možnosti za primer, ko je prva kartica pod drugo. Izkazalo se je tudi 29 sdot-28! = 29!

Iz tega izhaja, da dodatne možnosti 2 sdot-29!, medtem ko so potrebni načini za zbiranje krova 30! - 2 sdot-29!. Še vedno se šteje.

30! = 29! sdot-30- 30! - 2 sdot-29! = 29! sdot- (30-2) = 29! sdot-28

Sedaj moramo pomnožiti vse številke od ene do devetindvajsetih, potem pa vse pomnožimo z 28. Dobimo odgovor 2,4757335 sdot- 〖10〗 ^ 32

Rešitev primera. Formula za število umestitev

V tej nalogi je potrebno ugotoviti, kako na petih nosilcih na eni polici dati pet načinov, vendar pod pogojem, da je v tridesetih knjigah skupaj.

V tem problemu je rešitev nekoliko enostavnejša kot v prejšnji. Z uporabo že znane formule je potrebno izračunati skupno število ureditev od tridesetih do petnajstih.

A_30 ^ 15 = 30 sdot-29 sdot-28sdot -... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot-29 sdot-28 sdot- ... sdot-16 = 202.843.204.931.727.360.000

Odgovor bo torej 202 843 204 931 727 360 000.

Zdaj pa naredimo nalogo malo bolj zapleteno. Treba je ugotoviti, koliko načinov je, da se na dve knjižni polici doda trideset knjig, pod pogojem, da je na eni polici le petnajst knjig.

Pred začetkom rešitve bi rad pojasnil, da so nekateri problemi rešeni na več načinov, zato v tem obstajajo dva načina, vendar obe uporabljata enako formulo.

V tej nalogi lahko odgovorimo iz prejšnjega, saj smo tam izračunali, kolikokrat je mogoče polniti petnajst knjig na različne načine. Izkazalo se je, da A_30 ^ 15 = 30 sdot-29 sdot-28 sdot- ... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot-29 sdot-28 sdot- ... sdot- 16.

Druga polica se izračuna v skladu s formulo permutacije, saj je v njej dano petnajst knjig, medtem ko je ostalo samo petnajst knjig. Uporabljamo formulo P_15 = 15!.

Izkazalo se je, da bo vsota A_30 ^ 15 sdot- P_15 načine, ampak, poleg tega, da je izdelek vseh številk od trideset do šestnajst pomnoži s produktom številk od enega do petnajst, na koncu izkaže izdelek vseh številk od enega do trideset, da je, odgovor je 30!

Toda to nalogo je mogoče rešiti na drugačen način - to je lažje. Za to si lahko predstavljate, da obstaja en polk za trideset knjig. Vsi so nameščeni na tej ravnini, vendar pa zaradi pogoja zahteva, da sta dve policiji, nato pa polovico, dve do petnajst, odrežemo eno dolžno žago. Iz tega se izkaže, da so lahko različice dogovora P_30 = 30!

Rešitev primera. Formula za kombinacijsko številko

Zdaj bomo preučili različico tretjega problema iz kombinatorike. Potrebno je ugotoviti, koliko načinov je treba urediti petnajst knjig, pod pogojem, da je potrebno izbrati trideset popolnoma identičnih.

Za rešitev, seveda, se uporabi formula za število kombinacij. Od pogoja postane jasno, da vrstni red enake petnajstih knjig ni pomemben. Zato je najprej potrebno ugotoviti skupno število kombinacij od trideset knjig do petnajst.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

To je vse. S pomočjo te formule je bilo v najkrajšem možnem času mogoče rešiti tak problem, oziroma je odgovor 155 117 520.

Rešitev primera. Klasična definicija verjetnosti

Z zgornjo formulo lahko odgovor najdete v preprosti nalogi. Toda to bo vizualno omogočilo ogled in spremljanje poteka dejanja.

V težavi je razvidno, da v žari obstaja deset popolnoma enakih kroglic. Od tega so štiri rumene in šest modre. Ena žoga je vzeta iz žare. Morate poznati verjetnost, da postaneš modra.

Da bi rešili težavo, je treba dogodek označiti za pridobivanje modre kroglice. Ta izkušnja ima lahko deset rezultatov, ki pa so osnovni in enako možni. Hkrati je za dogodek A ugodno za deset ali deset deset. Odločimo se po formuli:

P (A) = 6: 10 = 0,6

S to formulo smo ugotovili, da je zmožnost, da dobimo modro kroglico, 0,6.

Rešitev primera. Verjetnost vsote dogodkov

Zdaj bo predstavljena različica, ki se reši z uporabo verjetnostne formule vsote dogodkov. Torej, pod pogojem, da je na voljo dve škatli, v prvi je ena siva in pet belih kroglic, v drugi pa osem sivih in štirih belih kroglic. Kot rezultat, je bil eden od njih vzet iz prve in druge škatle. Treba je ugotoviti, kakšna je možnost, da bodo prejete kroglice sive in bele.

Za rešitev tega problema je potrebno označiti dogodke.

• Torej, A - vzel sivo kroglico iz prvega predala: P (A) = 1/6.
• Arsquo- - vzel belo kroglico tudi iz prvega predala: P (A `) = 5/6.
• B - izvlekli sivo kroglico iz druge škatle: P (B) = 2/3.
• Vrsquo- - vzel sivo kroglico iz druge škatle: P (B `) = 1/3.

Pogoj problema je, da se zgodi eden od pojavov: ABrsquo- ali Arsquo-B. Z uporabo formule dobimo: P (AB `) = 1/18, P (A`B) = 10/18.

Sedaj smo uporabili formulo za množenje verjetnosti. Nadalje, da bi ugotovili odgovor, je treba uporabiti enačbo njihovega dodatka:

P = P (AB `+ A`B) = P (AB`) + P (A`B) = 11/18.

Torej, z uporabo formule lahko rešite podobne probleme.

Rezultat

Članek je predstavil informacije o teoriji verjetnosti, verjetnost dogodka, v katerem igra ključno vlogo. Seveda ni bilo upoštevano vse, ampak se lahko na podlagi predstavljenega besedila teoretično seznanite s tem delom matematike. Ta znanost je lahko koristna ne le v poklicni praksi, ampak tudi v vsakdanjem življenju. S svojo pomočjo lahko izračuna vsako možnost dogodka.

Besedilo se je dotaknilo tudi pomembnih datumov v zgodovini nastanka teorije verjetnosti kot znanosti in imen oseb, katerih dela so bila vložena vanj. Tako je človeška radovednost pripeljala do tega, da so se ljudje naučili šteti tudi naključne dogodke. Ko so se le zanimal, vendar danes vsi vedo o tem. In nihče ne bo rekel, kaj nas čaka v prihodnosti, kakšna druga briljantna odkritja, povezana z obravnavano teorijo, bodo storjena. Ampak ena stvar je gotovo - raziskave na kraju samem ni vredno!