Površine 2. reda: primeri

S površinami drugega reda študent najpogosteje najde v prvem letu. Prva naloga na tem področju se morda zdi preprosto, vendar pa, kot je študij višje matematike in poglobitev znanstveno stran, bomo lahko končno ustavi smer dogaja. Da se to ni zgodilo, je potrebno ne samo zapomniti in razumeti, kako bi dobili eno ali drugo površino, kot je sprememba dejavnikov ga in njegovo lokacijo glede na prvotni koordinatni sistem in vplivajo, kako najti nov sistem (v katerem njeno središče sovpada z začetkom koordinate in os simetrije

Opredelitev

Površina reda 2 se imenuje HMT, katere koordinate izpolnjujejo splošno enačbo naslednje oblike:

F (x, y, z) = 0.

Jasno je, da mora vsaka točka, ki pripada površini, imeti tri koordinate v kateri koli določeni osnovi. Čeprav se v nekaterih primerih lokus točk lahko na primer razvije v ravnino. To samo pomeni, da je ena od koordinat konstantna in enaka nič v celotnem obsegu dopustnih vrednosti.

V celoti opisana oblika enakosti, omenjena zgoraj, je videti takole:

A₁₁x²+A₂₂y²+A₃₃z²+2A_{12. mesto}xy + 2A₂₃yz + 2A₁₃xz + 2A₁₄x + 2A₂₄y + 2A₃₄z + A₄₄= 0.

A_nm - nekatere konstante, x, y, z - spremenljivke, ki ustrezajo afinim koordinatam točke. Hkrati mora biti vsaj ena konstanta faktorja nenormalna, to pomeni, da vsaka točka ne ustreza enačbi.

V veliki večini primerov je veliko numeričnih dejavnikov še enako enako nič, enačba pa je zelo poenostavljena. V praksi določitev točke, ki pripada površini, ni težko (zadostuje, da v enačbi nadomestimo svoje koordinate in preverimo, ali je identiteta opazovana). Ključna točka tega dela je zmanjšanje slednje v kanonično obliko.

Enačba, opisana zgoraj, definira vse (vse navedeno spodaj) površine reda 2. Primeri bodo obravnavani še naprej.

Vrste površin reda 2

Enačbe površin reda 2 se razlikujejo samo v vrednostih koeficientov A_nm. Iz splošnega pogleda je mogoče za določene vrednosti konstant doseči različne površine, ki so razvrščene takole:

1. Cilindri.
2. Eliptični tip.
3. Hiperbolični tip.
4. Konični tip.
5. Parabolični tip.
6. Plane.

Vsaka od navedenih vrst ima naravno in imaginarno obliko: v imaginarni obliki se geometrično mesto dejanskih točk razgradi v preprostejšo sliko ali pa je odsotno v celoti.

Cilindri

To je najpreprostejši tip, saj relativno kompleksna krivulja leži le v podnožju, ki deluje kot vodilo. Linije za oblikovanje so ravne, pravokotne na ravnino, v kateri leži osnova.

Graf prikazuje krožni valj - poseben primer eliptičnega cilindra. Ravnini XY je elipsa njena štrlina (v našem primeru - krog), - različna in XZ - pravokotnik - kot os poteka vzporedno z Z., da se jo pridobi iz splošne enačbe, morajo koeficienti imeti naslednje pomene:

Namesto običajnih zapisov se uporabljajo X, Yorksh, Z, X-številke s serijsko številko - ni pomembno.

Dejansko 1 / a² in druge konstante, ki so navedene tukaj, so isti koeficienti, ki so navedeni v splošni enačbi, vendar je običajno, da jih natančno napišemo v tej obliki - to je kanonična predstavitev. Potem se bo uporabil le ta zapis.

Tako je podan hiperbolični cilinder. Shema je enaka - vodič bo hiperbola.

y²= 2px

Parabolični valj je določen nekoliko drugače: njegova kanonična oblika vključuje koeficient p, ki se imenuje parameter. Dejansko je koeficient q = 2p, vendar je običajno razdeliti z dvema predstavljenima faktorjema.

Obstaja še ena vrsta valja: zamišljena. Tak valj ne pripada nobeni pravi točki. Opisuje enačbo eliptičnega cilindra, vendar namesto ene stane -1.

Eliptični tip

Elipsoid se lahko raztegne vzdolž ene od osi (vzdolž katerega je odvisno od vrednosti konstante a, b, c, navedene zgoraj, je jasno, da bo večja os ustrezala večjemu koeficientu).

Obstaja tudi imaginaren elipsoid - pod pogojem, da je vsota koordinat, pomnožena s koeficienti, -1:

Hiperboloidi

Ko se v eni od konstant pojavlja minus, se enolična elipsoidna postane enačba hiperboloida enega lista. Treba je razumeti, da tega minusa ni potrebno najti pred koordinato x₃! Določa le, katera od osi je os vrtenja hiperboloida (ali vzporedno z njo, saj se na kvadratu pojavijo dodatni izrazi (na primer, (x-2)²) se središče slike premakne, posledično se površina premika vzporedno s koordinatnimi osmi). To velja za vse površine reda 2.

Poleg tega je treba tudi razumeti, da so enačbe predstavljene v kanonični obliki, in jih je mogoče spreminjati s spreminjanjem konstante (ohranjanje znak!) - s svojimi stališči (hiperboloida, stožec, itd), ostajajo isti.

Takšna enačba daje dvokrilni hiperboloid.

Konična površina

V enačbi stožca ni enote - enakosti nič.

Stožec je le omejena stožčasta površina. Na sliki spodaj je razvidno, da bo graf v resnici dve tako imenovani stožci.

Pomembna ugotovitev: v vseh obravnavanih kanonskih enačbah se domneva, da so konstante privzeto pozitivne. V nasprotnem primeru znak lahko vpliva na končni diagram.

Koordinatne ploskve postanejo ravnini simetrije stožca, središče simetrije se nahaja v izvoru.

V enačbi imaginarnega stožca pripadajo le pluse, ima eno stvarno točko.

Paraboloidi

Površine drugega reda v vesolju lahko imajo različne oblike tudi s podobnimi enačbami. Na primer, paraboloidi so dve vrsti.

x²/ a²+y²/ b²= 2z

Eliptični paraboloid, ko je os Z pravokotna na risbo, bo projicirana v elipso.

x²/ a²-y²/ b²= 2z

Hiperbolični paraboloid: v odsekih z ravninami, vzporednimi z ZY, dobimo parabole in v odsekih z ravninami, vzporednimi z XY - hiperboli.

Preseči letala

Obstajajo primeri, ko se površine drugega reda v ravnini degenerirajo. Te letala je mogoče urediti na različne načine.

Najprej upoštevajte presečišča:

x²/ a²-y²/ b²= 0

S to spremembo se kanonska enačbe dobimo le dve sekajo ravnino (imaginarni!) - vse realne točke, ki se nahajajo na osi koordinat manjka v enačbi (v kanonično - osi Z).

Vzporedne letala

y²= a²

V prisotnosti samo ene koordinate se površine drugega reda sprožijo v par vzporednih ravnin. Ne pozabite, namesto igre je lahko katera koli druga spremenljivka, nato pa se dobijo ravnini, vzporedni z drugimi osmi.

y²= minus-a²

V tem primeru postanejo namišljeni.

Sovpadajoča letala

y²= 0

S tako preprosto enačbo se par ravnin degenerira v eno - sovpadajo.

Ne pozabite, da v primeru tridimenzionalne osnove zgornja enačba ne določa ravne črte y = 0! V njej ni drugih dveh spremenljivk, toda le to pomeni, da je njihova vrednost konstantna in nič.

Stavba

Ena izmed najtežjih nalog za študenta je gradnja površin drugega reda. Še težje je premikati iz enega koordinatnega sistema na drugega, pri tem pa upoštevati pobočja krivulje glede na osi in premikanje središča. Ponovimo, kako na analitičen način zaporedno določimo bodoči pogled na risbo.

Za izgradnjo površine reda 2 je potrebno:

• zmanjšati enačbo do kanonične oblike;
• določi vrsto površine, ki jo je treba pregledati;
• graditi na podlagi vrednosti koeficientov.

Spodaj so navedene vse obravnavane vrste:

Za fiksacijo bomo podrobno opisali en primer te vrste naloge.

Primeri

Recimo, da obstaja enačba:

3 (x²-2x + 1) + 6y²+2z²+60y + 144 = 0

Zmanjšujemo jo v kanonični obliki. Izločamo celotne kvadratke, torej sestavimo obstoječe izračune na tak način, da so razkroj kvadratov vsote ali razlike. Na primer: če (a + 1)²= a²+2a + 1, potem a²+2a + 1 = (a + 1)². Drugo operacijo bomo izvedli. V tem primeru okrajšave niso potrebne za razkritje, saj bo to le zapletlo izračune, vendar je potreben skupni množitelj 6 (v oklepajih s kvadratnim kvadratom):

3 (x-1)²+6 (y + 5)²+2z²= 6

V tem primeru se spremenljiv zet zgodi samo enkrat - se ga ne morete dotikati.

Analiziramo enačbo v tej fazi: pred vsemi neznanci je znak plus, če ga delimo s šestimi, je en. Zato imamo enačbo, ki definira elipsoid.

Upoštevajte, da je 144 razstavljen na 150-6, nato pa -6 je bil premaknjen v desno. Zakaj je bilo to potrebno? Očitno je, da, -6, zato, da se je po tako, da je prav, preostalih enot mora biti največja podskupina v tem primeru "razveljavi" 144 je 6 (da mora biti pravo enoto, pravi prisotnost proste izraza - konstante, ni pomnožen na neznano).

Delimo za šest in dobimo kanonično enačbo elipsoida:

(x-1)²/ 2 + (y + 5)²/ 1 + z²/ 3 = 1

Pri klasifikaciji površin vrstnega reda 2, ki so bile uporabljene prej, se upošteva poseben primer, ko je središče slike na izvoru. V tem primeru je pristransko.

Verjamemo, da je vsak nosilec z neznanci nova spremenljivka. To je: a = x-1, b = y + 5, c = z. V novih koordinatah središče elipsoida sovpada s točko (0,0,0), zato a = b = c = 0, od koder: x = 1, y = -5, z = 0. V prvotnih koordinatah središče slike leži na točki (1, -5,0).

Elipsoid bo dobljen iz dveh elips: prva v ravnini XY in druga v ravnini XZ (ali YZ - ni pomembno). Koeficienti, na katere se delijo spremenljivke, stojijo v kanonični enačbi v kvadratu. Zato bi bilo v zgornjem primeru bolj pravilno deliti s koreninoma dveh, enega in korena treh.

Manjša os prve elipse, vzporedno z osjo Y, je enaka dvema. Glavna os, vzporedna z osjo X, sta dve koreni obeh. Manjša os druge elipse, vzporedno z osjo Y, ostaja enaka - je enaka dvema. In glavna os, vzporedna z osjo Z, je enaka dvema koreninama treh.

Z uporabo izvirne enačbe s pretvorbo v kanonično obliko podatkov lahko izdelamo elipsoid.

Povzemanje

Tema, ki je obravnavana v tem članku, je precej obsežna, v resnici pa, kot si lahko zdaj vidite, ni preveč zapletena. Njegova obvladovanje se v resnici konča v trenutku, ko se naučite imen in enačb površin (in, seveda, kako izgledajo). V zgornjem primeru smo podrobneje preučili vsak korak, vendar zmanjšanje enačbe za kanonično obliko zahteva minimalno znanje v višji matematiki in ne bi smelo povzročati težav za študenta.

Analiza prihodnjega grafa na obstoječi enačbi je že težja naloga. Toda za uspešno rešitev je dovolj, da razumemo, kako so oblikovane ustrezne krivulje drugega reda - elipse, parabole in druge.

Primeri degeneracije so še enostavnejši del. Zaradi odsotnosti določenih spremenljivk so poenostavljeni ne le izračuni, kot so že omenjeni, temveč tudi sami gradnji.

Ko lahko samozavestno poimenujete vse vrste površin, spremenite konstante in pretvorite graf v eno ali drugo sliko - tema bo obvladana.

Uspeh pri učenju!