Osnove matematične analize. Kako najti derivat?

Izvedba neke funkcije f (x) v določeni točki x0 je meja razmerja prirastka funkcije na prirast argumenta, pod pogojem, da x sledi 0, in meja obstaja. Derivat se ponavadi označi s prime, včasih s točko ali z diferencialom. Pogosto je zapis, ki poteka čez mejo, zavajajoč, saj se takšna predstavitev uporablja zelo redko.

Funkcija, ki ima derivat v določeni točki x0, naj bi bila v takšni točki diferencibilna. Denimo, da je D1 niz točk, pri katerih je f diferenciran. S poravnavo vsakega Številka številke x, ki spada v D frsquo- (x), dobimo funkcijo z domeno zapisa D1. Ta funkcija je derivat y = f (x). Označena je kot: frsquo- (x).

Poleg tega se derivat pogosto uporablja v fiziki in inženiringu. Razmislimo o najpreprostejšem primeru. Materialna točka se premika vzdolž koordinatne osi neposredno, pri čemer je podan zakon o gibanju, to je koordinat x te točke znana funkcija x (t). V časovnem intervalu od t0 do t0 + t je premik točke x (t0 + t) -x (t0) = x in njegova povprečna hitrost v (t) je x / t.

Včasih je značaj gibanja predstavljen tako, da se pri majhnih časovnih intervalih povprečna hitrost ne spremeni, kar pomeni, da se gibanje šteje za bolj enotno z večjo natančnostjo. Or pomeni hitrosti, če t0 sledi do neke absolutno točne vrednosti, ki se imenuje trenutna hitrost v (t0) te točke v določenem trenutku časa t0. Predpostavlja se, da je trenutna hitrost v (t) znana za katero koli diferencirano funkcijo x (t), pri čemer je v (t) enaka xrsquo- (t). Preprosto povedano, hitrost je derivat časovne koordinate.

Trenutna hitrost ima pozitivne in negativne vrednosti in vrednost 0. Če je za določen časovni interval (t1- t2) pozitiven, potem se premika v isti smeri, to se pravi, x (t) koordinatnega povečuje s časom, in če V (t) je negativen, potem se koordinata x (t) zmanjša.

V bolj zapletenih primerih se točka premika v ravnini ali v vesolju. Potem je hitrost vektorska količina in določa vsako od koordinat vektorja v (t).

Podobno se lahko primerjamo s pospeškom gibanja točke. Hitrost je funkcija časa, to je v = v (t). Izvedba takšne funkcije pa je pospešek gibanja: a = vrsquo- (t). Izkazalo se je, da je hitrost glede na čas pospešek.

Predpostavimo, da je y = f (x) katera koli diferencirana funkcija. Potem lahko premikamo materialno točko skupaj koordinatna črta, ki se nahaja za zakonom x = f (t). Mehanska vsebina derivata omogoča prikaz vizualne interpretacije izrekov diferencialni račun.

Kako najti derivat? Iskanje derivata funkcije se imenuje njena diferenciacija.

Navajamo primere, kako najti izpeljano funkcijo:

Izvedenec konstantne funkcije je nič, derivat funkcije y = x je enak enemu.

In kako najti izpeljan del? Če želite to narediti, upoštevajte naslednje gradivo:

Za vse x0<> 0 imamo

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Za iskanje derivata obstaja več pravil. Namreč:

Če sta funkcija A in B v točki x0 diferencirana, se njihova vsota diferencira na točki: (A + B) rsquo- = Arsquo- + Brsquo-. Preprosto povedano, derivat vsote je enak vsoti izvedenih finančnih instrumentov. Če je funkcija v določeni točki diferencirana, se njegov prirastek nič, če je povečanje argumenta nič.

Če sta funkcija A in B v točki x0 diferencirana, se njihov proizvod diferencira na točki: (A * B) rsquo- = Arsquo-B + ABrsquo-. (Vrednosti funkcij in njihovih derivatov se izračunajo v točki x0). Če je funkcija A (x) v točki x0 diferencirana, C pa konstanta, potem je CA diferencirana v tej točki in (CA) rsquo- = CArsquo-. To pomeni, da je tak konstantni faktor upoštevan kot znak derivata.

Če sta funkciji A in B diferencirano točko x0 in funkcija B ni enaka nič, potem njihov delež razlikuje tudi: (A / B) rsquo - = (Arsquo-B-ABrsquo -) / B * B.