Enačba ravnine: kako sestaviti? Vrste ravninskih enačb

V vesolju je mogoče ravnino določiti na različne načine (ena točka in vektor, dve točki in vektor, tri točke itd.). S tem je mogoče upoštevati, da ima enačba ravnine različne tipe. Tudi če so izpolnjeni nekateri pogoji, so lahko ravnine vzporedne, pravokotne, sekajo itd. O tem in pogovor v tem članku. Naučili se bomo, kako narediti splošno enačbo letala in ne le.

Normalna oblika enačbe

Recimo, da obstaja prostor R₃, ki ima pravokotni koordinatni sistem XYZ. Nastavite vektor alfa-, ki se sprosti iz začetne točke O. Skozi konec vektorja Potegnemo ravnino Π, ki bo pravokotna na to.

Za Π označimo poljubno točko Q = (x, y, z). Polmer vijaka točke Q podpišemo s črko p. Dolžina vektorja alfa- je enako p = Ialpha-I in Ʋ = (cosalpha-, cosbeta-, cosgamma-).

To je enotni vektor, ki je usmerjen na stran, kot vektor alfa-. alfa-, beta- in gama- so koti, ki se oblikujejo med vektorjem Ʋ in pozitivnimi smeri osi prostora x, y, z. Projekcija neke točke QεP na vektor Ʋ je konstanta, ki je enaka p: (p, Ʋ) = p (pge-0).

Ta enačba je smiselna, ko je p = 0. Edini ravnina P, v tem primeru bi križno O (alfa- = 0), ki je izvor in enotski vektor Ʋ, sproščena iz točke O bo pravokotna P, čeprav je njegova smer, kar pomeni, da je vektor določi Ʋ do oznake. Prejšnja enačba je enačba naše ravnine II, izražena v vektorski obliki. Toda v koordinatah njegovega videza:

P je večja ali enaka 0. Ugotovili smo enačbo ravnin v prostoru v normalni obliki.

Splošna enačba

Če se enačba v koordinatah pomnoži s poljubnim številom, ki ni enako nič, dobimo enačbo, enakovredno dani, ki določa isto ravnino. To bo videti tako:

Tu so A, B, C številke, ki so istočasno nenamerne. Ta enačba se imenuje enačba ravni splošne oblike.

Enačbe ravnin. Posebni primeri

Enačba v splošni obliki se lahko spremeni v prisotnosti dodatnih pogojev. Poglejmo jih nekaj.

Recimo, da je koeficient A enak 0. To pomeni, da je navedena ravnina vzporedna z dano osjo Ox. V tem primeru se bo oblika enačbe spremenila: Boo + Cz + D = 0.

Podobno se bo oblika enačbe spremenila pod naslednjimi pogoji:

• Prvič, če je B = 0, se enačba spremeni v Ax + Cz + D = 0, kar bo dokazalo vzporednost z osjo Oy.
• Drugič, če je C = 0, se enačba pretvori v Ax + Boo + D = 0, ki bo govoril o vzporednosti z dano osjo Oz.
• Tretjič, če je D = 0, bo enačba podobna Ax + Boo + Cz = 0, kar pomeni, da ravnina preseka O (izvor).
• Četrtič, če je A = B = 0, se enačba spremeni v Cz + D = 0, kar se bo pokazalo vzporedno z Oxy.
• Petič, če je B = C = 0, potem enačba postane Ax + D = 0, kar pomeni, da je ravnina do Oyz vzporedna.
• Šesto, če je A = C = 0, potem bo enačba imela obliko Boo + D = 0, to pomeni, da bo poročilo vzporedno z Oxz.

Vrsta enačbe v segmentih

V primeru, da se številke A, B, C, D razlikujejo od nič, je oblika enačbe (0) lahko naslednja:

x / a + y / b + z / c = 1,

kjer je a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Posledično dobimo enačbo ravnin v segmentih. Opozoriti je treba, da bo ta ploskev presekala os Ox v točki z koordinatami (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) in Oz - (0,0, c).

Ob upoštevanju enačbe x / a + y / b + z / c = 1, ni vidno, da je razporeditev ravnine glede na dani koordinatni sistem vizualno.

Koordinate normalnega vektorja

Normalni vektor n na ravnino Π ima koordinate, ki so koeficienti splošne enačbe določene ravnine, to je n (A, B, C).

Da bi določili koordinate normalne n, zadostuje poznati splošno enačbo dane ravnine.

Pri uporabi enačbo v segmentih, ki ima obliko x / a + y / b + Z / c = 1, kot pri uporabi splošne enačbe lahko zapišemo koordinate normalnem vektorja v ravnino: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Treba je omeniti, da normalni vektor pomaga rešiti različne naloge. Najpogostejši problemi vključujejo problem dokazovanja navpičnosti ali paralelnosti ploskev, težave pri iskanju kotov med ravninami ali koti med ravninami in črtami.

Oblika enačbe ravnine glede na koordinate točke in normalni vektor

Nenaveden vektor n, ki je pravokoten na dano ravnino, imenujemo normalno (normalno) za določeno ravnino.

Recimo, da so v koordinatnem prostoru (pravokotni koordinatni sistem) podani Oxyz:

• Točka Mₒ z koordinatami (xₒ, yₒ, zₒ);
• ničelni vektor je n = A * i + B * j + C * k.

Treba je sestaviti enačbo ravnine, ki bo potekala skozi točko Mₒ, pravokotno na normalno n.

V prostoru izberemo poljubno točko in jo označimo z M (xy, z). Naj polmer vektor vsako točko M (x, y, z) bo r = x * i + y * j + Z * K, in radij vektor iz točke Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Točka M bo pripadala določeni ravnini, če je vektor MₒM pravokoten na vektor n. Zapišemo stanje ortogonalnosti s pomočjo skalarnega produkta:

[MₒM, n] = 0.

Ker je MₒM = r-rₒ, bo vektorska enačba ravnin izgledala takole:

[r-rₒ, n] = 0.

Ta enačba ima lahko drugo obliko. V ta namen so lastnosti skalarnim produktom, in pretvori na levi strani enačbe. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Če [rₒ, n] označena kot s, dobimo naslednjo enačbo: [r, n] - a = 0 ali [R, n] = y, ki izraža konstantnosti štrlin na normalni vektor za polmer-vektorjev danih točk, ki pripadajo ravnino.

Sedaj lahko dobili koordinato zapisovalna tipa ravnina naša vektorska enačba [r - rₒ n] = 0. Ker r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y uₒ) * j + (Z-zₒ) * K, in n = A * i + B * j + C * k, imamo:

Izkazalo se je, da imamo enačbo ravnine, ki poteka skozi točko, pravokotno na normalno n:

A * (x - xₒ) + B * (y - yₒ) C * (z - zₒ) = 0.

Oblika ravninske enačbe glede na koordinate dveh točk in vektorja, kolinearna ravnina

Definiramo dve poljubni točki M `(x`, y `, z`) in M ​​"(x", y ", z") in tudi vektor a (a `, a ", a).

Zdaj lahko sestavimo enačbo danega ravnine, ki bo potekala skozi razpoložljive točke M `in M ", pa tudi vsako točko M z koordinatami (x, y, z), vzporednimi z danim vektorjem a.

Tako M`M vektorji {x-X`-y-Y`-Z-Z `}, in M` = {x M "y - h `" -u`-Z "-Z`} mora biti v isti ravnini z vektor = (a `, a ", A ‴), kar pomeni, da (M`M M" M, a) = 0.

Torej, naša enačba ravnin v vesolju bo videti tako:

Oblika enačbe ravnine, ki seka tri točke

Recimo, da imamo tri točke: (x `, y`, z `), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴), ki ne spadajo v isto črto. Treba je napisati enačbo ravnine, ki poteka skozi dane tri točke. Teorija geometrije trdi, da takšna ravnina res obstaja, vendar je edina in neponovljiva. Ker ta ravnina seka točka (x `, y`, z `), bo njegova enačba naslednja:

Tu sta A, B, C oba nenavadna. Tudi dane ravnine sekajo dve točki: (x ", y", z ") in (x ‴, y ‴, z ‴). V zvezi s tem morajo biti taki pogoji izpolnjeni:

Zdaj lahko sestavimo homogeni sistem enačbe (linearne) z neznanimi u, v, w:

V našem primeru je x, y ali z poljubna točka, ki izpolnjuje enačbo (1). Ob upoštevanju enačbe (1) in sistema iz enačb (2) in (3) sistem enačb, ki je prikazan na zgornji sliki, izpolnjuje vektor N (A, B, C), ki je neprivialen. Zato je determinant tega sistema nič.

Enačba (1), ki smo jih dobili, je to enačba ravnine. Po treh točkah zagotovo preide in je enostavno preveriti. Da bi to naredili, smo razširili na determinanto z elementi v prvi vrsti. Od obstoječih lastnosti determinanta izhaja, da je naš ravnina hkrati seka tri prvotno vnaprej določeno točko (X `, Y`, Z `), (x`, y ", Z"), (x ‴, y ‴, z ‴). To pomeni, da smo rešili nalogo, ki smo jo postavili pred nami.

Dvostranski kot med ravninami

Dvostranski kot predstavlja prostorsko geometrijsko figuro, ki jo sestavljata dve polovični ravnini, ki izvirajo iz ene ravnine. Z drugimi besedami, to je del prostora, ki je omejen na te polovične ravnine.

Recimo, da imamo dve ravnini z naslednjimi enačbami:

Vemo, da so vektorji N = (A, B, C) in Nsup1 - = (Asup1-, Bsup1-, Csup1-) pravokotni na dane ploskve. V zvezi s tem je kot vektorji N in Nsup1- sta enaka kotu (dvostranskemu), ki leži med temi ravninami. Skalarni proizvod ima obliko:

NNsup1- = | N || Nsup1- | cos phi-,

natančno zato, ker

cosphi- = NNsup1- / | N || Nsup1- | = (+ AAsup1- VVsup1- SSsup1 + -) / ((radic- (å ² + V² + s²)) * (radic- (Asup1-) ² + (Vsup1- ) ² + (Csup1-) ²)).

Zadostuje, da upoštevamo, da je 0le-phi-le-pi-.

Dejansko sta dve ravnini, ki sekajo, dva kota (dvostranska): phi-₁ in phi-₂. Njihova vsota je pi- (phi-₁+ phi-₂= pi-). Kar se tiče njihovih kosinusov, so njihove absolutne vrednosti enake, vendar se razlikujejo po znaku, to je cos phi-₁= -cos phi-₂. Če v enačbo (0) nadomestimo A, B in C s številkami -A, -B in -C, potem bo enačba, ki jo dobimo, določila to isto ravnino, edini kot v enačbi cos phi- = NN¹/ | N || N¹| | nadomestijo z pi - phi-.

Enačba navpične ravnine

Pravokotne so ravnine, med katerimi je kot 90 stopinj. Z uporabo zgoraj opisanega gradiva lahko najdemo enačbo ravnin, ki je pravokotna na drugo. Recimo, da imamo dve ravnini: Ax + Boo + Cz + D = 0 in Asup1-x + Bsup1-y + Csup1-z + D = 0. Lahko trdimo, da bodo pravokotni, če je cosphi = 0. To pomeni, da je NNsup1- = AAsup1- + BBsup1- + CCsup1- = 0.

Enačba vzporedne ravnine

Vzporedno sta dve ravnini, ki ne vsebujeta običajnih točk.

Pogoj paralelizem ravnin (njihove enačbe so enake kot v prejšnjem odstavku) je, da so vektorji N in Nsup1-, ki sta pravokotni nanje, kolinearni. To pomeni, da so izpolnjeni naslednji pogoji sorazmernosti:

A / Asup1- = B / Bsup1- = C / Csup1-.

Če se pogoji sorazmernosti razširijo - A / Asup1- = B / Bsup1- = C / Csup1- = DDsup1-,

to kaže, da se ti ravnini ujemata. To pomeni, da enačba Ax + z + CZ + D = 0 in Asup1-x + y + Vsup1-Ssup1-Z + Dsup1- = 0 opisuje eno ravnino.

Oddaljenost do letala od točke

Recimo, da imamo ravnino Π, ki jo podaja enačba (0). Pred tem je treba najti razdaljo od točke z koordinatami (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ. Da bi to naredili, moramo zmanjšati enačbo ravnine Π v normalno obliko:

(rho, v) = p (pge-0).

V tem primeru rho- (x, y, z) je radij vektor našega točki Q, ki se nahaja na n p - n je dolžina navpičnico, ki je izšla iz ničelne točke, proti - je enota vektor, ki je razporejen v smeri a.

Razlika rho-rho-ordm je polmer vektorja katere koli točke Q = (x, y, z), ki spada v II, in tudi radius vektor dane točke Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) je vektor, katerega absolutna projekcija na v je enaka razdalji d, ki jo je treba najti iz Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) do Π:

D = | (rho - rho -⁰,v) |, ampak

(rho-rho-⁰,v) = (rho, v) - (rho-⁰,v) = p- (rho-⁰,v).

Izkazalo se je,

d = | (rho-⁰,v) -p |.

Zdaj je videti, da izračunamo razdaljo d od Q₀ do ravnine Π moramo uporabiti normalno obliko enačbe ravnine, medtem ko jo prenesemo na levo stran p in nadomestimo (xₒ, yₒ, z namesto) namesto x, y, z.

Tako najdemo absolutno vrednost nastalega izraza, to je želenega d.

Z jezikom parametrov dobimo očitne:

d = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / radic- (A² + V² + S²).

Če je določena točka Q₀ se nahaja na drugi strani ravnine II, kot je izvor, nato med vektorjem rho-rho-⁰ in v se nahaja tupi kot, zato:

d = - (rho-rho-⁰,v) = (rho-⁰,v) -p> 0.

V primeru, ko točka Q₀ skupaj z izvorom koordinat se nahaja na isti strani II, potem je ustvarjeni kot oster, to je:

d = (rho-rho-⁰,v) = p - (rho-⁰, v)> 0.

Kot rezultat, se izkaže, da v prvem primeru (rho-⁰,v)> p, v drugem (rho-⁰,(v)

Tangentna ravnina in njena enačba

Ploskev, ki je tangentna na površino na točki stika Mordm, je ravnina, ki vsebuje vse možne tangente na krivulje, ki se potegnejo skozi to točko na površini.

S to obliko površinske enačbe F (x, y, z) = 0 bo enačba tangentne ravnine na tangentni točki Mordm- (xordm-, uordm-, zordm-) izgledala takole:

F_x(xordm-, uordm-, zordm-) (x-hordm-) + F_x(hordm-, uordm-, zordm-) (u-uordm -) + F_x(xordm-, uordm-, zordm-) (z-zordm -) = 0.

Če postavimo površino v eksplicitni obliki z = f (x, y), se tangentna ravnina opiše z enačbo:

z-zordm- = f (xordm-, uordm-) (x-hordm-) + f (hordm-, uordm-) (y -ordm-).

Presečišče dveh ravnin

V Ljubljani tridimenzionalni prostor To je koordinatni sistem (pravokotno) Oxyz, saj dve letali P `in P`, ki se prekrivajo in ne sovpadajo. Od vseh letal, ki je v pravokotni koordinatni sistem, ki ga opredeli splošne enačbe, predpostavimo, da je n `in n "sta opredeljena z enačbama A`x + V`u S`z + + D` = 0 in A `+ B x` + y Z "z + D" = 0. V tem primeru imamo normalne n `(A`, B `, C`) v ravnini P `in normalno n "(A`, B `, C`) v ravnini P". Ker so naše letalo ni vzporedna in ne sovpadajo, potem ti vektorji niso kolinearne. Uporaba jezika matematike, smo ta pogoj lahko zapišemo kot: n`ne- n " harr- (A `, B`, C `) ne- (lambda- * A ", lambda- * B", lambda- * C "), lambda-εR. Naj bo črta, ki leži na presečišču Π `in Π ", označena s črko a, v tem primeru a = Π` cap-P ".

in - linijo sestoji iz množice točk (skupna) ravnine P `in P ". To pomeni, da koordinate poljubne točke pripada v ravnini A, mora hkrati izpolnjevati enačbo A`x + V`u S`z + + D `= 0 in "x + B" + C y "Z + D" = 0. To pomeni, da bodo koordinate točke večje posebno raztopino naslednjih enačb:

Posledica tega je, da bo rešitev (splošno) tega sistema enačb določi koordinate vsake točke na progi, ki bo delovala kot sečišča P `in P ", in določiti vrstico v koordinatnem sistemu Oxyz (pravokotni) prostora.