Izvedeni številki: metode in primeri izračuna

Verjetno je koncept izpeljanka vsakogar od nas seznanjen s šolo. Ponavadi imajo učenci težko razumevanje tega, nedvomno, zelo pomembne stvari. Aktivno se uporablja na različnih področjih življenja ljudi, številni inženirski razvoj pa temelji na matematičnih izračunih, pridobljenih s pomočjo izvedenega finančnega instrumenta. Preden začnemo analizirati, kakšni so izvodi številk, kako jih izračunati in kje bodo koristni za nas, se malo potopimo v zgodovino.

Zgodovina

Koncept derivata, ki je podlaga za matematične analize, je bil odprt (še bolje reči "izumil", ker je, kot tak, ne obstaja v naravi), Isaac Newton, ki vsi vemo, od odkritja zakona gravitacije. Tisti, ki je prvič uporabil ta koncept v fiziki, je povezoval naravo hitrosti in pospeševanja teles. In mnogi znanstveniki še vedno hvalijo Newton za ta čudoviti izum, ker v resnici je izumil osnovo diferencialni in integralni račun, na dejanski podlagi celotnega področja matematike, imenovanih "matematična analiza". Če bi takrat Nobelova nagrada, Newton najverjetneje prejela večkrat.

Ne brez drugih velikih umov. Poleg Newton na razvoj odvodov in integralov opravljene, priznanih genijev matematike kot Leonhard Euler, Lagrange in Louis Gottfried Leibniz. Zahvaljujoč jim smo, da imamo teorijo diferencialni račun v obliki, v kateri obstaja do danes. Mimogrede je ta Leibniz odkril geometrični pomen izpeljanka, ki se je izkazal za nič drugega kot tangenta naklona kota tangente na grafu funkcije.

Kakšne so izpeljane številke? Ponovili bomo malo, kar je šlo v šolo.

Kaj je derivat?

Ta koncept lahko definirate na več različnih načinov. Najenostavnejša razlaga: derivat je hitrost spremembe funkcije. Predstavljamo graf nekaterih funkcij y x. Če to ni ravno, potem ima nekaj krivin v grafu, obdobja naraščanja in padanja. Če vzamemo neskončno majhen interval tega grafika, bo to ravno črtni segment. Torej, razmerje velikosti tega neskončno majhnega segmenta vzdolž koordinate y na velikost koordinate x in bo derivat danega dela na določeni točki. Če upoštevamo funkcijo kot celoto in ne na določeni točki, potem dobimo funkcijo derivata, to je določeno odvisnost igre od x.

Poleg tega, poleg fizični pomen izpeljanka saj je stopnja spremembe funkcije tudi geometrijski pomen. O njem, zdaj govorimo.

Geometrijski pomen

Izvedeni številki sami po sebi predstavljata določeno število, ki brez ustreznega razumevanja nima nobenega smisla. Izkazalo se je, da derivat ne prikazuje samo stopnje rasti ali zmanjšanja funkcije, temveč tudi tangente kota nagiba tangente na graf funkcije na določeni točki. Ni povsem jasna opredelitev. Podrobneje ga preučimo. Recimo, da imamo graf funkcije (za zanimanje, vzemimo krivuljo). Ima neskončno število točk, vendar obstajajo območja, kjer ima samo ena točka največ ali najmanjšo. Skozi vsako takšno točko lahko narišete črto, ki je pravokotna na graf funkcije na tej točki. Takšna črta se imenuje tangenta. Recimo, da smo ga vodili do križišča z osjo OX. Torej se kot med tangento in osjo OX določi z derivatom. Točneje, tangenta tega kota bo enaka njej.

Govorimo o določenih primerih in analiziramo izpeljane številke.

Posebni primeri

Kot smo že povedali, so derivati ​​številk vrednosti izvoda na določeni točki. Na primer, vzemite funkcijo y = x². Izvod x je število in v splošnem funkcija enaka 2 x. Če moramo izračunati derivat, recimo, v točki x₀= 1, potem dobimo y `(1) = 2 * 1 = 2. Zelo je preprosto. Zanimiv primer je derivat kompleksno število. Ne bomo podrobno razlagali, kaj je kompleksno število. Recimo le, da je to številka, ki vsebuje tako imenovano imaginarno enoto - številko, katere kvadrat je -1. Izračun takega izvedenega finančnega instrumenta je možen le, če obstajajo naslednji pogoji:

1) V igri in v x morajo obstajati delni derivati ​​prvega reda iz stvarnega in imaginarnega dela.

2) Kauchy-Riemann pogoji, povezani z enakostjo delnih derivatov, opisanih v prvem pododdelku, so izpolnjeni.

Še en zanimiv primer, čeprav ni tako zapleten kot prejšnji, je derivat negativnega števila. Dejansko je lahko vsako negativno število predstavljeno kot pozitivno, pomnoženo z -1. Toda derivat konstante in funkcije je enaka konstanti, pomnoženi z izpeljankom funkcije.

Zanimivo bi bilo izvedeti o vlogi derivata v vsakdanjem življenju, in o tem zdaj razpravljamo.

Uporaba

Verjetno se vsak od nas vsaj enkrat v življenju ujame, da je matematika komaj koristna zanj. In takšna zapletena stvar kot derivat verjetno nima nobene vloge. Pravzaprav je matematika temeljna znanost in vse njegove plodove razvijajo predvsem fizike, kemije, astronomije in celo ekonomije. Izvedenec je označil začetek matematična analiza, ki nam je dala priložnost sklepati iz grafikonov funkcij in naučili smo se interpretirati zakone narave in ga zahvaljujoč v našo korist.

Zaključek

Seveda, ne bodo vsi potrebovali izpeljanka v resničnem življenju. Ampak matematika razvija logiko, ki bo gotovo potrebna. Ni za nič, da se matematika imenuje kraljica znanosti: predstavlja osnovo za razumevanje drugih področij znanja.