Popolna raziskava funkcije in diferencialnega računanja

Ob obsežnem znanju o delu s funkcijami smo oboroženi z zadostnim naborom orodij, ki nam omogočajo, da izvedemo popolno študijo specifično določene matematične pravilnosti v obliki formule (funkcije). Seveda bi lahko šlo na najpreprostejši, a krepko pot. Na primer, določite meje argumenta, izberite interval, izračunajte vrednosti funkcije na njej in graf grafike. Z zmogljivimi sodobnimi računalniškimi sistemi se ta problem reši v nekaj sekundah. Toda odstranite iz svojega arsenala polno funkcionalne raziskave matematiki se ne mudi, kajti te metode se lahko uporabljajo za ovrednotenje pravilnosti delovanja računalniških sistemov pri reševanju podobnih problemov. Z mehansko konstrukcijo grafa ne moremo zagotoviti natančnosti zgoraj navedenega intervala pri izbiri argumenta.

In šele po izvedbi popolne preiskave funkcije, se lahko prepričamo, da so vse nianse "vedenja" upoštevane ne v intervalu vzorčenja, temveč v celotnem razponu argumenta.

Da bi rešili številne probleme na področju fizike, matematike in tehnologije, je treba izvesti študijo funkcionalna odvisnost med spremenljivkami, ki sodelujejo v obravnavanem pojavu. Slednji, ki ga analitično podaja ena ali niz več formul, nam omogoča, da opravimo raziskave z uporabo metod matematične analitike.

Za izvedbo popolne preiskave funkcije je treba ugotoviti in določiti področja, na katerih se poveča (zmanjša), če doseže največ (najmanjše), in tudi druge značilnosti svojega urnika.

Obstajajo določene sheme, na podlagi katerih lahko izvedemo celovito preučitev funkcije. Primeri seznamov izvedenih matematičnih raziskav se zmanjšajo, da najdemo skoraj enake trenutke. Približni načrt analize vključuje naslednje študije:

- najde domeno definicije funkcije, preuči vedenje znotraj svojih meja;

- točke razkoraka z razvrstitvijo po enostranskih mejah najdemo;

- definiramo asimptote;

- najdemo ekstremne točke in intervali monotonosti;

- Določamo točke pregibanja, presledke konkavnosti in konveksnosti;

- gradimo graf na podlagi rezultatov, pridobljenih med študijo.

Pri obravnavi le nekaterih postavk v tem načrtu je treba omeniti, da je diferencialni račun pokazal kot zelo uspešno orodje za raziskovanje funkcije. Obstajajo precej preproste povezave med obnašanjem funkcije in značilnostmi njegovega derivata. Da bi rešili ta problem, zadošča izračuna prvega in drugega derivata.

Razmislite o zaporedju iskanja intervala zmanjšanja, povečanja funkcije, prejema pa tudi ime intervala monotonosti.

Za to zadostuje, da določimo znak prvega derivata v določenem intervalu. Če je na segmentu konstantno večja od nič, potem lahko varno ocenimo monotonsko povečanje funkcije v tem obsegu in obratno. Negativne vrednosti prvega derivata označujejo funkcijo kot monotonsko zmanjšanje.

Z uporabo izračunanega izpeljanka določimo dele grafa, imenovane konveksnosti, in tudi konkavnosti funkcije. Dokazano je, da če v izračunih izpeljemo derivat stalna funkcija in negativno, to kaže konveksnost, kontinuiteta drugega derivata in njena pozitivna vrednost kaže konkavnost grafa.

Iskanje trenutka, ko pride do spremembe znaka v drugem izpeljanem ali delu, kjer ne obstaja, označuje definicijo točke pregibanja. To je meja v intervalih konveksnosti in konkavnosti.

Celotna preiskava funkcije se ne konča na zgornjih točkah, ampak uporaba diferencialni račun zelo poenostavlja ta proces. V tem primeru imajo rezultati analize največjo stopnjo zanesljivosti, kar omogoča izdelavo grafa, ki popolnoma ustreza lastnostim proučevanih funkcij.