Fizični pomen derivata funkcije. Naloge za fizični pomen derivata: primeri rešitev

Matematične težave najdejo njihovo uporabo v mnogih znanostih. Te vključujejo ne samo fiziko, kemijo, tehnologijo in ekonomijo, ampak tudi medicino, ekologijo in druge discipline. Eden od pomembnih konceptov, ki jih je treba naučiti, da bi našli rešitve za pomembne dileme, je derivat funkcije. Fizični pomen tega ni tako težak, kot bi se morda zdelo nepredvidljivo v bistvu zadeve. Dovolj je le najti primerne primere tega v resničnem življenju in navadnih vsakdanjih situacijah. Pravzaprav vsak motorist spopada s to nalogo vsak dan, ko pogleda na merilnik hitrosti in določi hitrost njegovega avtomobila v določenem trenutku določenega časa. V tem parametru leži bistvo fizičnega pomena derivata.

Kako najti hitrost

Določite hitrost osebe na cesti, če poznate prevoženo razdaljo in čas na cesti, lahko zlahka vsak peti greder zlahka. Da bi to naredili, je prva od navedenih vrednosti razdeljena na drugo. Toda vsak mladi matematik ne ve, da v tem trenutku ugotovi razmerje med povečanji funkcije in argumentom. Dejansko, če bomo predstavljali gibanje v obliki grafov, položili pot po osi ordinata in čas vzdolž abscise, bo to točno tako.

Vendar pa lahko hitrost pešca ali katerega koli drugega predmeta, ki ga opredelimo na velikem delu poti, ob predpostavki, da je gibanje enotno, lahko zelo razlikuje. V fiziki so znane številne oblike gibanja. Lahko se zgodi ne le s stalno pospeševanjem, temveč se upočasnjuje in povečuje samovoljno. Treba je opozoriti, da v tem primeru črta, ki opisuje gibanje, ne bo več ravna. Grafično lahko sprejme najzahtevnejše konfiguracije. Toda za katero koli točko grafa lahko vedno narišemo tangento, ki jo predstavlja linearna funkcija.

Za pojasnitev parametra spreminjanja gibanja kot funkcije časa je treba izmerjene segmente skrajšati. Ko postanejo neskončno manjše, je izračunana hitrost trenutna. Ta izkušnja nam pomaga dati opredelitev izvedenega finančnega instrumenta. Fizični smisel logičnega sledi tudi iz podobnega razlogovanja.

Z vidika geometrije

Znano je, da je višja hitrost telesa, bolj strmo je graf odvisnosti premika na čas in zato kot naklona tangente na graf na določeni točki. Indikator takšnih sprememb je lahko tangenta kota med osjo abscisov in tangentno črto. Določa le vrednost izpeljanka in se izračuna z razmerjem dolžine nasprotne sosednje noge v pravokotnem trikotniku, ki ga tvori navpično, ki se je oddaljila od neke točke do abscise.

To je geometrijski pomen prvega izpeljanka. Fizično je razkrito v dejstvu, da je velikost nasproti noge v našem primeru prelazna pot, sosednja pa je čas. V tem primeru je njihovo razmerje hitrost. In spet prihaja do zaključka, da je trenutna hitrost, določena s prizadevanjem obeh vrzeli do neskončno manjših, bistvo koncepta izpeljanka, ki navaja njen fizični pomen. Drugi izvedbeni primer v tem primeru je pospešek telesa, kar pa dokazuje stopnjo spremembe hitrosti.

Primeri iskanja derivatov v fiziki

Derivat je indikator stopnje, po kateri se katera koli funkcija spremeni, tudi če se ne premika v dobesednem pomenu besede. Za ponazoritev tega podamo nekaj konkretnih primerov. Predpostavimo, da trenutna moč, odvisno od časa, variira v skladu z naslednjim zakonom: Jaz = 0,4 t². Določiti je treba vrednost stopnje, po kateri se ta parameter spremeni ob koncu osmega sekunde postopka. Opažamo, da se sama količina, kot jo izračuna iz enačbe, stalno povečuje.

Za rešitev je treba najti prvi derivat, katerega fizični pomen je bil upoštevan prej. Tukaj dI/dt = 0,8t. Nato najdemo to na t= 8, ugotovimo, da je hitrost, po kateri se tok spreminja, enak 6.4 A/c. Tu se šteje, da se tok meri v amperih in čas v sekundah.

Vse je spremenljivo

Vidni okoliški svet, ki je sestavljen iz snovi, se nenehno spreminja, pri čemer se v njem odvijajo različni procesi. Za njihovo opisovanje lahko uporabite različne parametre. Če jih kombinira odnos, so matematično napisane kot funkcija, ki vizualno prikazuje njihove spremembe. In kjer je gibanje (v kakršni koli obliki je izraženo), obstaja derivat, fizični pomen katerega trenutno razmišljamo.

V zvezi s tem je naslednji primer. Recimo, da se telesna temperatura spreminja v skladu z zakonom T= 0,2t². Treba je najti hitrost ogrevanja ob koncu desetega sekunde. Rešitev problema poteka na način, ki je podoben tistemu, opisanemu v prejšnjem primeru. To pomeni, da je derivat in nadomestek v njej vrednost zat = 10, dobimo T = 0,4t = 4. Zato je končni odgovor 4 stopinje na sekundo, to je postopek tople grede in sprememba temperature, merjene v stopinjah.

Reševanje praktičnih problemov

Seveda je v resničnem življenju vse veliko bolj zapleteno kot v teoretičnih problemih. V praksi se vrednost količin običajno določi med poskusom. Hkrati se uporabljajo naprave, ki kažejo pri merjenju z določeno napako. Zato je pri izračunih treba obravnavati približne vrednosti parametrov in uporabiti zaokroževanje neprimernih številk ter druge poenostavitve. Ob upoštevanju tega spet začnemo s problemi fizičnega pomena derivata, pri čemer upoštevamo, da so le določen matematični model najbolj zapletenih procesov, ki potekajo v naravi.

Vulkanski izbruh

Predstavljajte si, da je vulkanski izbruh. Koliko je lahko nevarno? Za razjasnitev tega vprašanja je treba upoštevati številne dejavnike. Poskušali bomo upoštevati enega izmed njih.

Iz usta "ognjene pošasti" se kamni vrnejo navpično navzgor in imajo začetno hitrost od trenutka, ko izhod izstopijo 120 m / s. Treba je izračunati, kako lahko dosežejo svojo največjo višino.

Da bi našli želeno vrednost, bomo sestavili enačbo odvisnosti višine H, merjene v metrih, na druge količine. Te vključujejo začetno hitrost in čas. Predpostavlja se, da je pospeševalna vrednost znana in približno enaka 10 m / s².

Delni derivat

Zdaj razmišljamo o fizičnem pomenu derivata funkcije malo drugače, saj enačba sama ne more vsebovati ene, ampak več spremenljivk. Na primer, v prejšnjem problemu je bila odvisnost višine plezanja kamnov, ki jih oddajajo vulkanske odprtine, določena ne samo s spreminjanjem časovnih značilnosti, ampak tudi z vrednostjo začetne hitrosti. Predpostavljamo, da je slednja konstantna, določena vrednost. Toda v drugih težavah s popolnoma drugačnimi pogoji bi bilo vse lahko drugačno. Če so vrednosti, za katere je odvisna kompleksna funkcija, več, se izračuni izvajajo v skladu s spodaj navedenimi formulami.

Določiti je treba fizični pomen pogostega izpeljanka, kot v običajnem primeru. To je hitrost, pri kateri se funkcija spremeni v določeni točki, ko se parameter poveča. Izračuna se tako, da so vse ostale komponente sprejete kot konstante, samo ena velja za spremenljivko. Potem se vse zgodi po običajnih pravilih.

Nenadomestljiv svetovalec za številna vprašanja

Razumevanje fizičnega pomena derivata, primerov reševanja zapletenih in zapletenih problemov, je enostaven odgovor, v katerem lahko najdemo podobno znanje. Če imamo funkcijo, ki opisuje porabo goriva glede na hitrost avtomobila, lahko izračunamo, za katere parametre bo zadnja poraba bencina najmanjša.

V medicini lahko predvidimo, kako se človeško telo odziva na predpisano zdravilo. Jemanje zdravila vpliva na različne fiziološke kazalnike. Ti vključujejo spremembe v krvnem tlaku, srčnem utripu, telesni temperaturi in še veliko več. Vsi so odvisni od odmerka zdravila. Ti izračuni pomagajo predvideti potek zdravljenja tako v ugodnih manifestacijah kot v nezaželenih nesrečah, ki lahko smrtno vplivajo na spremembe v telesu pacienta.

Nedvomno je pomembno razumeti fizični pomen izpeljanka v tehničnih zadevah, zlasti v elektrotehniki, elektroniki, gradbeništvu in gradbeništvu.

Zavorna razdalja

Poglejmo naslednjo nalogo. Avtomobil, ki se je približeval mostu, se je z nenehno hitrostjo ustavil 10 sekund pred vstopom, saj je voznik opazil prometni znak, ki prepoveduje promet s hitrostjo več kot 36 km / h. Ali je voznik kršil pravila, če je mogoče zavorno razdaljo opisati s formulo S = 26t - t²?

Izračunajoč prvi derivat, najdemo formulo za hitrost, dobimo v = 28 - 2t. Nato v navedenem izrazu nadomestite vrednost t = 10.

Ker je bila ta vrednost izražena v sekundah, je hitrost 8 m / s, kar pomeni 28,8 km / h. Tako je mogoče razumeti, da je voznik pravočasno zaviral in ni kršil pravil o gibanju in s tem omejitev, ki je navedena na znaku hitrosti.

To dokazuje pomen fizičnega pomena derivata. Primer reševanja tega problema kaže na širino uporabe tega koncepta na različnih področjih življenja. Vključevanje v vsakodnevnih situacijah.

Izpeljava v gospodarstvu

Do devetnajstega stoletja so ekonomisti delali predvsem na povprečnih vrednostih, najsi gre za produktivnost dela ali ceno proizvedenih izdelkov. Toda od določene točke, da bi na tem področju lahko učinkovite napovedi, so mejne vrednosti postale bolj potrebne. Te vključujejo mejno korist, dohodek ali stroške. Razumevanje tega je spodbudilo oblikovanje povsem novega orodja v gospodarskih raziskavah, ki so obstajale in se razvijale že več kot sto let.

Če želite sestaviti takšne izračune, kjer takšni koncepti prevladujejo vsaj in največje, je preprosto potrebno razumeti geometrijski in fizični pomen izpeljanka. Med ustanovitelji teoretične osnove teh disciplin so tako ugledni angleški in avstrijski ekonomisti kot ameriški Jevons, K. Menger in drugi. Seveda omejitvene vrednosti v ekonomskih izračunih ne moremo vedno uporabljati na enostaven način. In na primer, četrtletna poročila se ne nanašajo nujno na obstoječo shemo, vendar je uporaba te teorije v številnih primerih koristna in učinkovita.