Kaj so razlike? Kako najti razlike v funkciji?

Poleg izvedenih funkcij so njihove razlike tudi eden od osnovnih pojmov diferencialni račun,

Izvor pojma diferenciala

Za prvič je bilo jasno, da takšno razliko, eden od ustanoviteljev (skupaj z Isaac Newton) Diferencialni račun znani nemški matematik Gottfried Wilhelm Leibniz. Pred tem matematikom 17 art. uporablja zelo nejasno in nejasno predstavo o neki neskončno "nerazdeljenega" kakršne koli znane funkcije, ki predstavljajo zelo majhno konstantno vrednost, vendar ni enaka nič, pod katero ceni funkcija ne more biti enostavno. Zato je bil samo en korak uvedbe pojmov neskončno rastru argumentov funkcije in njihovih rastru funkcij, ki se lahko izrazi derivatov slednje. In je to korak, ki je skoraj istočasno zgoraj dve veliki znanstveniki.

Na podlagi potrebe po reševanju nujnih praktičnih problemov v mehaniki s katerimi se soočajo znanost hitro razvijajoče se industrije in tehnologije, Newton in Leibniz ustvarila skupne načine iskanju funkcije stopnje spremembe (zlasti v zvezi z mehansko hitrosti telesa znane poti), ki je privedla do uvedbe takšnih konceptov, kot funkcijo derivata in diferencialom, in tudi ugotovljeno algoritem inverzne rešitve problemov kot je poznano samo po sebi (spremenljivke) hitrosti vodi, da bi našli pot, ki je privedla do koncepta integralni ala.

V pisanjih Leibniza in Newtona je bilo najprej ugotovljeno, da so razlike sorazmerne s povečanji argumentov Delta-x glavni deli povečanj funkcij Delta-y, ki se lahko uspešno uporabi za izračun vrednosti slednjih. Z drugimi besedami, odkrili so, da se lahko prirastek funkcije na kateri koli točki (v domeni njene definicije) izrazi s pomočjo njenega izpeljanka kot Delta-y = y `(x) Delta-x + alfa-Delta-x, kjer alfa- Delta-x je preostanek izraza, ki se nagiba k nič Delta-x → 0, veliko hitreje kot jaz Delta-x.

Po mnenju ustanoviteljev matanalize so razlike le prvi izrazi v izrazih za povečanje vseh funkcij. Še vedno nimajo jasno formuliranega koncepta meje zaporedij, so intuitivno razumeli, da vrednost diferenciala nagiba na derivat funkcije za Delta-x → 0 - Delta-y / Delta-x → y `(x).

Za razliko od Newton, ki je bil v prvi vrsti fizik in matematični aparat obravnavati kot pomožno orodje za proučevanje fizičnih težav, Leibniz več pozornosti temu orodij, vključno s sistemom vizualnih in razumljivimi simboli matematične vrednosti. Bilo je tisti, ki predlaga standardnim zapisom za razliko v funkcionalni dy = y `(x) dx, dx in odvod funkcije argumenta njihovo razmerje y` (x) = dy / dx.

Moderna definicija

Kakšna je razlika v sodobni matematiki? Je tesno povezan s pojmom povečanja spremenljivke. Če spremenljivka y vzame vrednost y = y₁, in potem y = y₂, potem razlika y₂ ─ y₁ se imenuje povečanje y. Prirast je lahko pozitiven. negativno in enako nič. Beseda "prirastek" označuje z Delta-, zapis Delta-y (branje "delta igra") pomeni povečanje y. tako da Delta-y = y₂ ─ y₁.

Če je vrednost Delta-y poljubne funkcije y = f (x) lahko predstavlja kot Delta-y = A Delta-x + alfa, kjer je od A odvisna Delta-x, to je A = const za dani x in vsota alpha- at Delta-x → 0 nagiba k njej celo hitreje kot jaz Delta-x, nato pa prvi ("glavni") izraz sorazmeren z Delta-x, in je y = f (x) diferencialno oboznachaemymdy ali df (x) (glasi "y de«, »de ESR iz X"). Zato so razlike "linearne" glede na Delta-x komponente povečav funkcij.

Mehanska interpretacija

Naj bo s = f (t) razdalja linearnega gibanja materialna točka od začetnega položaja (t je čas, porabljen v tranzitu). Povečanje Delta-s je pot točke v časovnem intervalu Delta-t in diferencial ds = f `(t) Delta-t je pot, ki bi potekala v istem času Delta-t, če je ohranila hitrost f `(t), doseženo v času t. Z neskončno majhno Delta-t namišljeni način ds se razlikuje od resničnega Delta-s do neskončno manjše vrednosti, ki ima višji red glede na Delta-t. Če hitrost v času t ni nič, potem ds daje približno vrednost majhnega premika točke.

Geometrijska interpretacija

Naj bo črta L graf y = f (x). Potem Delta-x = MQ, Delta-y = QM "(glej sliko spodaj). Tangent MN razdeli segment Delta-y na dva dela, QN in NM ". Prvi je sorazmeren Delta-x in je enaka QN = MQ • tg (kot QMN) = Delta-x f `(x), to je QN je diferencial dy.

Drugi del je razlika Delta-y ─ dy, z Delta-x → 0 se dolžina NM `zmanjša še hitreje kot prirast argumenta, to je, da je njeno zaporedje majhnosti višje kot pri Delta-x. V obravnavanem primeru za f `(x) ne- 0 (tangenta ni vzporedna z OX) QM`i QN enakovredni segmenti z drugimi besedami NM "hitro zmanjša (sklep majhnost njene višja) od skupnega prirastka Delta-y = QM. To je prikazano na sliki (s pristopom M`kM segment NM je vedno manjši odstotek segmenta QM).

Tako je grafično razlike v poljubni funkciji enako velikosti prirastka ordinata njegove tangente.

Izvedeni in diferencialni

Koeficient A v prvem izrazu za prirastek funkcije je enak njegovemu derivatu f `(x). Tako velja naslednja zveza: dy = f (x) Delta-x ali df (x) = f (x) Delta-x.

Znano je, da je prirast neodvisnega argumenta enak razliki Delta-x = dx. V skladu s tem lahko napišemo: f `(x) dx = dy.

Ugotovitev (včasih rečeno, "rešitev") diferencialov izpolnjujeta ista pravila kot za derivate. Seznam je podan spodaj.

Kaj je bolj univerzalno: povečanje argumenta ali njegove razlike

Tukaj je potrebno podati nekaj pojasnil. Predstavitev f `(x) razlike Delta-x je mogoča, ko je x argument. Toda funkcija je lahko kompleksna, v kateri je x lahko funkcija nekaterih argumentov t. Nato je praviloma predstavitev diferenciala z izrazom f `(x) Delta-x nemogoča, razen v primeru linearne odvisnosti x = at + b.

Kar zadeva formulo f `(x) dx = dy, potem v primeru neodvisnega argumenta x (potem dx = Delta-x) in v primeru parametrične odvisnosti x od t predstavlja razliko.

Na primer, izraz 2 x Delta-x predstavlja za y = x² njena razlika, ko je x argument. Zdaj nastavimo x = t² in upoštevajte argument. Potem y = x² = t⁴.

Nato sledi (t + Delta-t)² = t² + 2tDelta-t + Delta-t². Od tu Delta-x = 2tDelta-t + Delta-t². Zato: 2xDelta-x = 2t² (2tDelta-t + Delta-t² ).

Ta izraz ni sorazmeren Delta-t in tako zdaj 2xDelta-x ni razlika. Iz enačbe y = x lahko najdemo² = t⁴. Izkazalo se je, da je dy = 4t³Delta-t.

Če vzamemo izraz 2xdx, potem predstavlja diferencial y = x² za vse argumente t. Dejansko je za x = t² dobimo dx = 2tDelta-t.

Zato 2xdx = 2t²2tDelta-t = 4t³Delta-t, to pomeni, da izrazi za razlike, zapisane z dvema različnima spremenljivkama, sovpadajo.

Spremembe prirastkov glede na razlike

Če je f `(x) ne-0, potem Delta-y in dy sta enakovredna (za Delta-x → 0) - za f `(x) = 0 (kar pomeni dy = 0), niso enakovredne.

Na primer, če je y = x², potem Delta-y = (x + Delta-x)² ─ x²= 2xDelta-x + Delta-x², in dy = 2xDelta-x. Če je x = 3, potem imamo Delta-y = 6Delta-x + Delta-x² in dy = 6Delta-x, ki sta enakovredna zaradi Delta-x²→ 0, za x = 0, količine Delta-y = Delta-x² in dy = 0 niso enakovredne.

To dejstvo, skupaj s preprosto strukturo diferenciala (to je, linearno glede na Delta-x), se pogosto uporablja pri približnih izračunih, ob predpostavki, da Delta asymp-dy za majhne Delta-x. Iskanje razlike v funkciji je običajno lažje kot izračun točne vrednosti prirastka.

Na primer, imamo kovinsko kocko z robom x = 10,00 cm. Pri segrevanju je rob podaljšan z Delta-x = 0,001 cm Koliko se je volumen V kocke povečal? Imamo v = x², tako da je dV = 3x²Delta-x = 3 ∙ 10²∙ 0/01 = 3 (cm³). Povečanje glasnosti Delta-V je enakovreden diferencialnemu dV, tako da Delta-V = 3 cm³. Popoln izračun bi dal Delta-V = 10,01³ ─ 10³ = 3,003001. Toda v tem rezultatu vse številke, razen prvega nezanesljivega sredstva, v vsakem primeru, morate zaokrožiti na 3 cm³.

Očitno je takšen pristop uporaben le, če je mogoče oceniti obseg napake, ki je uvedena.

Diferencialna funkcija: primeri

Poskusimo najti razliko funkcije y = x³, ne najdejo izpeljanka. Postavimo argument argumentu in določimo Delta-y.

Delta-y = ( Delta-x + x)³ ─ x³ = 3x²Delta-x + (3xDelta-x² + Delta-x³).

Tukaj je koeficient A = 3x² ni odvisna Delta-x, tako da je prvi izraz sorazmeren Delta-x, drugi član 3xDelta-x² + Delta-x³na Delta-x → 0 se zmanjša hitreje kot prirast argumenta. Zato izraz 3x²Delta-x je diferencial y = x^3:

dy = 3x²Delta-x = 3x²dx ali d (x³) = 3x²dx.

Še več, d (x³) / dx =3x².

Zdaj najdemo dy funkcije y = 1 / x v smislu njenega izpeljanka. Potem d (1 / x) / dx = ─ 1 / x². Zato dy = ─ Delta-x / x².

Razlike v osnovnih algebraičnih funkcijah so podane spodaj.

Približni izračuni z uporabo diferenciala

Za oceno funkcijo f (x), in njegova izpeljanka f `(x) pri x = A pogosto težko, toda storiti isto v bližini x = a ni enostavno. Potem se reši približni izraz

f (a + Delta-x) asymp-f `(a) Delta-x + f (a).

Omogoča približno vrednost funkcije pri majhnih korakih Delta-x skozi razlike f `(a) Delta-x.

Zato ta formula daje približen izraz za funkcijo na koncu točke dela dolžine Delta-x kot vsota njegove vrednosti na začetni točki tega odseka (x = a) in diferenciala na istem izhodišču. Napaka na tak način določanja vrednosti funkcije je prikazana na spodnji sliki.

Vendar pa je natančen izraz za vrednost funkcije za x = a + Delta-x, ki je podan s formulo končnih prirastkov (ali, drugače rečeno, s formulo Lagrangea)

f (a + Delta-x) asymp-f `(xi-) Delta-x + f (a),

kjer je točka x = a + xi- je na segmentu od x = a do x = a + Delta-x, čeprav njen natančen položaj ni znan. Natančna formula omogoča oceno napake približne formule. Če smo v formuli Lagrange postavili xi- = Delta-x / 2, potem pa čeprav ne preneha biti točno, ponavadi daje veliko boljši približek kot prvotni izraz skozi diferencial.

Ocena napake pri formulah z uporabo diferenciala

Merilni instrumenti načeloma netočne in v merilne podatke vpišejo ustrezne napake. Zanje so značilne omejitve absolutna napaka, ali, na kratko, marginalna napaka - pozitivno število, ki zagotovo presega to napako v absolutni vrednosti (ali v skrajnih primerih enaka nje). The Ultimate relativna napaka imenujemo kvocient njegove delitve z absolutno vrednostjo izmerjene vrednosti.

Naj bo za izračun funkcije y uporabljena natančna formula y = f (x), vendar je vrednost x rezultat meritve in zato uvaja napako pri y. Potem, da bi našli omejitveno absolutno napako funkcije │zwnj-zwnj-Delta-γ, uporabite formulo

│zwnj-zwnj-Delta-u│asymp-│zwnj-zwnj-dy│ = │ f `(x) ││Delta-x│,

kjer je │Delta-x omejevalna napaka argumenta. Vrednost │zwnj-zwnj-Delta-y je treba zaokrožiti navzgor, ker netočno je nadomestiti izračun prirastka z izračunom diferenciala.