Diferenčni računali funkcije ene in več spremenljivk

Diferencialni račun je del matematične analize, ki proučuje derivat, diferenciale in njihovo uporabo pri proučevanju funkcij.

Zgodovina videza

Diferencialni račun pojavila kot samostojna disciplina v drugi polovici 17. stoletja, zahvaljujoč delu Newton in Leibniz, ki je oblikoval osnovne določbe za izračun razlik in opazil povezavo med integracijo in diferenciacijo. Od tega trenutka se je disciplina razvila skupaj z računom integralov, s čimer je bila osnova matematične analize. Pojav teh kamnov odprli novo sodobno obdobje v matematičnem svetu in povzročila nastanek novih disciplin v znanosti. Razširila je tudi možnost uporabe matematične znanosti v naravoslovju in tehnologiji.

Osnovni pojmi

Diferencialni račun temelji na temeljnih konceptih matematike. So: realno število, kontinuiteto, delovanje in omejitev. Po nekaj časa so se zaradi integralnega in diferencialnega računanja zgledovali po sodobnem videzu.

Postopek ustvarjanja

Oblikovanje diferencialnega računala v obliki uporabljene in nato znanstvene metode je nastalo pred nastankom filozofske teorije, ki jo je ustvaril Nikolaj Kuzansky. Njegovo delo šteje za evolucijski razvoj iz sodb starodavne znanosti. Kljub dejstvu, da sam filozof ni bil matematik, je njegov prispevek k razvoju matematične znanosti nesporen. Kuzansky je bil eden prvih, ki je zapustil upoštevanje aritmetike kot najbolj natančno področje znanosti, pri čemer je matematiko tega časa dvomila.

V starodavnih matematikih je univerzalni kriterij enota, medtem ko je filozof ponujal kot nov ukrep neskončnost namesto natančnega števila. V zvezi s tem je reprezentacija natančnosti v matematični znanosti obrnjena. Znanstveno znanje, po njegovem mnenju, je razdeljeno na racionalno in intelektualno. Druga je natančnejša, glede na znanstvenika, saj prva daje le približen rezultat.

Ideja

Osnovna ideja in koncept v diferencialnem računu sta povezana s funkcijo v majhnih soseskah določenih točk. Za to je potrebno ustvariti matematični aparat za preiskavo funkcije, katere obnašanje v majhni soseski določenih točk je blizu obnašanju polinoma ali linearne funkcije. Temelji na opredelitvi izpeljanka in razlike.

Pojav derivata je povzročil veliko število problemov iz naravoslovnih in matematičnih ved, kar je privedlo do ugotovitve vrednosti meja ene vrste.

Ena od glavnih nalog, ki so podane kot primer, začenši z razredi srednje šole, je določiti hitrost točke v ravni črti in zgraditi tangento črto na to krivuljo. Razlika je povezana s tem, saj je mogoče približati funkcijo v majhni soseski točke zadevne linearne funkcije.

V primerjavi z koncept izvedenega finančnega instrumenta funkcije realne spremenljivke, opredelitev razlike preprosto preide na funkcijo splošne narave, zlasti na sliko enega evklidskega prostora na drugega.

Derivat

Naj bo točka premaknjena vzdolž smeri osi Oy, medtem ko vzamemo x, ki se meri od določenega začetka trenutka. Ta premik lahko opišemo s funkcijo y = f (x), ki je povezana z vsakim časom trenutka x koordinate premaknjene točke. To funkcijo v mehaniki je treba imenovati zakon gibanja. Glavna značilnost gibanja, še posebej neenakomerna, je trenutna hitrost. Ko se točka premika vzdolž osi Oy po zakonu mehanike, potem v naključnem času x pridobi koordinat f (x). V trenutku x + Delta-x, kjer Delta-x pomeni povečanje časa, njegov kadinat pa bo f (x + Delta-x). Torej se oblikuje formula Delta-y = f (x + Delta-x) -f (x), ki se imenuje povečanje funkcije. To pot je potekala v času od x do x + Delta-x.

V povezavi s pojavom te hitrosti se v trenutku uvede derivat. V poljubni funkciji se derivat na fiksni točki imenuje meja (pod pogojem, da obstaja). Določijo jo lahko z določenimi simboli:

frsquo- (x), yrsquo-, ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Postopek izračuna izpeljanega derivata imenujemo diferenciacija.

Diferencialni račun funkcije več spremenljivk

Ta metoda računanja se uporablja pri proučevanju funkcije z več spremenljivkami. V prisotnosti dveh spremenljivk x in y se delni derivat glede na x v točki A imenuje derivat te funkcije glede na x s fiksnim y.

Lahko ga označite z naslednjimi znaki:

frsquo- (x) (x, y), ursquo- (x), del-u / del-x ali del-f (x, y) rsquo- / part-x.

Potrebna znanja

Za uspešno učenje in reševanje difuzorjev potrebujemo veščine pri integraciji in diferenciaciji. Da bi lažje razumeli diferencialne enačbe, bi morali dobro razumeti predmet izpeljanka in nedoločen integral. Prav tako ne boli, da bi se naučil iskati derivat implicitne funkcije. To je posledica dejstva, da je v procesu učenja pogosto potrebno uporabljati integral in diferenciacijo.

Vrste diferencialnih enačb

Praktično v vseh nadzornih delih, povezanih z diferencialne enačbe prvega reda, obstajajo tri vrste enačb: homogeno, z ločljivimi spremenljivkami, linearno nehomogene.

Obstajajo tudi bolj redke sorte enačb: s polnimi diferenciali, Bernoulli enačbami in drugimi.

Osnove rešitve

Za začetek je treba spomniti algebrske enačbe iz šolskega tečaja. Vsebujejo spremenljivke in številke. Da bi rešili navadno enačbo, je treba najti niz števil, ki ustrezajo danemu pogoju. Takšne enačbe so praviloma imele le en koren in za preverjanje pravilnosti je bilo treba to vrednost nadomestiti samo za mesto neznanega.

Diferencialna enačba je podobna temu. V splošnem primeru ta enačba prvega reda vključuje:

• Neodvisna spremenljivka.
• Derivat prve funkcije.
• Funkcija ali odvisna spremenljivka.

V nekaterih primerih lahko pride nihče ni znano, x ali y, vendar ni tako pomembna kot je potrebno, da ima prvi derivat, brez višji odvodi namenom raztopine in diferencialni računa bilo res.

Za rešitev diferencialne enačbe je najti vse funkcije, ki ustrezajo danemu izrazu. Tak niz funkcij se pogosto imenuje splošna rešitev DW.

Integralni račun

Integralni račun je eden od področij matematične analize, ki proučuje koncept integrala, lastnosti in metode izračuna.

Izračun integrala pogosto nastane pri izračunu površine krivulje slike. Na ta način mejno območje, do katere se vnaprej določeno področje popisano poligona oblike s postopnim povečanjem v roki, in stranjo podatki lahko manjši od predhodno določeno arbitrarno majhnih vrednosti.

Glavna ideja pri izračunu območja koli geometrijske oblike se izračuna ploščino pravokotnika, potem obstajajo dokazi, da je njena površina je enaka zmnožku dolžine, ki ga širine. Ko gre za geometrije, nato pa so vsi objekti, ki s pomočjo ravnila in kompasa, nato pa je razmerje med dolžino in širino je racionalno vrednost. Pri izračunu območje pravokotnega trikotnika se lahko določi, da če si dal naslednji trikotnik, se tvori pravokotnik. V paralelogramu se območje izračuna s podobno, a nekoliko bolj zapleteno metodo, s pravokotnikom in trikotnikom. V poligonih se območje šteje skozi trikotnike, ki ga vnesejo.

Pri določanju miloščine poljubne krivulje ta metoda ne deluje. Če ga razdelite na enote, bodo prazni presledki. V tem primeru poskusite uporabiti dve pokrovi, s pravokotniki na vrhu in dnu, zaradi česar so vključeni funkcijski graf in ne vključujejo. Pomembno je, kako zlomiti te pravokotnike. Tudi če vzamemo več in več razčlenitev, se mora območje od zgoraj in spodaj približati določeni vrednosti.

Treba se je vrniti na metodo deljenja v pravokotnike. Obstajata dve priljubljeni načini.

Riemann je formaliziral definicijo integrala, ki sta ga ustvarila Leibniz in Newton kot območje podgrafa. V tem primeru smo upoštevali oblike, sestavljene iz več navpičnih pravokotnikov in pridobljene z delitvijo segmenta. Kadar obstaja omejitev zmanjšanja razbitja, na katero se zmanjša območje takšne številke, se ta meja imenuje integral Riemann funkcije v danem intervalu.

Druga metoda je zgraditi Lebesgue integral, sestoji v tem, da na mestu ločitev določenega območja na delu integrand in urejanja nato integralno vsoto vrednosti, dobljenih v teh delih, pri intervalih razdelila obseg vrednosti, in nato združimo z ustreznimi ukrepi inverzni slik teh integralov.

Sodobne koristi

Eden glavnih priročnikov o študiji diferenčnega in integralnega računanja je napisal Fichtenholz, "Tečaj diferencialnega in integralnega računanja". Njegov učbenik je temeljna pomoč pri študiju matematične analize, ki je zadržala številne publikacije in prevode v druge jezike. Ustanovljen je za študente in se že dolgo uporablja v različnih izobraževalnih ustanovah kot eden glavnih vodnikov. Daje teoretične podatke in praktične veščine. Prvič je bil objavljen leta 1948.

Algoritem funkcionalnih raziskav

Da bi raziskali metode diferencialne računske funkcije, je treba slediti že definiranemu algoritmu:

1. Poiščite domeno funkcije.
2. Poiščite korenine določene enačbe.
3. Izračunajte ekstreme. Če želite to narediti, izračunajte derivat in točke, kjer je enaka nič.
4. Izmerjeno vrednost nadomestimo z enačbo.

Sorte diferencialnih enačb

DU prvega reda (z drugimi besedami, diferenčni račun ene spremenljivke) in njihove vrste:

• Enačba z ločevalnimi spremenljivkami: f (y) dy = g (x) dx.
• Najenostavnejše enačbe ali diferenčni račun funkcije ene spremenljivke imajo formulo: y `= f (x).
• Linearni nehomogeni DD prvega reda: y `+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferencialna enačba: y `+ P (x) y = Q (x) y^a .
• Enačba s popolnimi diferenciali: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Diferencialne enačbe drugega reda in njihove vrste:

• Linearna homogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi vrednostmi koeficienta: yⁿ+pi `+ qy = 0 p, q pripada R.
• Linearna nehomogena diferencialna enačba drugega reda s konstantno vrednostjo koeficientov: y<sup>n</sup>+pi `+ qy = f (x).
• Linearna homogena diferencialna enačba: yⁿ+p (x) y `+ q (x) y = 0 in nehomogena enačba drugega reda: y<sup>n</sup>+p (x) y `+ q (x) y = f (x).

Diferencialne enačbe višjih naročil in njihove vrste:

• Diferencialna enačba, ki omogoča zmanjšanje vrstnega reda: F (x, y^(k),y^{(k + 1)},..,y⁽ⁿ⁾= 0.
• Linearna enačba višje ravni je homogena: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+...+f₁y `+ f<sub>0</sub>y = 0, in heterogeni: y<sup>(n)</sup>+f<sub>(n-1)</sub>y<sup>(n-1)</sup>+...+f<sub>1</sub>y `+ f₀y = f (x).

Koraki reševanja problema z diferencialno enačbo

S pomočjo DU se rešujejo ne le matematična ali fizična vprašanja, ampak tudi različne težave iz biologije, ekonomije, sociologije in tako naprej. Kljub številnim temam je treba pri reševanju takšnih problemov slediti enotnemu logičnemu zaporedju:

1. Priprava DM. Ena najzahtevnejših faz, ki zahteva največjo natančnost, kajti vsaka napaka vodi do povsem nepravilnih rezultatov. Upoštevati je treba vse dejavnike, ki vplivajo na proces, in določiti začetne pogoje. Prav tako mora temeljiti na dejstvih in logičnih sklepih.
2. Rešitev sestavljene enačbe. Ta postopek je enostavnejši od prve točke, saj zahteva le strogo izvajanje matematičnih izračunov.
3. Analiza in ocena rezultatov. Rezultirajočo rešitev je treba oceniti, da se določi praktična in teoretična vrednost rezultata.

Primer uporabe diferencialnih enačb v medicini

Uporaba DM na področju medicine se pojavlja pri konstruiranju epidemiološkega matematičnega modela. Ne smemo pozabiti, da so te enačbe tudi v biologije in kemije, ki so blizu medicini, saj igra pomembno vlogo študijo različnih bioloških populacij in kemijskih procesov v človeškem telesu.

V primeru epidemije lahko razmislimo o širjenju okužbe v izolirani družbi. Prebivalci so razdeljeni v tri vrste:

• Okuženi, številka x (t), sestavljena iz posameznikov, nosilci okužbe, od katerih je vsak nalezljiv (inkubacijsko obdobje je krajše).
• Druga vrsta vključuje dovzetne posameznike y (t), sposobne sklepanja pogodb, ko so v stiku z okuženim.
• Tretja vrsta vključuje ne-dovzetne posameznike z (t), ki so imunski ali so umrli zaradi bolezni.

Število posameznikov je stalno, rojstni zapisi, naravne smrti in migracije se ne upoštevajo. V osnovi bodo obstajale dve hipotezi.

Odstotek bolezni na neki časovni točki je enaka x (t), y (t) (na osnovi predpostavke o teoriji, da je število primerov, v sorazmerju s številom križišč med bolnikom in odziven članov, ki je v prvem približku je sorazmerna x (t), y (t)), v zato je število primerov narašča, in število dovzetnih zmanjša s hitrostjo, ki je izračunana po enačbi ax (t) y (t) (a> 0).

Število neobčutljivih posameznikov, ki so pridobili imuniteto ali umrli, se poveča sorazmerno s številom primerov, bx (t) (b> 0).

Zato je mogoče sestaviti sistem enačb ob upoštevanju vseh treh kazalnikov in na njegovi podlagi pripraviti sklepe.

Primer uporabe v ekonomiji

V gospodarski analizi se pogosto uporablja diferencialni račun. Glavna naloga ekonomske analize je preučevanje količin iz gospodarstva, ki so zapisane v obliki funkcije. To se uporablja za reševanje težav, kot so spremembe dohodka takoj po zvišanju davkov, uvedbi dajatev, spremembah v prihodkih družbe, ko se vrednost proizvodnje spremeni, v kolikšnem obsegu lahko zamenjane zaposlene nadomestijo z novo opremo. Za reševanje takih vprašanj je potrebno oblikovati funkcijo povezave iz dohodnih spremenljivk, ki jih nato preučujemo z diferencialnim računom.

Na gospodarskem področju je pogosto potrebno najti najbolj optimalne kazalnike: največjo produktivnost dela, najvišji dohodek, najmanj stroškov in tako naprej. Vsak tak kazalnik je funkcija enega ali več argumentov. Na primer, proizvodnja se lahko obravnava kot funkcija odhodkov dela in kapitala. V zvezi s tem je iskanje ustrezne vrednosti mogoče zmanjšati, da najdemo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije iz ene ali več spremenljivk.

Takšni problemi ustvarjajo vrsto ekstremnih problemov na gospodarskem področju, za katere je potreben diferenčni račun. Ko je ekonomski kazalnik čim bolj zmanjšan ali maksimiziran kot funkcija drugega indikatorja, se razmerje med prirastkom funkcije in argumenti nagiba na nič v najvišji točki, če se prirast argumenta zmanjša na nič. V nasprotnem primeru, če se tak odnos nagiba k neki pozitivni ali negativni vrednosti, določena točka ni primerna, ker je s povečanjem ali zmanjševanjem argumenta mogoče spremeniti odvisno vrednost v potrebni smeri. V terminologiji diferencialnega računanja to pomeni, da je zahtevani pogoj za maksimalno funkcijo ničelna vrednost njenega izpeljanka.

V ekonomiji pogosto obstajajo težave pri iskanju ekstremuma funkcije z več spremenljivkami, ker gospodarski kazalniki sestavljajo številni dejavniki. Podobna vprašanja so dobro preučena v teoriji funkcij več spremenljivk z uporabo metod diferencialnega izračunavanja. Takšne naloge vključujejo ne le maksimizirane in minimirane funkcije, temveč tudi omejitve. Podobna vprašanja se nanašajo na matematično programiranje in jih rešujejo s pomočjo posebej razvitih metod, ki temeljijo tudi na tem delu znanosti.

Med metodami diferencialnega računanja, ki se uporablja v ekonomiji, je pomemben del marginalna analiza. Na gospodarskem področju se ta izraz nanaša na vrsto metod za proučevanje spremenljivih kazalnikov in rezultatov pri spreminjanju obsega ustvarjanja, porabe na podlagi analize njihovih omejitev. Omejitveni indeks je izvedeni ali delni derivati ​​z več spremenljivkami.

Diferenčni račun več spremenljivk je pomembna tema s področja matematične analize. Za podrobnejšo študijo je mogoče uporabiti različne učne pripomočke za visokošolske ustanove. Eden od najbolj znanih ustvarjenih Fichtenholz - "Tečaj diferencialnega in integralnega računanja". Kot je razvidno iz naslova, so veščine pri delu z integrali bistvenega pomena pri reševanju diferencialnih enačb. Ko pride do diferencialnega izračuna funkcije ene spremenljivke, postane rešitev enostavnejša. Čeprav je treba opozoriti, da izpolnjuje enaka osnovna pravila. Za izvajanje funkcije v diferencialnem računu je dovolj, da sledimo že razpoložljivemu algoritmu, ki je podan v zgornjih razredih šole in je le malo zapleteno, ko se vnesejo nove spremenljivke.