Distribucijske funkcije naključne spremenljivke. Kako najti funkcijo porazdelitve naključne spremenljivke

Za iskanje distribucijskih funkcij naključnih spremenljivk in njihovih spremenljivk je potrebno preučiti vse značilnosti tega področja znanja. Obstaja več različnih metod za iskanje upoštevanih vrednosti, vključno s spreminjanjem spremenljivke in ustvarjanjem navora. Porazdelitev je koncept, ki temelji na elementih, kot so variance, variacije. Vendar pa označujejo samo stopnjo amplitude razpršenja.

Pomembnejše funkcije naključnih spremenljivk so tiste, ki so povezane in neodvisne ter so enakomerno porazdeljene. Na primer, če je X1 masa naključno izbranega posameznika od moške populacije, je X2 masa drugega, ... in Xn je masa druge osebe moške populacije, potem je treba vedeti, kako se porazdeli naključna funkcija X. V tem primeru uporabimo klasično izrek, ki se imenuje centralna mejna izreka. Omogoča nam, da pokažemo, da funkcija za veliko n sledi standardnim porazdelitvam.

Funkcije ene naključne spremenljivke

Osrednja mejna izreka je zasnovana tako, da približuje obravnavane diskretne vrednosti, kot sta binomski in Poisson. Porazdelitvene funkcije naključnih spremenljivk so najprej obravnavane na preprostih vrednostih ene spremenljivke. Na primer, če je X stalna slučajna spremenljivka, ki ima svojo porazdelitev verjetnosti. V tem primeru raziskujemo, kako najti funkcijo gostote Y z uporabo dveh različnih pristopov, in sicer metode distribucije in variabilne variacije. Prvič, upoštevamo samo enostopne vrednosti. Potem morate spremeniti tehniko spreminjanja spremenljivke, da bi našli njeno verjetnost. Končno se moramo naučiti, kako lahko inverzna funkcija kumulativne porazdelitve pomaga pri modeliranju naključnih števil, ki sledijo določenim zaporednim vezjem.

Način razdelitve ocenjenih vrednosti

Metoda funkcije porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke se uporablja, da bi našli njeno gostoto. Pri uporabi te metode se izračuna kumulativna vrednost. Potem, z diferenciranjem, lahko dobimo gostoto verjetnosti. Zdaj, v prisotnosti metode distribucijske funkcije, lahko preberemo še nekaj primerov. Naj bo X stalna slučajna spremenljivka z določeno gostoto verjetnosti.

Kakšna je funkcija gostote verjetnosti x2? Če pogledamo ali načrtujemo funkcijo (od zgoraj in od desne strani) y = x2, lahko opazimo, da gre za naraščajoče X in 0

V zadnjem primeru je bila uporabljena velika previdnost pri indeksiranju kumulativnih funkcij in gostote verjetnosti, bodisi s X ali Y, da bi nakazali, na katero naključno spremenljivko pripadajo. Na primer, pri iskanju kumulativne porazdelitvene funkcije je bila Y dodeljena X. Če je treba najti naključno spremenljivko X in njeno gostoto, jo je treba preprosto razlikovati.

Tehnika za spreminjanje spremenljivk

Naj bo X stalna slučajna spremenljivka, ki jo dobi porazdelitvena funkcija s skupnim imenomatorjem f (x). V tem primeru, če postavite vrednost y v X = v (Y), dobiš vrednost x, na primer v (y). Zdaj moramo pridobiti porazdelitveno funkcijo stalne slučajne spremenljivke Y. Če prva in druga enakost potekata iz definicije kumulativnega Y. Tretja enačba je izpolnjena, ker deli funkcije, za katere u (X) le-y, prav tako je res, da je X le-v (Y). In slednje izvedemo, da določimo verjetnost v zvezni slučajni spremenljivki X. Zdaj moramo vzeti derivat FY (y), kumulativno porazdelitveno funkcijo Y, da dobimo gostoto verjetnosti Y.

Posplošitev za funkcijo zmanjšanja

Naj bo X stalna slučajna spremenljivka s skupnim f (x), definiranim nad c1

Za rešitev tega problema je mogoče zbrati količinske podatke in uporabiti empirično kumulativno funkcijo porazdelitve. Ob upoštevanju teh informacij in privlačnosti je treba združiti vzorce sredstev, standardne odklone, podatke o medijih in tako naprej.

Podobno lahko ima celo precej preprost verjetnostni model veliko število rezultatov. Če na primer kopičite kovancev 332 krat. Nato je število rezultatov, ki so bili pridobljeni iz udarcev, večji od števila zadetkov google (10100) - števila, vendar ne manj kot 100 kvintilijonov več kot osnovni delci v znanem vesolju. Ni zanimivo analiza, ki daje odgovor na vse možne rezultate. Zahtevnejši koncept bo potreben, na primer število glav ali najdaljša vožnja z repi. Da bi se osredotočili na zanimiva vprašanja, se doseže določen rezultat. Opredelitev v tem primeru je naslednja: naključna spremenljivka je prava funkcija z verjetnostnim prostorom.

Območje S naključne spremenljivke se včasih imenuje tudi prostor države. Če je torej X obravnavana vrednost, potem je tako N = X2, exp crarr-X, X2 + 1, tan2 X, bXc in tako naprej. Zadnji od njih, zaokroževanje X na najbližje celo število, se imenuje funkcija spolnosti.

Distribucijske funkcije

Ko se določi želena porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke x, vprašanje običajno postane: "Kakšne so možnosti, da X pade v nekaj podskupin vrednosti B?". Na primer, B = {liho število}, B = {večje od 1} ali B = {med 2 in 7}, da se prikažejo ti rezultati, ki imajo vrednost X naključne spremenljivke v podmnožici A. Torej, opisati dogodke, kot sledi.

{X je neparna številka}, {X je večja od 1} = {X> 1}, {X je med 2 in 7} = {2

Naključne spremenljivke in distribucijske funkcije

Tako je mogoče izračunati verjetnost, da porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke x vrednosti v intervalu odšteje z odštevanjem. Morate razmišljati o vključitvi ali izključitvi končnih točk.

Naključno spremenljivko imenujemo diskretna, če ima končni ali štetje neskončno stanje prostora. Tako je X število glav na treh neodvisnih flips premaknjenega kovanca, ki narašča z verjetnostjo p. Treba je najti kumulativno porazdelitveno funkcijo diskretne slučajne spremenljivke FX za X. Naj bo X število vrhov v zbirki treh kartic. Potem Y = X3 do FX. FX se začne pri 0, se konča pri 1 in se z naraščajočimi vrednostmi x ne zmanjša. Skupna porazdelitvena funkcija diskretne slučajne spremenljivke X je konstantna, razen pri skokih. Pri skoku je FX neprekinjen. Z uporabo definicije potrdite izjavo o pravilni kontinuiteti funkcije porazdelitve iz lastnosti verjetnosti. Sliši se tako: stalna naključna spremenljivka ima kumulativni FX, ki je diferencibilen.

Da bi prikazali, kako se to lahko zgodi, lahko podamo primer: cilj s polmerom enote. Verjetno. Pikado se enakomerno porazdeli na določeno območje. Za nekatere lambda-> 0. Tako se distribucijske funkcije zveznih naključnih spremenljivk gladko povečujejo. FX ima lastnosti distribucijske funkcije.

Človek čaka avtobus na avtobusni postaji, dokler ne pride. Odločite se sami, da bo zavrnil, ko bo čakanje doseglo 20 minut. Tukaj je treba najti kumulativno distribucijsko funkcijo za T. Čas, ko bo oseba še vedno na avtobusni postaji ali ne bo odšla. Kljub dejstvu, da je kumulativna porazdelitvena funkcija opredeljena za vsako naključno spremenljivko. Vseeno se bodo pogosto uporabljale druge značilnosti pogosto: masa za diskretno spremenljivko in distribucijska funkcija naključne spremenljivke. Običajno se vrednost izračuna z eno od teh dveh vrednosti.

Masovne funkcije

Te vrednosti upoštevamo z naslednjimi lastnostmi, ki imajo skupen (masni znak). Prvi temelji na dejstvu, da verjetnosti niso negativne. Druga sledi iz ugotovitve, da je za vse x = 2S, prostor države X, tvorjena razdelitev verjetnostistične svobode X. Primer: vrže nepredvidljiv kovanec, katerega rezultati so neodvisni. Lahko nadaljujete z izvajanjem določenih dejanj, dokler ne pridete na glavo. Let X označuje naključno spremenljivko, ki daje število repov pred prvo glavo. In p pomeni verjetnost v katerem koli danem dejanju.

Funkcija množične verjetnosti torej ima naslednje značilne lastnosti. Ker izrazi tvorijo numerično zaporedje, se X imenuje geometrijska slučajna spremenljivka. Geometrijska shema c, cr, cr2,. ,,,, crn ima vsoto. In posledično, sn ima omejitev za n 1. V tem primeru je neskončna vsota meja.

Zgornja masna funkcija tvori geometrijsko zaporedje z relacijo. Torej, naravna števila a in b. Razlika vrednosti v porazdelitveni funkciji je enaka vrednosti masne funkcije.

Vrednosti upoštevane gostote imajo naslednjo definicijo: X je naključna spremenljivka, katere porazdelitev ima derivat. FX, ki ustreza Z xFX (x) = fX (t) dt-1, imenujemo funkcija gostote verjetnosti. A se imenuje stalna slučajna spremenljivka. V osnovni izreki izračuna je funkcija gostote derivat porazdelitve. Verjetnost lahko izračuna z izračunom določenih integralov.

Ker so podatki zbrani iz več opazovanj, je treba razmisliti o več kot eni naključni spremenljivki, ki simulira eksperimentalne postopke. Posledično skupek teh vrednosti in njihova skupna porazdelitev za obe spremenljivki X1 in X2 pomenita dogodke. Za diskretne slučajne spremenljivke se določijo skupne funkcije verjetnostne mase. Za neprekinjeno, upoštevamo fX1, X2, kjer je skupna gostota verjetnosti izpolnjena.

Neodvisne naključne spremenljivke

Dve naključni spremenljivki X1 in X2 sta neodvisni, če sta dva dogodka, povezana z njimi, enaka. Z besedami, verjetnost, da se istočasno pojavita dva dogodka {X1 2 B1} in {X2 2 B2}, y je enako produktu zgoraj navedenih spremenljivk, da se vsaka od njih zgodi posamično. Za neodvisne diskretne slučajne spremenljivke obstaja skupna funkcija verjetnostne mase, ki je produkt omejevalnega volumna ionov. Za neodvisne zvezne naključne spremenljivke je skupna funkcija gostote verjetnosti produkt vrednosti mejne gostote. Na koncu, n neodvisnih opazovanj x1, x2 ,. ..., xn, ki izhajajo iz neznane gostote ali množične funkcije f. Na primer, neznan parameter v funkcijah za eksponentno naključno spremenljivko, ki opisuje čakalni čas avtobusa.

Simulacija naključnih spremenljivk

Glavni cilj tega teoretičnega področja je zagotoviti orodja, potrebna za razvoj inferenčnih postopkov, ki temeljijo na trdnih načelih statistične znanosti. Tako je ena najpomembnejših aplikacij programske opreme zmožnost generiranja psevdodatkov za simulacijo dejanskih informacij. To omogoča testiranje in izboljšanje analitskih metod, preden jih je treba uporabiti v dejanskih podatkovnih bazah. To je potrebno za raziskovanje lastnosti podatkov z modeliranjem. Za mnoge pogosto uporabljene družine naključnih spremenljivk, R nudi ukaze za njihovo ustvarjanje. Za druge okoliščine potrebujemo metode za modeliranje zaporedja neodvisnih naključnih spremenljivk, ki imajo skupno porazdelitev.

Diskretne slučajne spremenljivke in vzorec ukaza. Ukaz vzorec se uporablja za ustvarjanje preprostih in stratificiranih naključnih vzorcev. Če se vnese zaporedje x, vzorec (x, 40) izbere 40 vnosov iz x tako, da imajo vse velikosti 40 enako verjetnost. To uporablja privzeti ukaz R za vzorčenje brez zamenjave. Uporabite ga lahko tudi za simulacijo diskretnih slučajnih spremenljivk. Če želite to narediti, morate vektor x in masno funkcijo f zagotoviti. Klic, ki nadomesti = TRUE pomeni, da se vzorčenje zgodi z zamenjavo. Nato uporabimo vzorec (x, n, nadomestimo = TRUE, prob = f), da dobimo vzorec n neodvisnih naključnih spremenljivk, ki imajo skupno masno funkcijo f.

Ugotovljeno je, da je 1 najmanjša zastopana vrednost, 4 pa največja. Če je prob = f izpuščen, bo vzorec enakomerno izbran od vrednosti v vektorju x. Preverite simulacijo proti masni funkciji, ki je ustvarila podatke, pri tem pa upoštevajte dvojni znak enakosti ==. In ponovite opažanja, ki imajo za vsako x vrednost. Lahko naredite mizo. Ponovite to za 1000 in primerjate simulacijo z ustrezno masno funkcijo.

Predstavlja preoblikovanje verjetnosti

Najprej simulira homogene funkcije porazdelitve naključnih spremenljivk u1, u2,. ..., un v intervalu [0, 1]. Približno 10% števila mora biti znotraj [0,3, 0,4]. To ustreza 10% simulacij v intervalu [0,28, 0,38] za naključno spremenljivko z označeno distribucijsko funkcijo FX. Podobno bi moralo biti približno 10% naključnih številk v intervalu [0,7, 0,8]. To ustreza 10% simulacij v intervalu [0,96, 1,51] naključne spremenljivke s funkcijo porazdelitve FX. Te vrednosti na x-osi se lahko dobijo, ko se vrnejo iz FX. Če je X stalna slučajna spremenljivka z gostoto fX pozitiven povsod v svoji domeni, potem se distribucijska funkcija strogo poveča. V tem primeru ima FX inverzno funkcijo FX-1, znan kot funkcijo kvantila. FX (x) u samo, če je x FX-1 (u). Pretvorba verjetnosti izhaja iz analize naključne spremenljivke U = FX (X).

FX ima razpon med 0 in 1. To se ne sme sprejeti vrednosti pod 0 ali nad 1. Za vrednosti u med 0 in 1. Če je mogoče simulirati U, je treba simulirati naključno spremenljivko s funkcijo distribucije FX s kvantil. Take derivat, je videti, da je gostota u sega 1. Ker je naključna spremenljivka U konstantno gostoto v območju od približno njegovih možnih vrednosti, je omenjeno, da je enotna na intervalu [0, 1]. Modeliran je v R z uporabo ukaza runif. Identiteta se imenuje verjetnostno preoblikovanje. V tem primeru si lahko ogledate, kako deluje s pikado. X med 0 in 1, porazdelitvena funkcija u = FX (x) = x2 in s tem funkcija kvantila x = FX-1 (u). Možno je simulirati neodvisna opazovanja razdalje od središča strelne plošče in s tem ustvariti enotne naključne spremenljivke U1, U2 ,. ,, Un. Funkcija distribucije in empirični temelji na 100 simulacijah porazdelitve pikado. Za eksponentno naključno spremenljivko, verjetno u = FX (x) = 1 - exp (-x), zato x = - 1 ln (1 - u). Včasih logika sestoji iz enakovrednih izjav. V tem primeru morate kombinirati dva dela argumenta. Identiteta s presečiščem je podobna za vse 2 {S i i} S, namesto neke vrednosti. Zveza Ci je enaka državnemu prostoru S in vsak par se med seboj izključuje. Ker je Bi razdeljen na tri aksiome. Vsak pregled temelji na ustrezni verjetnosti P. Za vsako podmnožico. Uporaba identitete, da se prepričate, da odgovor ni odvisen od tega, ali so končne točke intervala vključene.

Eksponentna funkcija in njene spremenljivke

Za vsak rezultat se v vseh dogodkih končno uporabi druga lastnost kontinuitete verjetnosti, kar velja za aksiomatsko. Porazdelitev funkcije naključne spremenljivke tukaj kaže, da ima vsaka svojo rešitev in odgovor.