Paritete funkcije

Enotnost in čudnost funkcije sta ena od njegovih glavnih lastnosti in funkcionalne raziskave na pariteti zavzema impresiven del šolskega tečaja iz matematike. Na več načinov določa vedenje funkcije in v veliki meri olajša izdelavo ustreznega razporeda.

Določimo pariteto funkcije. Na splošno velja, da se funkcija, ki se preučuje, upošteva tudi, če so ustrezne vrednosti y (funkcij) enake za nasprotne vrednosti neodvisne spremenljivke (x) v svoji domeni opredelitve.

Podajamo strožjo definicijo. Razmislimo o funkciji f (x), ki je definirana v D. To bo celo, če za vsako točko x v domeni definicije:

• -x (nasprotna točka) prav tako leži na tem področju opredelitve,
• f (-x) = f (x).

Iz zgornje definicije sledi pogoju, ki je potreben za domeno opredelitve takšne funkcije, in sicer simetrijo glede na točko O, ki je izvor, kajti če v domeni opredelitve enake funkcije vsebuje nekaj točke b, se v tej regiji nahaja tudi ustrezna točka - b. Iz zgoraj navedenega torej sklepamo, da ima ravna funkcija simetrično obliko glede na os ordinata (Oy).

Kako v praksi ugotoviti pariteto funkcije?

Naj funkcionalna odvisnost je podana s formulo h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Po algoritmu, ki sledi neposredno iz definicije, najprej preučimo svojo domeno definicije. Očitno je, da je definiran za vse vrednosti argumenta, to je, da je prvi pogoj izpolnjen.

Naslednji korak je zamenjati argument (x) s svojo nasprotno vrednostjo (-x).
Dobimo:
h (-x) = 11 ^ (-x) + 11 ^ x.
Ker dodatek izpolnjuje komutativni (premestljiv) zakon, je očitno, da je h (-x) = h (x) in dana funkcionalna odvisnost enaka.

Potrdimo pariteto funkcije h (x) = 11 ^ x-11 ^ (-x). Po istem algoritmu dobimo, da h (-x) = 11 ^ (-x) -11 ^ x. Na koncu imamo minus
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (-x)) = -h (x). Zato je h (x) neparna.

Mimogrede, je treba opozoriti, da obstajajo funkcije, ki jih ni mogoče razvrstiti v skladu s temi značilnostmi, se imenujejo niti ne niti neparne.

Tudi funkcije imajo številne zanimive lastnosti:

• kot posledica dodajanja takih funkcij dobimo celo število;
• kot posledica odštevanja takih funkcij dobimo enak rezultat;
• tudi inverzna funkcija je celo enaka;
• kot rezultat množenja dveh takšnih funkcij, dobimo celo število;
• kot rezultat pomnoževanja lihih in enakih funkcij dobimo liho;
• zaradi delitve neparnih in enakih funkcij postane liho;
• derivat takšne funkcije je neparen;
• če dvignemo čudno funkcijo na kvadrat, dobimo enako funkcijo.

Za reševanje enačb se lahko uporabi pariteto funkcije.

Za rešitev enačbe tipa g (x) = 0, kjer je leva stran enačbe čista funkcija, bo dovolj, da najde svoje rešitve za ne-negativne vrednosti spremenljivke. Korenine enačbe je treba kombinirati z nasprotnimi številkami. Eden od njih je predmet preverjanja.

To je isto lastnosti funkcije uspešno uporablja za reševanje nestandardnih nalog s parametrom.

Na primer, ali obstaja kakšna vrednost parametra a, za katerega bo enačba 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 imela tri korenine?

Če upoštevamo, da spremenljivka vstopa v enačbo v enakih močeh, potem je jasno, da se zamenjava x po - x dane enačbe ne spremeni. Zato sledi, da če je nekaj korena, potem je to nasprotno. Zaključek je očiten: korenine enačbe, razen ničle, vstopijo v niz svojih rešitev "parov".

Jasno je, da je številka 0 sama koren enačbe ni, to pomeni, da je število korenin te enačbe lahko enako in seveda za vsako vrednost parametra ne more imeti treh korenin.

Toda število korenin enačbe 2 ^ x + 2 ^ (-x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 je lahko liho in za vsako vrednost parametra. Dejansko je enostavno preveriti, ali niz korenin dane enačbe vsebuje rešitve "v parih". Preverimo, ali je 0 koren. Ko jo nadomestimo v enačbo, dobimo 2 = 2. Tako je poleg "seznanjene" 0 tudi koren, ki dokazuje njihovo liho številko.