Georg Kantor: Nastavite teorijo, biografijo in družinsko matematiko

George Cantor (na sliki spodaj v članku) je nemški matematik, ki je ustvaril teorijo množic in predstavil koncept transfinitetnih številk, neskončno velikih, a drugačnih drug od drugega. Prav tako je dal definicijo rednih in kardinalnih številk ter ustvaril svojo aritmetiko.

George Cantor: kratka biografija

Rojen je bil v St. Petersburgu dne 03.3.1855. Njegov oče je bil Dane protestantske vere Georg-Valdemar Kantor, ki je bil vključen v trgovino, tudi na borzi. Njegova mati Maria Boehm je bila katoliška in je prišla iz družine izjemnih glasbenikov. Ko je Georgov oče leta 1856 zbolel, so se družina preselila v Wiesbaden in nato v Frankfurt, v iskanju blažjega podnebja. Matematični talent fanta se je pojavil pred njegovim 15. rojstnim dnem, medtem ko je študiral na zasebnih šolah in gimnazijah v Darmstadtu in Wiesbadnu. Georg Kantor je na koncu prepričal svojega očeta, da bi postal matematik in ne inženir.

Po kratki študiji na Univerzi v Zürichu leta 1863 je Kantor na Univerzo v Berlinu preučil fiziko, filozofijo in matematiko. Tam so ga učili:

• Karl Theodor Weierstrass, katerega specializacija v analizi je verjetno imela največji vpliv na Georg;
• Ernst Eduard Kummer, ki je učil višjo aritmetiko;
• Leopold Kronecker, specialist za teorijo številk, ki je kasneje nasprotoval Cantorju.

Potem ko je preživel en semester na Univerzi v Göttingenu leta 1866, naslednje leto George napisal doktorsko disertacijo z naslovom "V matematiki, umetnost postavlja vprašanja, je bolj pomembno kot reševanje problemov" glede problematike ki Carl Friedrich Gauss ostal nerešen v svojem Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Po kratki poučevanje na berlinski šoli za dekleta Kantor začel delati na univerzi v Halleju, kjer je ostal do konca svojega življenja, najprej kot predavatelj, od leta 1872 kot docent, od leta 1879 najprej kot profesor.

Raziskave

Na začetku serije desetih del od 1869 do 1873 je George Cantor preučil teorijo številk. Delo je odražalo fascinacijo s temo, njegove študije o Gaussu in vpliv Kroneckerja. Na predlog Heinricha Edouarda Heineja, kantorjevega kolega v Halleju, ki je priznal svoj matematični talent, se je obrnil na teorijo trigonometričnih serij, v katerih je razširil pojem realnih števil.

Od dela na funkciji kompleksne spremenljivke nemškega matematika Bernharda Riemana leta 1854 je Cantor pokazal, da je taka funkcija lahko predstavljena le na en način - s trigonometričnimi serijami. Obravnava skupka številk (točk), ki ne bi nasprotovali takemu pogledu, ga je vodilo, prvič, leta 1872 k definiciji iracionalne številke v smislu konvergentne sekvence racionalne številke (frakcije celih števil) in do začetka dela na delu njegovega celotnega življenja, teorije množic in koncepta transfinitetnih števil.

Teorija sklopov

Georg Cantor, teorija, ki določa izvira v korespondenci s tehničnega inštituta Braunschweig matematik Richard Dedekind, je bil prijatelj z njim od otroštva. Ugotovili so, da, so nizi, končni ali neskončni množico elementov (npr številkami {0, ± 1, ± 2, ...}), ki imajo določeno lastnost, ki ohranijo svojo individualnost. Ko Georg Cantor uporablja za preučevanje njihove karakteristike eno korespondenco (npr {A, B, C} do {1, 2, 3}), je hitro ugotovil, da se razlikujejo v njihovem stopnje povezanosti, četudi bi bila neskončni nizi , to je, določa, katerih del ali podskupina vključuje toliko predmetov, kot je sam. Njegova metoda je kmalu prinesla presenetljive rezultate.

Leta 1873, Georg Cantor (matematik), je pokazala, da čeprav je neskončno, so racionalna števila, števna, saj jih lahko dal v one-to-one korespondenco z naravnimi (npr. E. 1, 2, 3 ,. D.). Pokazal je, da je skupek realnih števil, ki je sestavljen iz iracionalnega in racionalnega, neskončen in neskončen. Kakšen paradoks, Cantor je izkazalo, da je množica vseh algebrskih števil vsebuje toliko elementov, kot so nabor vseh celih števil, in da je transcendentno število, ki niso algebraična, ki so podmnožica iracionalnih števil je neštevna in zato njihovo število je večje od števil , in ga je treba šteti za neskončno.

Nasprotniki in navijači

Toda kantorjevo delo, v katerem je prvič predstavilo te rezultate, ni bilo objavljeno v reviji Krell, saj je eden od recenzentov, Kronecker, kategorično nasprotoval. Toda po Dedekindovem posegu je bil objavljen leta 1874 pod naslovom "Karakteristične lastnosti vseh realnih algebraičnih številk".

Znanost in osebno življenje

Istega leta je med poročnim tednom s svojo ženo Valli Gutman v Interlaknu v Švici Cantor srečal Dedekinda, ki se je prijazno odzval na svojo novo teorijo. Georgeova plača je bila majhna, vendar z denarjem njegovega očeta, ki je umrl leta 1863, je zgradil hišo za svojo ženo in pet otrok. Številna njegova dela so bila objavljena na Švedskem v novi reviji Acta Mathematica, katere urednica in ustanoviteljica je bila Gesta Mittag-Leffler, med prvimi, ki so priznali talent nemškega matematika.

Razmerje z metafiziko

Kantorjeva teorija je postala popolnoma nov predmet raziskav matematike neskončnega (na primer, serije 1, 2, 3 itd. In bolj zapletenih množic), kar je v veliki meri odvisno od korespondence med posamezniki. Kantorjev razvoj novih metod za dvigovanje vprašanj o kontinuiteti in neskončnosti je študijam dalo nejasen značaj.

Ko je trdil, da dejansko obstajajo neskončne številke, se je obrnil na starodavno in srednjeveško filozofijo glede na dejansko in potencialno neskončnost, pa tudi na zgodnje versko izobraževanje, ki so ga njegovi starši dali. Leta 1883 je v svoji knjigi Temelji teorije splošnih teorij kantor združil svoj koncept s Platonovo metafiziko.

Kroneckerjeva tudi, ki je poudaril, da "obstajajo" samo cela števila ( "Bog je ustvaril cela števila, ostalo - delo človeka"), za več let odločno zavrnilo njegove trditve in preprečiti njegovo imenovanje na Univerzi v Berlinu.

Transfinite številke

V letih 1895-97. Georg Cantor celoti ustanovil svojo idejo kontinuitete in neskončnosti, vključno z neskončno zaporedje in kardinalnih števil, v svoji najbolj znani dela, objavljena pod naslovom "Prispevek k teoriji transfinitno število" (1915). To delo vključuje njegovo pojmovanje, na katerega je vodil demonstracije, ki se neskončno niz lahko dostavi v korespondenci ena proti ena z enim od svojih setih.

Pod najmanjšim transfinitim številom kardinaljev je pomenil moč vseh množic, ki jih je mogoče ujemati z enačbami z naravnimi številkami. Cantor ga je imenoval alef-zero. Veliki transfinitni kompleti so označeni kot alef-one, alef-two itd. Razvil je še aritmetiko transfinitetnih številk, ki je bila podobna končni aritmetiki. Tako je obogatil pojem neskončnosti.

Opozicija, s katero se je soočil, in čas, ki ga je potreboval za popolno sprejetje njegovih idej, so razloženi s težavami ponovnega vrednotenja starodavnega vprašanja o številu. Cantor je pokazal, da je nabor točk na črti večja od alef-zero. To je pripeljalo do znane problematike kontinuumske hipoteze - ni nobenih kardinalnih števil med aleph-zero in močjo točk na liniji. Ta problem v prvi in ​​drugi polovici 20. stoletja je vzbudil veliko zanimanje in ga je preučevalo veliko matematikov, med njimi Kurt Gödel in Paul Cohen.

Depresija

Biografijo Georgea Cantorja iz leta 1884 je zasenčila duševna bolezen, ki se je začela z njim, vendar je še naprej aktivno delala. Leta 1897 je pomagal voditi prvi mednarodni matematični kongres v Zürichu. Deloma zato, ker mu je nasprotoval Kronecker, je pogosto simpatiral mlade začetnike matematike in si prizadeval najti način, kako jih rešiti pred nadlegovanjem učiteljev, ki se počutijo ogroženi z novimi idejami.

Priznavanje

Na prelomu stoletja je bilo njegovo delo v celoti priznano kot osnova teorije funkcij, analize in topologije. Poleg tega so knjige Cantor George služile kot spodbuda za nadaljnji razvoj intuicionističnih in formalističnih šol logičnih temeljev matematike. To je bistveno spremenilo učni sistem in je pogosto povezano z "novo matematiko".

Leta 1911 je bil Kantor med povabljenimi na praznovanje 500. obletnice Univerze St. Andrews na Škotskem. Tam je odšel v upanju, da se bo srečal z Bertrandom Russellom, ki se je v svojem nedavno objavljenem delu Principia Mathematica večkrat skliceval na nemškega matematiko, to pa se ni zgodilo. Univerza je Cantorju podelila častno diplomo, vendar zaradi bolezni ni mogla osebno sprejeti nagrade.

Kantor se je upokojil leta 1913, živel v revščini in v času prve svetovne vojne izginil. Praznovanja v čast njegovega 70. rojstnega leta leta 1915 so bila zaradi vojne preklicana, vendar je v njegovem domu potekala majhna slovesnost. Umrl je 6. januarja 1918 v Halleju, v psihiatrični bolnišnici, kjer je preživel zadnja leta svojega življenja.

George Cantor: biografija. Družina

9. avgusta 1874 se je nemški matematik poročil z Vali Gutmanom. Par je imel 4 sinove in 2 hčerke. Zadnji otrok se je rodil leta 1886 v novi hiši, ki jo je kupil Cantor. Za ohranitev družine mu je pomagal zapuščina njegovega očeta. Na zdravje Cantor je močno prizadel smrt svojega najmlajšega sina leta 1899 - od takrat ni bil depresiven.