Iracionalne številke: za kaj in za kaj se uporabljajo?

Katere so iracionalne številke? Zakaj so tako imenovani? Kje se uporabljajo in kaj so? Le malo lahko odgovori na ta vprašanja brez obotavljanja. Pravzaprav so odgovori na njih precej preprosti, čeprav niso vsi potrebni v zelo redkih situacijah

Bistvo in oznaka

Iracionalne številke so neskončne neperiodične decimalne frakcije. Potreba po uvedbi tega koncepta je posledica dejstva, da za reševanje novih nastajajočih problemov ni bilo dovolj obstoječih konceptov resničnega ali dejanskega, celoštevilnega, naravnega in racionalnega števila. Na primer, za izračun, po kvadratku katere vrednosti je 2, je treba uporabiti neperiodične neskončne decimalke. Poleg tega številne najpreprostejše enačbe tudi nimajo rešitve brez uvedbe koncepta iracionalnega števila.

Ta niz je označen kot I. In, kot je jasno, teh vrednosti ni mogoče predstaviti v obliki preproste frakcije, v števcu katerega je celo število in v imenovalec - naravno število.

Indijski matematiki so prvič v sedmem stoletju naleteli na ta pojav tako ali drugače BC, ko je bilo ugotovljeno, da kvadratnih korenin nekaterih količin ni mogoče jasno določiti. In prvi dokaz o obstoju takih števil se pripisuje pitagorejskemu Gippusu, ki je to storil v procesu preučevanja enakovrednega pravega trikotnika. Resen prispevek k preučevanju tega sklopa so prinesli nekateri drugi znanstveniki, ki so živeli pred našo dobo. Uvedba pojma iracionalnih števil je privedla do revizije obstoječega matematičnega sistema, zato so tako pomembni.

Poreklo imena

Če je razmerje pri prevajanju iz latinščine "frakcija", "razmerje", predpono "ir"
ta beseda daje nasprotni pomen. Tako ime nabora teh številk pomeni, da jih ni mogoče povezati z integernim ali delnim, imeti ločeno mesto. To izhaja iz njihovega bistva.

V splošni razvrstitvi

Neveljavna števila, skupaj z racionalnimi številkami, se nanašajo na skupino realnih ali realnih števil, ki se nato nanašajo na kompleksne. Ni podskupin, ampak razlikujemo med algebarsko in transcendentalno sorto, o kateri bomo razpravljali spodaj.

Lastnosti

Ker so iracionalne številke del množice realnih števil, veljajo vse njihove lastnosti, ki jih preučujemo v aritmetiki (ti se imenujejo tudi osnovni algebarski zakoni).

a + b = b + a (komutativnost);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativnost);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (obstoj nasprotnega števila);

ab = ba (pravo premikov);

(ab) c = a (bc) (distribucija);

a (b + c) = ab + ac (zakon o distribuciji);

a x 1 = a

x 1 / a = 1 (obstoj inverzne številke);

Primerjava poteka tudi v skladu s splošnimi zakoni in načeli:

Če a> b in b> c, potem a> c (tranzitivnost razmerja) in. in tako naprej.

Seveda se lahko vsa iracionalna števila spremenijo z uporabo osnovnih aritmetičnih operacij. V tem primeru ni posebnih pravil.

Poleg tega so iracionalne številke predmet dejanja Arhimedovega aksioma. Navaja, da za katerokoli dve količini a in b velja naslednja trditev: pri tem se kot zadostno število časov lahko presega b.

Uporabi

Kljub dejstvu, da se v običajnem življenju pogosto ne ukvarjate z njimi, iracionalne številke se ne obračunajo. Veliko jih je, vendar so skoraj nevidne. Obkroženi so z iracionalnimi številkami povsod. Primeri, znane vsem, - številko pi, ki so enake 3.1415926 ... ali e, je v bistvu osnova naravnih logaritmov, 2.718281828 ... V algebre, trigonometrije in geometrije morali, da jih uporabljajo ves čas. Mimogrede, slavni pomen "zlatega odseka", to je razmerje med večino in manjšo, in obratno, tudi se nanaša na ta niz. Manj znano "srebro" - preveč.

Na številčni liniji so zelo gosti, tako da se med poljubnimi količinami, ki se nanašajo na nabor racionalnih, najdejo nerazumno.

Do zdaj obstaja veliko nerešenih problemov, povezanih s tem nizom. Obstajajo merila kot merilo iracionalnosti in normalne številke. Matematiki še naprej raziskujejo najpomembnejše primere njihove pripadnosti določeni skupini. Na primer, se šteje, da je e normalno število, to pomeni, da je verjetnost pojavljanja različnih številk v njenem zapisu enaka. Kar se tiče pi, še vedno potekajo raziskave v zvezi z njim. Merilo iracionalnosti je količina, ki kaže na to, kako dobro je mogoče število približati z racionalnimi številkami.

Algebraično in transcendentalno

Kot smo že omenili, so iracionalne številke poljubno razdeljene na algebraične in transcendentalne. Pogojno, ker se strogo gledano ta razvrstitev uporablja za razdelitev množice C.

Pod to oznako so zapletene številke, ki vključujejo dejansko ali dejansko število.

Tako je algebarski izraz vrednost, ki je koren polinoma, ki ni enako nič. Na primer, kvadratni koren 2 bo pripadal tej kategoriji, saj je rešitev enačbe x² - 2 = 0.

Vse druge realne številke, ki ne izpolnjujejo tega pogoja, se imenujejo transcendentalne. Najbolj znani in že omenjeni primeri se nanašajo na to sorto - številko pi in bazo naravnega logaritma e.

Zanimivo je, da matematiki v tej vlogi prvotno niso izhajali niti enega niti drugega, njihova iracionalnost in transcendenca sta bila dokazana mnogo let po njihovem odkritju. Za pi dokaz je bil leta 1882 in poenostavljen leta 1894, s čimer se je končalo razpravo o problemu kvadrature kroga, ki je trajal 2,5 tisoč let. Še vedno ni v celoti razumljen, tako da imajo sodobni matematiki nekaj za delo. Mimogrede, prvi natančen izračun te vrednosti je naredil Archimedes. Pred njim so bili vsi izračuni preveč približni.

Za e (število Eulerjev ali Napierja) je bil dokaz o njegovi transcendenci ugotovljen leta 1873. Uporablja se pri reševanju logaritmičnih enačb.

Med drugimi primeri so sinusne, kosinusne in tangentne vrednosti za vse algebrajske θelne vrednosti.