Kako rešiti neenakosti? Kako rešiti delne in kvadratne neenakosti?

Koncept matematične neenakosti je nastal v skrajni antiki. To se je zgodilo, ko je primitivnemu človeku bilo treba primerjati in pomnoževati število in obseg števila in dejanj z različnimi predmeti. Od antičnih časov so Arhimedes, Euclid in druge slavne znanstvenike uporabili neenakosti v svojem razmišljanju: matematiki, astronomi, oblikovalci in filozofi.

Vendar pa so v svojih delih praviloma uporabljali verbalno terminologijo. Prvič so v Angliji prvič izumili in uporabili sodobne znake za pojme "več" in "manj", kot so danes znani vsakemu učencu. Matematik Thomas Garriott je takim službam priskrbel potomcem. In zgodilo se je pred štirimi stoletji.

Obstaja veliko vrst neenakosti. Med njimi so preproste, vsebujejo eno, dve ali več spremenljivk, kvadratne, delne, zapletene odnose in celo predstavljajo sistem izrazov. In da bi razumeli, kako rešiti neenakosti, je najbolje na različnih primerih.

Ne zamudite vlaka

Za začetek si predstavljamo, da prebivalec podeželja rusi do železniške postaje, ki se nahaja 20 km od svoje vasi. Ne da bi zamudil vlak, ki je odšel ob 11. uri, mora pravočasno zapustiti hišo. V kateri uri je to potrebno, če je hitrost njenega gibanja 5 km / h? Rešitev tega praktičnega problema je zmanjšana na izpolnjevanje ekspresijskih pogojev: 5 (11-X) ge-20, kjer je X čas odhoda.

To je razumljivo, saj je razdalja, ki jo mora kmeta premagati na postaji, enaka hitrosti gibanja, pomnoženi s številom ur na cesti. Moški lahko pride prej, vendar ne more zamuditi. Poznamo, kako rešiti neenakosti in uporabiti svoje spretnosti v praksi, sčasoma dobimo X le-7, kar je odgovor. To pomeni, da bi kmet moral iti na železniško postajo sedem zjutraj ali malo prej.

Število vrzeli na koordinatni črti

Zdaj pa ugotovimo, kako na opisane odnose preslikati koordinatna črta. Zgoraj navedena neenakost ni stroga. To pomeni, da lahko spremenljivka sprejme vrednosti manj kot 7 in je lahko enaka tej številki. Podajamo druge primere. Če želite to narediti, pazljivo preberite štiri številke spodaj.

Na prvem od njih si lahko ogledate grafično predstavitev intervala [-7-7]. Sestavljen je iz množice števil, ki se nahajajo na koordinatni črti in se nahajajo med -7 in 7, vključno z mejami. V tem primeru so točke na grafu predstavljene v obliki zapolnjenih krogov, in vrzel se zabeleži z uporabo kvadratni oklepaj.

Druga slika je grafična predstavitev stroge neenakosti. V tem primeru se številke številk -7 in 7, prikazane s punktiranimi (ne senčenimi) točkami, ne vključijo v določeni niz. In zapis o sami vrzeli je v oklepaju na naslednji način: (-7-7).

To pomeni, da ugotovite, kako rešiti neravenstvatakogo vrsto, in je prejela ta odgovor, lahko sklepamo, da je sestavljena iz številk, ki se nahajajo med temi mejami, poleg -7 in 7. naslednjih dveh primerih je treba presojati na enak način. Na slikah Slike tretji vrzeli (-infin-- -7] U [7- + infin-), in četrti - (-infin-- -7) U (7- + infin-).

Dva izraza v enem

Pogosto lahko najdete naslednji vnos: 7 < 2X - 3 < 12. Kako rešiti dvojne neenakosti? To pomeni, da sta na izrazu takoj nadgrajena dva pogoja. In vsak od njih je treba upoštevati, da bi dobili pravilen odgovor za spremenljivko X. Ob upoštevanju tega, iz odnosov 2X-3> 7 in 2X-3 < 11 naslednje:

5 < X < 7. Končni odgovor je napisan na ta način: (5-7). To pomeni, da spremenljivka zajema niz vrednosti, zajetih v vrzeli med številkami 5 in 7, razen meja.

Podobne lastnosti z enačbo

Enačba je izraz, združen z znakom =, kar pomeni, da sta obe deli (levo in desno) enaka po velikosti. Zato so pogosto ti odnosi povezani s podobo starih lestvic, s posodami, ki so nameščene in pritrjene s pomočjo vzvoda. Ta naprava je vedno v ravnotežju, če sta oba konca uravnotešena glede na težo. V tem primeru se položaj ne spremeni, če se levi in ​​desni deli dopolnijo ali izgubijo obremenitve iste mase.

V matematični enačbi, na oba dela enačbe, tako da se ne zlomi, lahko dodate isto številko. V tem primeru je lahko pozitiven ali negativen. Kako rešiti neenakosti v tem primeru in ali lahko storite enako z njimi? Prejšnji primeri so pokazali, da da.

Razlika od enačbe

Oba dela izraza, povezana z znaki < ali>, se lahko pomnoži in deli s poljubnim pozitivnim številom. V tem primeru resnica razmerja ni kršena. Toda kako rešiti neenakost z frakcijami z negativnimi in celoštevilnimi množitelji, pred katerimi je znak minus? Tukaj je situacija popolnoma drugačna.

Oglejmo si ta primer: -3X < 12. Če želite na levi strani izbrati spremenljivko, jih morate razdeliti za -3. V tem primeru se znak neenakosti obrne. Dobimo: X> -4, kar je odgovor na težavo.

Metoda intervalov

Za neenakost velja, da je kvadratna, če vsebuje spremenljivko, ki se dvigne na drugo moč. Primer takega razmerja je naslednji izraz: X² - 2X + 3> 0. Kako rešiti kvadratne neenakosti? Najbolj primerna metoda je intervalna metoda. Za izvedbo tega je treba levo stran razmerja razčleniti. Izkazalo se je: (X - 3) (X + 1). Nato je priporočljivo najti ničle funkcije in razporediti nastale točke v pravilnem vrstnem redu na koordinatni črti.

Nato morate razdeliti znake za posledične intervale, tako da v izrazu zamenjate poljubno število, ki pripada določenemu intervalu. V preprostih primerih je običajno dovolj, da razumete vsaj eno od njih, in preostalo - uredite po pravilih izmenjav. Na koncu je še vedno treba izbrati ustrezne intervale, da bi dobili končno rešitev.

Kvadratne neenakosti tukaj spoštujejo zakon korespondence negativnih območij z minusi, pozitivni pa za pluse. To pomeni, da če je izraz večji od nič, moramo vzeti številčna območja, označena z znakom +. V nasprotnem primeru bo rešitev razrezana z -. Tako je rešitev naše neenakosti zapisana kot (-infin-1) U (3- + infin-).

Drugi primeri uporabe intervalne metode

Opisana metoda daje odgovor na drugo pomembno vprašanje: kako rešiti delne neenakosti, če je v tem primeru zelo uporabna ista metoda intervalov? Podrobneje razmislimo o tem, kako to lahko storimo z uporabo primera spodaj predstavljenega razmerja.

Tu so ničle funkcije točke -9 in 4. Če želite najti rešitev, jih je treba postaviti na koordinatno črto in določiti znake intervalov, pri čemer izberite tiste od njih, ki bodo označeni s znakom plus. Opozoriti je treba, da se izpolni le številka 4.

Druga točka bo izbrisana, saj -9 ni vključen v obseg vrednosti, ki so sprejemljive. Navsezadnje je imenovalec nič, kar v matematiki ni mogoče. Kako rešiti delne neenakosti? V tem primeru je končni odgovor združitev vrzeli: (-infin-- -9) U [4- + infin-).

Parabole na grafu

Če želite izvedeti vse o neenakosti, pogosto ne pomagajo le risbe na koordinatni črti, temveč tudi slike v kartezijanski ravnini. Znano je, da je graf kvadratne odvisnosti parabola. Tudi shematska risba te vrste lahko zagotovi skoraj popolne odgovore na postavljena vprašanja. Menimo, da nekatere vrste parabolov dajejo ideje o rešitvi kvadratnih neenakosti.

Tukaj bomo najprej razjasnili nekatere resnice zase. Kakršen koli izraz te vrste je zmanjšan na obliko: ax² + V tem primeru se, če se izkaže, da je koeficient a pozitiven, potem je treba parabolo potegniti z vejami navzgor, v nasprotnem primeru - navzdol. In korenine enačbe so točke, kjer se graf funkcije preseže os OX.

Razlaga

Poznavanje zgornjih izjav je zelo pomembno za razumevanje kvadratnih neenakosti in odgovore na vprašanja, povezana z njimi. Potem, ko je parabolska shema potegnila na kartezijansko ravnino, je treba ugotoviti, kdaj točko (tj. Vrednosti koordinat točk na osi OY) zajemajo + in - indeksi. Poleg tega, če neenakost vsebuje znak>, bo njegova rešitev skupek vrednosti, ki jih sprejme spremenljivka X za pozitivno Y.

V primeru znaka < v odgovoru so indeksi za X podani z negativnim Y. Zdi se, da parabola sploh ne preseže osi OX. To se zgodi v primerih, ko A < 0. Potem, če je graf v zgornji polovični ravnini, je odgovor za kvadratno neenakost z znakom interval (-infin-- + infin-). In za < rešitev je prazna. Pri spodnji polovični ravnini je to v primeru natančnosti in obratno.

O prednosti grafike

Slike na kartezijanski ravnini močno poenostavljajo problem za sisteme enačb. Številke jasno kažejo rešitve, ki so točke presečišča uporabljenih črt. Ostanek le izračunava njihove koordinate in napiše odgovor.

Enako velja za neenakosti. Na primer, rešitev y le-6-x (kot je razvidno iz slike) je ravna črta y = 6-x, pa tudi polovica, ki se nahaja pod to mejo. Za natančen odgovor lahko na grafu vzamete katerokoli točko (na primer (1-3) in nadomestite njene koordinate v neenakosti. le-6 - 1, to je pravilno razmerje. Zato je zgornje razmišljanje resnično.

Neenakost v ge-x² opisuje območje na kartezijanski ravnini, ki se nahaja v skledi parabole, vključno z njenimi mejami. Na presečišču teh sektorjev lahko najdemo rešitev razmerja, zapisane v obliki: x² le le-6-x. Od spodaj bo omejena s črto parabole in oddaljena od zgoraj z ravno črto. Seveda bomo ponovno opravili preverjanje in nadomestili koordinate katere koli točke, ki pripada tej regiji.

Vzemi (1-4). Pridobi: 1 le-4 le-6 - 1, to je spet pravilno razmerje. Spet je smiselno poudariti, da imajo neenakosti veliko podobnosti z enačbami, čeprav imajo velike razlike.