Kako dokazati, da se zaporedje konvergira? Osnovne lastnosti konvergentnih sekvenc

Za mnoge ljudi je matematična analiza zgolj zbirka nerazumljivih številk, značk in definicij, daleč od resničnega življenja. Vendar pa je svet, v katerem obstajamo, zgrajen na numeričnih vzorcih, katerih prepoznavanje pomaga ne samo poznati okoliškega sveta in rešiti njene zapletene težave, ampak tudi poenostaviti vsakdanje praktične naloge. Kaj pomeni matematik, ko pravi, da se numerično zaporedje konvergira? To bi bilo treba podrobneje obravnavati.

Kaj je neskončno manjše?

Predstavljajte si matryoshkas, ki jih postavite v drugo. Njihove dimenzije, napisane v obliki številk, ki se začnejo z večjim in končajo z manjšimi od njih, tvorijo zaporedje. Če si predstavljate neskončno število takšnih svetlih številk, bo rezultanta serije fantastično dolga. To je konvergentno numerično zaporedje. In se nagiba k nič, saj se velikost vsake kasnejše gneče, ki se katastrofalno zmanjšuje, postopoma spremeni v nič. Tako je enostavno pojasniti: kaj je neskončno majhna.

Podoben primer je lahko cesta, ki se razteza na razdaljo. In vizualne dimenzije avtomobila, ki se po opazovalki gibljejo po njej, postopoma krčijo, postanejo brezkompromisni delci, ki spominja na točko. Tako se stroj, kot predmet, odmakne v neznani smeri, postane neskončno majhen. Parametri tega telesa v dobesednem pomenu besede nikoli ne bodo ničli, temveč se vedno sklicujejo na to vrednost v končni meji. Zato se to zaporedje ponovno konvergira na nič.

Vse izračunamo s padcem

Predstavljajte si zdaj svetovno situacijo. Zdravnik je predpisal, da vzame zdravilo, začenši z desetimi kapljicami na dan in z dodatkom dveh v vsakem naslednjem dnevu. Tako je zdravnik predlagal, da nadaljuje do vsebine zdravila mehurček, katerega prostornina je 190 kapljic, zmanjka. Iz zgoraj navedenega sledi, da bo število takšnih, poslikanih v dnevih, sestavljalo naslednjo serijo številk: 10, 12, 14 in tako naprej.

Kako ugotoviti čas celotnega tečaja in število članov zaporedja? Tu seveda lahko primitivno štejete kapljice. Vendar je ob upoštevanju pravilnosti lažje, če uporabimo formulo vsote aritmetične progresije s korakom d = 2. Z uporabo takšne metode je jasno, da je število izrazov številčnih nizov 10. V tem primeru je₁₀ = 28. Število članov označuje število dni zdravljenja in 28 ustreza številu kapljic, ki jih mora bolnik porabiti zadnji dan. Ali se to zaporedje konvergira? Ne, ker kljub dejstvu, da je omejena od spodaj z 10 in od zgoraj - 28, takšna numerična serija nima nobene omejitve, za razliko od prejšnjih primerov.

Kakšna je razlika?

Naj zdaj poskušamo razjasniti: ko se numerična serija izkaže za konvergentno zaporedje. Takšna opredelitev, kot se lahko zaključi iz zgoraj navedenega, je neposredno povezana s pojmom omejene meje, katere prisotnost razkriva bistvo vprašanja. Torej, kakšna je temeljna razlika med prej omenjenimi primeri? In zakaj v slednjem od njih številka 28 ni mogoče šteti za mejo številčne vrste X_n = 10 + 2 (n-1)?

Če želite pojasniti to vprašanje, razmislite o drugem zaporedju, ki je podana v spodnji formuli, kjer n pripada množini naravnih števil.

Ta skupnost članov je niz navadnih frakcij, katerih števec je 1, in imenovalec nenehno narašča: 1, frac12- ...

Poleg tega se vsak zaporedni predstavnik te serije na lokaciji na številčni liniji vedno bolj približa 0. In to pomeni, da obstaja soseska, kjer so točke dolgočasene okoli nič, kar je meja. In čim bližje so, postane njihova koncentracija na številčni liniji bližje. Razdalja med njimi se dramatično zmanjša in postane neskončno manjša. To je znak, da se zaporedje konvergira.

Podobno so barvni pravokotniki, prikazani na sliki, ko so odstranjeni v vesolju, vizualno bolj zapleteni, v hipotetični meji postane zanemarljiv.

Beskonačno velike sekvence

Po analizi definicije konvergentnega zaporedja se zdaj obrnemo na nasprotne primere. Mnogi od njih so bili znani človeka od davnih časov. Najenostavnejše različice različnih odsekov so serija naravnih in parnih števil. Na drug način se imenujejo neskončno velike, saj se njihovi člani, ki nenehno naraščajo, vedno bolj približujejo pozitivni neskončnosti.

Takšni primeri so lahko tudi aritmetična in geometrijska napredovanja s stopnjo in imenovalec, ki je večja od nič. Različne sekvence so poleg tega številčne serije, ki nimajo nikakršne omejitve. Na primer, X_n= (-2)^n-1.

Fibonacci zaporedje

Praktična uporaba že omenjenih številskih serij za človeštvo je nesporna. Ampak obstaja še veliko drugih čudovitih primerov. Eden od njih je Fibonačijev sekvenca. Vsak njegov član, ki se začne z enoto, je vsota prejšnjih. Prva dva predstavnika sta 1 in 1. Tretji 1 + 1 = 2, četrti 1 + 2 = 3, peti 2 + 3 = 5. Nadalje, po isti logiki sledijo številke 8, 13, 21 in tako naprej.

To število se poveča brez omejitev in nima končne omejitve. Ampak ima še eno izjemno lastnost. Razmerje vsak na naslednjo številko prejšnje čedalje bolj približati svojo vrednost 0, 618. To je mogoče pojasniti razliko med podobnih in različnih zaporedjih, saj bo, če je število pisati dobljenega količniku, je dejal številski sistem imajo končno mejo, ki je enaka 0,618.

Zaporedje koeficientov Fibonacci

Zgornja številčna serija se v praksi uporablja za tehnično analizo trgov. Toda to ni omejeno na njegove zmožnosti, ki so jih Egipčani in Grki v preteklosti vedeli in jih lahko uporabili v praksi. To dokazujejo piramide in Parthenon, ki so jih zgradili. Dejansko je številka 0, 618 konstanten koeficient znane stare zlate dobe. V skladu s tem pravilnikom lahko poljubno poljubno razdelimo tako, da bo razmerje med njegovimi deli sovpadlo z razmerjem med večjim segmentom in celotno dolžino.

Gradimo številne od teh odnosov in poskušamo analizirati to zaporedje. Številčna serija dobimo takole: 1- 0,5-0,67-0,6-0,625-0,615-0,619 ipd. Nadaljevali smo tako, da zagotovimo, da je meja konvergentnega zaporedja 0,618. Vendar pa je treba opozoriti na druge lastnosti tega vzorca. Zdi se, da se številke razširijo in sploh ne v vrstnem redu povečanja ali zmanjševanja. To pomeni, da to konvergentno zaporedje ni monotono. O tem, zakaj je to pot naprej.

Monotonija in omejitev

Člani numerične vrste s povečanjem števila se lahko očitno zmanjšajo (če je x₁x₂x₃hellip-> x_nhellip-) ali povečati (če je x₁₂₃n1ge-x₂ge-x₃ge-hellip-ge-x_nge-hellip- ali x₁le-x₂le-x₃le-hellip-le-x_nle-hellip-), potem je konvergentna sekvenca tudi monotona, vendar ne v strogem pomenu. Dober primer prve od teh možnosti je numerična serija, ki jo podaja naslednja formula.

Ko zapišete številke določene serije, lahko opazite, da kateri koli njegov član, ki se približuje 1 brez omejitve, ne bo nikoli presegel te vrednosti. V tem primeru govorimo o omejenosti konvergentnega zaporedja. To se zgodi vsakič, ko je pozitivno število M, ki je vedno večje od poljubnih izrazov serije v absolutni vrednosti. Če ima numerična serija monotonost in ima mejno vrednost in zato konvergira, potem nujno ima to lastnost. In obratno ni nujno, da je res. To označuje izrek o omejenosti konvergentnega zaporedja.

Uporaba takšnih opazovanj v praksi je zelo koristna. Konkretni primer podajamo s preučevanjem lastnosti zaporedja X_n = n / n + 1 in dokazati njeno konvergenco. Dejstvo, da je monotonično, je enostavno prikazati, ker (x_n+1 - x_n) je pozitivno število za katere koli vrednosti n. Meja zaporedja je enaka številu 1, kar pomeni, da so izpolnjeni vsi pogoji iz zgornje izreke, imenovane tudi teoreme Weierstrassa. Izrek o omejenosti konvergentnega zaporedja trdi, da če ima omejitev, potem je v vsakem primeru omejen. Vendar pa podajamo naslednji primer. Številka serije X_n = (-1)ⁿ je omejena od spodaj za -1 in od zgoraj 1. Toda to zaporedje ni monotono, nima meje in zato ne konvergira. To pomeni, da omejenost ne pomeni vedno obstoja meje in konvergence. Da bi to naredili, je treba ujemati spodnjo in zgornjo mejo, kot v primeru koeficientov Fibonacci.

Številke in zakoni vesolja

Najenostavnejše različice konvergentnega in divergentnega zaporedja so morda numerična množica X_n = n in X_n = 1 / n. Prvi od teh je naravni niz številk. To je, kot je bilo že omenjeno, neskončno veliko. Drugo konvergentno zaporedje je omejeno in njegovi izrazi v velikosti se približujejo neskončno manjšim. Vsaka od teh formul olajša eno od strani večstranskega vesolja, pomaga osebi v jeziku številk in znakov, da si predstavljajo in izračunajo nekaj nepoznavega, nedostopnega za omejeno percepcijo.

Zakoni vesolja, od zanemarljiv in konča z neverjetno veliko, prav tako izraža zlato razmerje 0,618. Znanstveniki verjamejo, da je postavljena v temelju bistva stvari in jo narava uporablja za oblikovanje njegovih delov. Že bilo omenjeno razmerje med poznejšimi in prejšnjih članov serije Fibonaccijevega, ne dokončati ta predstavitev neverjetno lastnosti tega edinstvenega serije. Če menimo, da je količnik prejšnjega člana v naknadno po eno, dobimo število med 0,5 in 0, 33 0.4- 0,375- 0,384- 0,380- 0,382 in tako naprej. Zanimivo je, da je ta omejen zaporedje konvergira, da ni monotono, vendar je odnos nekaterih članov skrajnih sosednjih številk vedno izkaže, da je približno 0382, ki se lahko uporablja tudi v arhitekturi, tehnične analize in drugih industrijah.

Obstajajo še drugi zanimivi koeficienti serije Fibonacci, vsi imajo v naravi posebno vlogo in jih uporabljajo tudi za praktične namene. Matematiki so prepričani, da se vesolje razvije glede na nekakšno "zlato spiralo", ki se oblikuje iz teh koeficientov. Z njihovo pomočjo je mogoče izračunati številne pojave, ki se pojavljajo na Zemlji in v vesolju, začenši z rastjo števila določenih bakterij in koncem s premikanjem daljnih kometov. Podobna koda se obnavlja, kot se izkaže, kodo DNA.

Padajoče geometrijsko napredovanje

Obstaja izrek, ki potrjuje edinstvenost meje konvergentnega zaporedja. To pomeni, da ne more imeti dveh ali več omejitev, kar je nedvomno pomembno za iskanje njenih matematičnih značilnosti.

Vzemimo nekaj primerov. Vsaka serija številk, sestavljena iz članov aritmetične progresije, se razlikuje, razen v primeru z ničlo. Enako velja za geometrijsko napredovanje, katerega imenovalec je večji od 1. Meje takšne numerične vrste so "plus" ali "minus" neskončnosti. Če je imenovalec manjši od -1, sploh ni nobene omejitve. Obstajajo še druge možnosti.

Razmislimo o številčnem nizu, ki je podan s formulo X_n = (1/4)^n-1. Na prvi pogled je razumljivo, da je to konvergentno zaporedje omejeno, ker se strogo zmanjšuje in nikakor ne more prevzeti negativnih vrednosti.

Zapišite si določeno število svojih izrazov zaporedoma.

Izkazalo se je: 1 - 0,25 - 0,0625 - 0,015625 - 0,00390625 in tako naprej. To je dovolj preprostih izračunov, da bi razumeli, kako hitro je določeno geometrijsko napredovanje od imenovalcev 0<1 уменьшается. В то время как знаменатель членов неограниченно возрастает, сами они превращаются в бесконечно малое. Это значит, что предел числового ряда равен 0. Данный пример ещё раз демонстрирует ограниченность сходящейся последовательности.

Temeljne zaporedja

Auguste Louis Cauchy, francoski znanstvenik, je svetu pokazal številna dela, povezana z matematično analizo. Določal je definicije takim pojmom, kot so diferencialni, integralni, mejni in kontinuiteti. Raziskoval je tudi osnovne lastnosti konvergentnih sekvenc. Da bi razumeli bistvo njegovih idej, je treba posplošiti nekaj pomembnih podrobnosti.

Na samem začetku članka je bilo razvidno, da obstajajo zaporedja, za katera obstaja soseska, kjer se točke, ki predstavljajo člane določene serije na številčni liniji, začnejo zatekati navzdol, obložiti vse gostejše. Hkrati se razdalja med njimi poveča, saj se število naslednjega predstavnika povečuje, postaja neskončno majhno. Tako se izkaže, da je neskončno število predstavnikov določene serije združenih v določeni soseski, medtem ko je število predstavnikov določene serije omejeno. Take sekvence imenujemo temeljne.

Znani Cauchyjev kriterij, ki ga je ustvaril francoski matematik, nedvoumno kaže, da obstoj take lastnosti zadošča za dokazovanje, da se zaporedje konvergira. Pogovor je tudi res.

Treba je opozoriti, da je ta zaključek francoskega matematike večinoma izključno teoretični interes. Njegova uporaba v praksi se šteje precej zapletena, zato je za določitev konvergence serij mnogo pomembnejša dokazati obstoj zaporedja končnih omejitev. V nasprotnem primeru se šteje, da se razlikujejo.

Pri reševanju problemov je treba upoštevati tudi osnovne lastnosti konvergentnih zaporedij. Predstavljeni so spodaj.

Beskonačne vsote

Tako znani znanstveniki iz antike, kot sta Archimedes, Euclid, Eudoxus, so uporabili vsote neskončnih numeričnih serij za izračun dolžin krivulj, volumna telesa in površine številk. Še posebej je bilo tako, da smo uspeli ugotoviti območje paraboličnega segmenta. V ta namen smo uporabili vsoto numerične vrste geometrijske progresije s q = 1/4. Na podoben način so obstajali prostori in področja drugih poljubnih oblik. Ta možnost je bila imenovana metoda "izčrpanosti". Ideja je bila, da je bil preučevani kompleks v obliki telesa razdeljen na dele, ki so bili podatki z enostavno merljivimi parametri. Iz tega razloga ni bilo težko izračunati svojih površin in količin, nato pa so se oblikovale.

Mimogrede, podobne naloge sodobnim šolarjem zelo dobro poznajo in jih najdemo v nalogah USE. Edinstven način, ki ga najdemo daleč predniki, je danes najpreprostejša različica rešitve. Tudi če so deli, na katere je numerična številka razdeljena, le dva ali tri, dodajanje njihovih površin še vedno predstavlja vsoto serije številk.

Veliko kasneje sta starodavni grški znanstveniki Leibniz in Newton na podlagi izkušenj mudrih predhodnikov naučili zakone integralnega izračuna. Poznavanje lastnosti zaporedij jim je pomagalo rešiti diferencialne in algebrske enačbe. Trenutno je teorija serij, ustvarjenih s prizadevanji mnogih generacij nadarjenih znanstvenikov, priložnost za reševanje ogromnega števila matematičnih in praktičnih problemov. In študija numeričnih zaporedij je glavna naloga, ki jo matematična analiza reši že od trenutka nastanka.