Diagonalo enakostranskega trapeza. Kakšna je povprečna linija trapeza. Vrste trapezija. Trapeza je ..

Trapezoid je poseben primer štirikotnika, v katerem je par par strani vzporeden. Izraz "trapezoid" izhaja iz grške besede tau-rho-ppi-epsilon-zeta-alfa-, kar pomeni "tabela", "tabela". V tem članku bomo upoštevali vrste trapezija in njegove lastnosti. Poleg tega bomo ugotovili, kako izračunati posamezne elemente tega geometrijska številka. Na primer, diagonala enakostraničnega trapeza, srednji linije, površine in druge. Gradivo vsebuje osnovne geometrije priljubljeno slog, t. E. V enostavno dostopen način.

Splošne informacije

Prvič, poglejmo, kaj je štirikotnik. Ta številka je poseben primer mnogokotnika, ki vsebuje štiri strani in štiri tocke. Dve verige četverca, ki niso sosednje, se imenujejo nasprotne točke. Enako lahko rečemo o dveh nespremenjenih straneh. Glavne vrste štirikolesnikov so paralelogram, pravokotnik, romb, kvadrat, trapezoid in dež.

Torej, nazaj na trapezoid. Kot smo že povedali, ima ta številka vzporedno dve strani. Imenujejo se baze. Druga dva (ne-vzporedna) sta stran. V gradivih pregledov in različnih kontrolnih dokumentih je zelo pogosto mogoče zadostiti nalogam, povezanim s trapezoidi, katerih reševanje pogosto zahteva, da ima študent znanje, ki ga program ne zagotavlja. Šolski tečaj geometrije uvaja študente na lastnosti kotov in diagonal ter srednjo črto enakopravnega trapezija. Ampak navsezadnje ima omenjena geometrijska slika še druge značilnosti. Ampak o njih kasneje ...

Vrste trapezoidov

Obstaja veliko vrst te številke. Vendar pa sta dva od njih ponavadi obravnavana kot ravnotežna in pravokotna.

1. Pravokotni trapezoid je številka, v kateri je ena od stranic pravokotna na podlage. Ima dva kota vedno enako devetdeset stopinj.

2. Izebelezni trapez je geometrijska številka, pri kateri so stranice enake. Torej so koti v bazah prav tako enaki v parih.

Glavna načela tehnike proučevanja lastnosti trapezije

Glavno načelo je uporaba ti problemskega pristopa. Pravzaprav ni potrebe po uvajanju novih lastnosti te številke v teoretično geometrijsko smer. Odprta in formulirana jih je v procesu reševanja različnih problemov (boljših sistemskih). Hkrati je zelo pomembno, da učitelj ve, katere naloge je treba dati šolarjem v enem ali drugem trenutku izobraževalnega procesa. Poleg tega je vsaka trapezijska lastnost lahko predstavljena kot ključna naloga v sistemu nalog.

Drugo načelo je tako imenovana spiralna organizacija, ki preučuje "izjemne" značilnosti trapezije. To pomeni vrnitev v učni proces do posameznih značilnosti določene geometrijske figure. Tako je študentje lažje zapomniti. Na primer, lastnost štirih točk. To se lahko dokaže tako pri študiji podobnosti kot kasneje s pomočjo vektorjev. A Enake trikotniki, ki mejijo na straneh sliki, je možno dokazati z uporabo ne le lastnosti trikotnikov z enakimi višinami, izvedenih na stene, ki ležijo na premici, temveč tudi z naslednjo enačbo S = 1/2 (ab * sinalpha-). Poleg tega je mogoče izrabiti sinusov izrek na vpisanem trapezoidnem ali pravokotnem trikotniku na opisanem trapezu in tako naprej.

Uporaba "zunajprogramskih" značilnosti geometrijske figure v vsebini šolanja je naloga usmerjena tehnologija za njihovo poučevanje. Stalen poziv na preučevane lastnosti med prepletanjem drugih tem omogoča študentom, da bolje razumejo trapezoid in zagotovijo uspeh rešitve nalog. Torej, začnimo študirati to izjemno sliko.

Elementi in lastnosti enakopravnega trapezija

Kot smo že omenili, so v tej geometrijski sliki stranice enake. Pravi je tudi kot pravi trapez. In zakaj je tako neverjetno in zakaj je dobil tako ime? Posebnosti te številke so, da niso le enake stranice in koti baz, temveč tudi diagonale. Poleg tega je vsota kotov enakopravnega trapeza 360 stopinj. Ampak to ni vse! Od vseh znanih trapezoidov je mogoče samo okrog nekdanjega okroglega opisati krog. To je posledica dejstva, da je vsota nasprotnih kotov v tej sliki 180 stopinj, in samo v takem stanju je mogoče prikazati v kroga okrog štirikotnika. Naslednje lastnosti geometrijskega lika je, da je razdalja od vrha baze v projekciji nasprotnega vrhov na liniji, ki vsebuje ta baza bo enaka vzdolžne osi.

In zdaj ugotovimo, kako najti vogale izjednačenega trapeza. Razmislite o rešitvi te težave, pod pogojem, da so dimenzije strani slike znane.

Rešitev

Običajno je štirikotnik običajno označen s črki A, B, C, D, kjer sta BS in AD osnove. V enakopravnem trapezu so stranice enake. Predpostavljamo, da je njihova velikost enaka X, velikosti baz pa so enake Y in Z (manjša in večja). Za izraćun je treba iz kota B narisati viśino H. Zato imamo pravokotni trikotnik ABN, pri ćemer je AB hipotenuza, BN in AN sta nogi. Izračunamo velikost AN: iz večje osnove odštejemo manjši in delimo rezultat z 2. Pišemo v obliki formule: (Z-Y) / 2 = F. Za izračun akutnega kota trikotnika uporabljamo funkcijo cos. Dobimo naslednji vnos: cos (beta-) = X / F. Zdaj izračunajte kot: beta- = arcos (X / F). Poleg tega, če poznamo en kotiček, lahko določimo drugo, za to pa izdelamo elementarno aritmetično akcijo: 180 - beta-. Vsi koti so definirani.

Obstaja tudi druga rešitev tega problema. V začetku spustimo višino H iz kota B. Izračunamo vrednost BN katode. Vemo, da je kvadrat hipotenuse pravega trikotnika enak vsoti kvadratov nog. Dobimo: BN = radik- (X2-F2). Nato uporabimo trigonometrično funkcijo tg. Posledično imamo: beta- = arctg (BN / F). Ugotovljen je akutni kot. Nato določimo teptični kot, ki je podoben prvi metodi.

Lastnost diagonalov izjedelnega trapeza

Najprej napišemo štiri pravila. Če so diagonale v enakopravnem trapezu pravokotne, potem:

- Višina slike bo enaka vsoti baz, razdeljenih z dvema;

- njena višina in srednja črta sta enaka;

- območje trapeza bo enak kvadratu višine (srednja črta, polovica vsote baz);

- kvadrat diagonala je enak polovici kvadratka vsote baz ali dvakratnega kvadrata srednje črte (višina).

Zdaj upoštevajte formule, ki določajo diagonalo enakostranskega trapezija. Ta blok informacij lahko razdelimo na štiri dele:

1. Formula za dolžino diagonale čez njene strani.

Predpostavimo, da je A spodnja baza, B je vrh, C je enakih strani in D je diagonala. V tem primeru se dolžina lahko določi na naslednji način:

D = radik- (C2 + A * B).

2. Formula za dolžino diagonale s kosinusnim izrekom.

Predpostavimo, da je A spodnja baza, B je vrh, C je enakih strani, D je diagonalna, alfa- (na spodnjem delu) in beta- (v bližini zgornje podlage) - vogali trapezoida. Dobimo naslednje formule, s pomočjo katerih lahko izračunamo dolžino diagonale:

- D = radik- (A2 + C2-2A * C * cosalpha-);

- D = radik- (A2 + C2-2A * C * cosbeta-);

- D = radik- (B2 + C2-2B * C * cosbeta-);

- D = radik- (B2 + C2-2B * C * cosalpha-).

3. Formula za dolžino diagonalov enakopravnega trapezoida.

Predpostavimo, da je A spodnja baza, B je vrh, D je diagonala, M je srednja linija, H je višina, P je območje trapezije, alfa- in beta- so koti med diagonali. Določite dolžino naslednjih formul:

- D = radik- (M2 + H2);

- D = radik- (H2 + (A + B) 2/4);

- D = radik- (H (A + B) / sinalpha-) = radik- (2P / sinalpha-) = radik- (2M * H / sinalpha-).

V tem primeru je enakost sinalpha- = sinbeta-.

4. Formule dolžine diagonale skozi stranice in višino.

Predpostavimo, da je A spodnja baza, B je vrh, C je stran, D je diagonala, H je višina, alfa-je kot v spodnji bazi.

Določite dolžino naslednjih formul:

- D = radik- (H2 + (A-P * ctgalpha-) 2);

- D = radik- (H2 + (B + P * ctgalpha-) 2);

- D = radik- (A2 + C2-2A * radik- (C2-H2)).

Elementi in lastnosti pravokotnega trapeza

Oglejmo si, kaj je zanimivo za to geometrijsko sliko. Kot smo že povedali, pravokotni trapez ima dva pravega kota.

Poleg klasične definicije obstajajo še druge. Na primer, pravokotni trapez je trapezoid, v katerem je ena stran pravokotna na podlage. Ali pa stran s pravim kotom. V tej vrsti trapezije je višina enaka bočni strani, ki je pravokotna na baze. Sredina je segment, ki povezuje sredino obeh stranic. Lastnost omenjenega elementa je, da je vzporedna z bazami in je enaka polovici vsote.

Zdaj si oglejmo osnovne formule, ki opredeljujejo to geometrijsko sliko. V ta namen predpostavljamo, da sta A in B podlage-C (pravokotno na baze) in D-stranice pravokotnega trapezoida, M srednja črta, alfa- je akutni kot, in Π je območje.

1. Stran, pravokotna na podlage, je enaka višini slike (C = H) in je enaka produktu dolžine druge strani D in sinusu kota alfa- za večjo bazo (C = D * sinalpha-). Poleg tega je enak produktu tangente akutnega kota alfa in bazna razlika: C = (A-B) * tgalpha-.

2. Stranska D (ne pravokotno na osnovo) enako količniku razliko A in B in kosinusa (alfa-) akutno obliko trupa ali zasebni višine H in sinusni ostri kot: A = (A-B) / cos alfa- = C / sinalpha-.

3. Stranska ki je pravokotna na podlagah, je enaka kvadratnemu korenu kvadrata razliki D - druga stran - in kvadratno osnovo razlike:

C = radik- (A2- (AB) 2).

4. Stran D pravokotnega trapeza je enaka kvadratnemu korenu vsote kvadrata strani C in kvadrat razlike v osnovah geometrijske slike: A = radik- (C2 + (AB) 2).

5. Stran C je enaka kvocientu deljenja dvojne površine z vsoto njegovih baz: C = P / M = 2P / (A + B).

6. površina definirana z M izdelka (središčnica pravokotnega trapeza) v višini ali stranski smeri pravokotno na podlag: P = M * N = M * C.

7. Položaj C je kvocient dvakratne kvadratne oblike s produktom nujen oster kot in vsoto njegovih baz: C = P / P * sinalpha- = 2P / ((A + B) * sinalpha-).

8. Formule bočne strani pravokotnega trapezija skozi njegove diagonale in kot med njimi:

- sinalpha- = sinbeta-;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinalpha- = (D1 * D2 / (A + B)) * sinbeta-,

kjer sta D1 in D2 diagonali trapez- alfa- in beta - koti med njimi.

9. Formula strani pod kotom na spodnjo osnovo in drugi je: A = (A-B) / cosalpha- = C / sinalpha- = H / sinalpha-.

Ker je trapezoid s pravim kotom poseben primer trapezoida, bodo preostale formule, ki določajo te številke, ustrezale tudi pravokotni.

Vpisane lastnosti kroga

Če pogoj navaja, da je krog vpisan v pravokotni trapezoid, lahko uporabite naslednje lastnosti:

- vsota baz je enaka vsoti stranskih stranic;

- Razdalja od vrha pravokotne figure do točk tangenciala vpisanega kroga je vedno enaka;

- Višina trapeza je enaka bočni strani, pravokotni na baze, in je enaka premer kroga;

- Središče kroga je točka, na kateri je bisectors kotov;

- če je bočna stran deljena s točko tangencialov na segmente H in M, potem polmer kroga je enak kvadratnemu korenu proizvoda teh segmentov;

- četverokotnik, ki je bil tvorjen s tangencialnimi točkami, je veriga trapeza in središče vpisanega kroga kvadrat, katerega stran je enaka polmeru;

- površina slike je enaka produktu baze in produktu polovice vsote baz glede na višino.

Podobni trapeziji

Ta tema je zelo primerna za proučevanje lastnosti tega geometrijska številka. Na primer, diagonali razcepijo trapezoid v štiri trikotnike, sosednji na baza so podobni, in na straneh - enak. Ta izjava lahko imenujemo lastnost trikotnikov, na katero je trapezij deljen s svojimi diagonali. Prvi del te izjave je dokazan s podobnostjo v dveh kotih. Da bi dokazali drugi del, je bolje uporabiti spodaj opisano metodo.

Dokaz izreka

Predpostavljamo, da je vzorec ABSD (AD in BS - osnova trapeza) prekinjen z diagonali VD in AC. Presečišče - O. smo dobili štiri trikotnike: AOC - na spodnjem dnu, Bos - zgornja base, Abo in SOD ob straneh. Trikotniki SOD in BFD imajo skupno višino v primeru, ko sta segmenti B in D njihova baza. Ugotovili smo, da je razlika med njunima območja (P), ki je enaka razliki teh segmentov: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Zato PSOD = PBOS / K. Podobno imajo trikotniki BF in AOB skupno višino. Za svoje baze vzamemo segmente CO in OA. Dobimo PBO / PAOB = CO / OA = K in PAOB = PBO / K. Iz tega sledi, da je PSCM = PAOB.

Za določitev gradiva se učenci spodbujajo, da najdejo povezavo med področji pridobljenih trikotnikov, na katere se trapez delijo z njegovimi diagonali in rešujejo naslednji problem. Znano je, da so v trikotnikih BF in ADN območja enaka, je treba najti območje trapezija. Od LDPE = PAOB, to pomeni, da je PABSD = PBO + PAOJD + 2 * LOAD. Iz podobnosti trikotnikov BOS in ANOD izhaja, da B0 / D3 = radik- (PBO / PAOD). Zato je BSP / DPPM = BO / OD = radik- (PBO / PAOD). Dobimo PSOD = radik- (PBO * PAOD). Potem, PABSD = PBO + PAOAD + 2 * radik- (PAO * PAOD) = (radik-PBO + radik-PAOE) 2.

Lastnosti podobnosti

Nadaljujoč, da bi razvil to temo, je mogoče dokazati druge zanimive trapezne značilnosti. Torej, s pomočjo podobnosti lahko dokaže lastnine odsek, ki poteka skozi točko, ki jo tvori presečišče diagonal geometrijskega lika, vzporedno s tlemi. Za to rešiti naslednji problem: to je potrebno, da bi našli dolžine RK segment, ki poteka skozi točko O. Iz podobnosti trikotnikov ADP in SPU izhaja, da je AO / OS = AD / BS. Iz podobnosti trikotnikov AOP in ASB sledi, da AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). Iz tega dobimo to PO = BC * AD / (BS + AD). Podobno tudi iz podobnosti trikotnikov MLC in DBS sledi, da je OK = BS * AD / (BS + AD). Iz tega sledi, da PO = OK in PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). Segment, ki poteka skozi točko presečišča diagonal, vzporedno z bazami in povezovanje obeh stranskih strani, se deli s točko presečišča na polovico. Njegova dolžina je povprečna harmonična osnova za sliko.

Upoštevajte naslednjo trapezno kakovost, ki se imenuje last štirih točk. Točke presečišča diagonal (D), križišča razširitve stranskih ploskev (E), pa tudi sredi baz (T in M) vedno ležijo na eni črti. To se lahko dokaže z metodo podobnosti. Dobljeni trikotniki BEC in AED so podobni, v vsakem od njih pa mediani ET in EF razdeli kot v verigi E na enake dele. Posledično so točke E, T in M ​​na eni vrstici. Na popolnoma enak način se točke T, 0 in M ​​nahajajo na eni ravni liniji. Vse to izhaja iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD. Zato sklepamo, da bodo vse štiri točke - E, T, O in F - ležale na eni ravni liniji.

Z uporabo podobnih trapezidov lahko študentom predlagamo, da najdejo dolžino segmenta (LF), ki zlomi sliko v dve podobni. Ta segment mora biti vzporeden z osnovami. Ker so pridobljeni trapezoidi ALFD in LBSF podobni, potem BS / LF = LF / AD. Iz tega sledi, da je ΛΦ = radik- (BS * AD). Ugotovimo, da segment, ki trapezoid deli na dve podobni, ima dolžino, ki je enaka povprečni geometrijski dolžini osnov na sliki.

Upoštevajte naslednjo podobnost lastnosti. Na njeni podlagi leži segment, ki trapezoid deli v dve enako veliki številki. Predpostavljamo, da je trapezoid ABSD deljen s segmentom EH na dva podobna. Višina se izpusti iz vozlišča B, ki je razdeljen s segmentom EH na dva dela - B1 in B2. Pridobitev PABSD / 2 = (AP + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Nadalje sestavljajo sistem, kjer je enačba (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 in drugi (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Iz tega izhaja, da B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) in BS + EH = ((BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). Ugotovimo, da je dolžina segmenta, ki trapezoid deli na dva enaka dela, enaka povprečni dolžini kvadratnega korena: radik - ((BS2 + AD2) / 2).

Zaključki podobnosti

Tako smo dokazali, da:

1. Segment, ki se povezuje na trapezu sredine bočnih stranic, je vzporeden z arterijsko in BS in je enak aritmetični srednji vrednosti BS in AD (dolžina baze trapezije).

2. Črta, ki poteka skozi točko O presečišča diagonal, vzporednih z AD in BS, je enaka povprečni harmoniji številk AD in BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Segment, ki deli trapezoid v podobne, ima dolžino povprečne geometrijske osnove BS in AD.

4. Element, ki deli sliko na dva enaka dela, ima dolžino srednjega kvadrata številk AD in BS.

Za utrditev gradiva in uresničitev povezave med obravnavanimi segmenti mora študent zgraditi njihovo specifično trapezo. Z lahkoto lahko prikaže središčnico in segment, ki poteka skozi točko O - presečišče diagonal figure - vzporedno z bazami. Kje bo tretja in četrta? Ta odgovor bo udeležencem omogočil, da odkrijejo želeno razmerje med srednjimi vrednostmi.

Segment, ki povezuje središčne točke diagonal trapezoidov

Upoštevajte naslednjo lastnost te številke. Predpostavljamo, da je segment MN vzporeden z osnovami in deli diagonale na polovici. Presečišča se imenujejo W in W. Ta segment bo enak polovični razliki baz. To podrobneje analiziramo. MS je srednja črta trikotnika ABC, enaka BS / 2. MN je srednja črta trikotnika ABD, je enaka AD / 2. Potem smo dobili Wm = MN-MN in posledično W, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Težišče

Oglejmo si, kako je ta element definiran za določeno geometrijsko sliko. Za to je potrebno razširiti osnove v nasprotnih smereh. Kaj to pomeni? Dno je treba dodati na zgornjo podlago - na obe strani, na primer na desni. Dno se podaljša za dolžino zgornjega levega. Nato jih povežite z diagonalo. Presečišče tega segmenta s srednjo črto slike je težišče trapezoida.

Vpisani in opisani trapeziji

Navedemo značilnosti teh številk:

1. Trapezoid je mogoče vpisati v krogu samo, če je enakopraven.

2. Okoli oboda se lahko opiše trapez, pod pogojem, da je vsota dolžin njihove baze enaka vsoti dolžin stranskih strani.

Posledice vpisanega kroga:

1. Višina opisanega trapeza je vedno enaka dvema polmeroma.

2. Bočna stran opisanega trapezija je opazovana iz središča kroga pod pravim kotom.

Prvi dodatek je očiten in za dokazovanje drugega je potrebno dokazati, da je kot SOD neposreden, kar pravzaprav tudi ne predstavlja veliko težav. Toda poznavanje te lastnosti nam bo omogočilo uporabo pravokotnega trikotnika pri reševanju problemov.

Te posledice bomo konkretizirali za enakovrednega trapezoida, ki je vklesan v krog. Ugotovimo, da je višina geometrijska sredina osnove: H = 2R = radik- (BS * AD). Pri pripravi osnovnega načina reševanja problemov za trapezoide (načelo držanja dveh višin) mora študent rešiti naslednjo nalogo. Predpostavljamo, da je BT višina enakovredne številke ABSD. Potrebno je najti segmente AT in TD. Uporaba zgoraj opisane formule to ne bo težko narediti.

Zdaj pa ugotovimo, kako določiti polmer kroga, ki uporablja območje opisanega trapezija. Z zgornje višine B spustimo višino do dna krvnega tlaka. Ker je krog vpisan v trapezoid, potem BS + AD = 2AB ali AB = (BS + AD) / 2. Iz trikotnika ABN najdemo sinalpha- = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PBSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Dobimo PABBR = (BS + AD) * R, sledi, da R = PABSD / (BS + AD).

.

Vse formule srednje črte trapezija

Zdaj je čas, da se premaknete na zadnji element te geometrijske figure. Poglejmo, kaj je srednja črta trapeznega (M):

1. Z bazami: M = (A + B) / 2.

2. Skozi višino, podnožje in koti:

• M = A-H * (ctgalpha- + ctgbeta-) / 2;

• M = B + H * (ctgalpha- + ctgbeta-) / 2.

3. Skozi višino, diagonale in kot med njimi. Na primer, sta D1 in D2 trapez- alfa-, beta- - koti med njimi:

M = D1 * D2 * sinalpha- / 2H = D1 * D2 * sinbeta- / 2H.

4. Skozi območje in višino: M = P / H.