Dvojni integral. Naloge. Lastnosti

Težave, ki vodijo v koncept »dvojnega integrala«.

1. Recimo, da je ravna ploskovna plošča podana v ravnini, na vsaki točki katere je znana gostota. Najti moramo maso te plošče. Ker ima ta plošča jasne dimenzije, jo lahko zapremo v pravokotnik. Gostoto plošče lahko razumemo tudi takole: pri tistih točkah pravokotnika, ki ne spadajo v ploščo, predpostavljamo, da je gostota nič. Določimo enotno delitev na enako število delcev. Tako bo dana oblika razdeljena v osnovni pravokotnik. Razmislite o enem od teh pravokotnikov. Izberemo katero koli točko tega pravokotnika. Zaradi majhne velikosti takega pravokotnika bomo domnevali, da je gostota v vsaki točki danega pravokotnika konstantna vrednost. Potem bo masa takšnega pravokotnega delca opredeljena kot množenje gostote na tej točki s področjem pravokotnika. Območje, kot veste, je množenje dolžine pravokotnika za širino. In na koordinatni ravnini - ta sprememba z nekaj korakom. Potem bo masa celotne plošče vsota mas teh pravokotnikov. Če gremo do meje v takšnem odnosu, lahko dobimo točno razmerje.
2. Opredelimo prostorsko telo, ki je omejeno z izvorom in funkcijo. Potrebno je najti glasnost določenega telesa. Kot v prejšnjem primeru razdelimo območje v pravokotnike. Predpostavljamo, da bo na točkah, ki ne pripadajo domeni, funkcija 0. Razmislite o eni od pravokotnih particij. Skozi strani tega pravokotnika izdelamo ravnine, ki so pravokotne na absciso in koordinatne osi. Dobimo paralelepiped, ki je omejen od spodaj z ravnino glede na os aplikatorja in od zgoraj s funkcijo, ki je bila določena v pogojih problema. Izberemo točko sredi pravokotnika. Zaradi majhne velikosti tega pravokotnika lahko predpostavimo, da ima funkcija znotraj tega pravokotnika konstantno vrednost, nato pa lahko izračunate prostornino pravokotnika. In količina slike bo enaka vsoti vseh volumnov takšnih pravokotnikov. Za natančno vrednost morate iti na mejo.

Kot je razvidno iz postavljenih problemov, v vsakem primeru ugotavljamo, da različni problemi vodijo k razmisleku o dvojnih vsotah iste vrste.

Lastnosti dvojnega integrala.

Dajmo problem. Recimo, da je v določeni zaprti regiji podana funkcija dveh spremenljivk in dano funkcija je neprekinjena. Ker je območje omejeno, ga lahko postavite v poljuben pravokotnik, ki v celoti vsebuje lastnosti točke določene površine. Pravokotnik razdelimo na enake dele. Premer preloma imenujemo največja diagonala iz nastalih pravokotnikov. Sedaj izberemo točko v mejah enega takega pravokotnika. Če na tej točki najdemo vrednost, da dodamo vsoto, se taka vsota imenuje integral za funkcijo v določeni domeni. Ugotovimo, da je meja takšne integralne vsote pod pogoji, da premer razčlenitve sledi 0 in število pravokotnikov do neskončnosti. Če takšna meja obstaja in ni odvisna od tega, kako je območje razdeljeno na pravokotnike in od izbire točke, potem se imenuje dvojni integral.

Geometrijska vsebina dvojnega integrala: dvojni integral je numerično enak volumnu telesa, ki je bil opisan v Problemi 2.

Če poznate dvojni integral (definicija), lahko nastavite naslednje lastnosti:

1. Konstanto lahko vzamemo izven integralnega znaka.
2. Integral vsote (razlike) je enak vsoti (razlike) integralov.
3. Od funkcij manj je tista, katere dvojni integral je manjši.
4. Modul se lahko uvede pod dvojnim integralnim znakom.