Dodajanje in množenje verjetnosti: primeri rešitev in teorije

Študija teorije verjetnosti se začne z reševanjem problemov pri dodajanju in množenju verjetnosti. Omeniti je treba, da se lahko študent ob obvladovanju tega področja znanja sooča s problemom: če se fizično ali kemično proces lahko vizualno in razumljivo razume, potem je raven matematične abstrakcije zelo visoka, razumevanje pa prihaja samo z izkušnjami.

Vendar pa je igra vredna sveče, ker so formule - kot so obravnavane v tem članku in bolj zapletene - danes povsod uporabljene in se lahko dobro prikažejo pri delu.

Izvor

Čudno, spodbuda za razvoj tega oddelka matematike je bilo igranje iger na srečo. Dejansko so kockanje, kovance premetavanje, poker, ruleta tipični primeri, v katerih se uporablja dodajanje in množenje verjetnosti. Na primer nalog v kateremkoli učbeniku je to jasno razvidno. Ljudje so se zanimali, kako se naučijo, kako povečati njihove možnosti za zmago, in moram reči, da so nekateri to uspeli.

Na primer, že v 21. stoletju, ena oseba, katere ime ne bomo razkrili, bo ta akumulirana znanja uporabila za dobesedno "čiščenje" igralnice z zmago več desetine milijonov dolarjev v ruleti.

Kljub povečanemu zanimanju za to temo pa je šele v dvajsetem stoletju razvil teoretični okvir, ki je "Theeor" postal polnopravni komponenta matematike. Danes, praktično v kateri koli znanosti, lahko najdete izračune, ki uporabljajo verjetnostne metode.

Uporabnost

Pomembna točka pri uporabi dodajanja in množenja verjetnosti, pogojne verjetnosti je izvedljivost osrednje mejne teoreme. V nasprotnem primeru, čeprav ga morda ne bo uresničil študent, bodo vsi izračuni, pa vendar verjetni, da se morda zdijo, nepravilni.

Da, zelo motiviran študent skuša uporabiti novo znanje ob vsaki priložnosti. Toda v tem primeru bi morali nekaj upočasniti in strogo določiti obseg uporabe.

Teorija verjetnosti se ukvarja z naključnimi dogodki, ki empirično predstavljajo rezultate eksperimentov: lahko namerimo kocko s šestimi obrazi, izvlecemo kartico iz krova, napišite količino okvarjenih delov v seriji. Vendar pa je v nekaterih vprašanjih absolutno nemogoče uporabiti formule iz tega dela matematike. Značilnosti preučevanja verjetnosti dogodka, dodajanja in množenja dogodkov, o katerih se razpravljamo na koncu članka, zdaj pa se obrnite na primere.

Osnovni pojmi

Naključni dogodek je proces ali rezultat, ki se lahko ali ne bo pojavil kot rezultat preizkusa. Na primer, vržemo v sendvič - lahko pade z oljem ali maslom. Vsak od obeh izidov bo naključen in vnaprej ne vemo, katera bo potekala.

Pri preučevanju dodajanja in množenja verjetnosti potrebujemo še dva koncepta.

Skupno imenovani taki dogodki, videz enega od katerih ne izključuje videza drugega. Na primer, dve osebi streljajo hkrati na cilj. Če eden od njiju naredi uspešen posnetek, to ne vpliva na zmožnost drugega, da pride v "bikovo oko" ali zamuja.

Nezdružljivi bodo takšni dogodki, katerih videz je hkrati nemogoč. Na primer, z vlečenjem samo ene žoge iz škatle ne morete takoj dobiti modrega in rdečega.

Notacija

Pojem verjetnosti označuje latinska črka P. Nadalje so v oklepajih argumenti, ki označujejo nekatere dogodke.

V formulah teoreme dodatka, pogojna verjetnost, iz množenja izrek, boste videli izraze v oklepajih, na primer: A + B, AB ali A | B. Izračunali jih bodo na različne načine, zdaj pa se obrnemo k njima.

Dodajanje

Razmislimo o primerih, v katerih se uporabljajo formule za dodajanje in množenje verjetnosti.

Za neskladne dogodke je najpreprostejša formulacija dodatka pomembna: verjetnost katerega koli naključnega rezultata je enaka vsoti verjetnosti vsakega od teh rezultatov.

Recimo, da je škatla z 2 modrimi, 3 rdečimi in 5 rumenimi kroglicami. Skupaj v škatli je 10 predmetov. Kakšen je del resnice izjave, da bomo izvlekli modro ali rdečo žogo? To bo enako 2/10 + 3/10, to je petdeset odstotkov.

V primeru nezdružljivih dogodkov formula postane bolj zapletena, saj se doda dodatni izraz. Vrnimo se k njej v enem odstavku, potem ko preučimo drugo formulo.

Množenje

Dodatek in množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov se uporabljajo v različnih primerih. Če smo s pogojem eksperimenta zadovoljni z enim od dveh možnih izidov, bomo izračunali vsoto, če želimo dve določeni izidi drug za drugim, uporabimo še eno formulo.

Če se vrnemo na primer iz prejšnjega razdelka, najprej najprej izvlecemo modro kroglico in nato rdeče. Prva številka, ki jo poznamo, je 2/10. Kaj se zgodi potem? Sharov ostaja 9, rdeča med njimi vse tri - trije deli. Po izračunih je 3/9 ali 1/3. Ampak kaj zdaj delaš z dvema številkama? Pravi odgovor je, da ga pomnožite, da dobite 2/30.

Skupni dogodki

Zdaj se lahko vrnete na skupno formulo za skupne dogodke. Zakaj smo bili odvrnjeni od teme? Izvedeti, kako se množijo verjetnosti. To znanje nam je koristno.

Že vemo, kaj bodo prva dva izraza (so enaki kot v prej navedeni formulaciji), zdaj moramo odšteti proizvod verjetnosti, ki smo ga pravkar izračunali. Za jasnost navedite formulo: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Izkazalo se je, da v enem izrazu uporabljamo tako dodajanje kot tudi množenje verjetnosti.

Recimo, da moramo rešiti katero koli od obeh nalog, da bi dobili kredit. Prvi lahko rešimo z verjetnostjo 0,3, drugo z 0,6. Raztopina: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Obvestilo, preprosto dodajanje številk tukaj ni dovolj.

Pogojna verjetnost

Nazadnje, obstaja koncept pogojne verjetnosti, katere argumenti so označeni v oklepajih in ločeni z navpično črto. Zapis P (A | B) se glasi: "verjetnost dogodka A pod pogojem dogodka B".

Oglejmo si primer: prijatelj vam daje nekaj pripomočka, naj bo telefon. Lahko se zlomi (20%) ali je pomanjkljiv (80%). Vsako napravo, ki jo imate v vaših rokah, lahko popravite z verjetnostjo 0,4 ali ne morete storiti (0,6). Nazadnje, če je naprava v delovnem stanju, lahko dosežete pravo osebo z verjetnostjo 0,7.

Preprosto je videti, kako se v tem primeru pogojna verjetnost manifestira: ne morete priti do osebe, če je telefon zdrobljen, in če deluje, ga ni potrebno popraviti. Torej, če želite dobiti rezultate na "drugi stopnji", morate ugotoviti, kateri dogodek se je zgodil na prvi stopnji.

Izračuni

Upoštevajte primere reševanja problemov pri dodajanju in množenju verjetnosti z uporabo podatkov iz prejšnjega odstavka.

Najprej bomo našli verjetnost, da boste popravili napravo, ki ste jo prejeli. Za to, najprej mora biti napačno, in drugič, se morate spoprijeti s popravilom. To je tipičen problem z množenjem: dobimo 0.2 * 0.4 = 0.08.

Kakšna je verjetnost, da boste takoj dosegli pravo osebo? Lažje kot preprosto: 0,8 * 0,7 = 0,56. V tem primeru ste ugotovili, da telefon deluje in je uspešno izvedel klic.

Končno, upoštevajte to možnost: imate pokvarjen telefon, ga nastavite, nato pokličete številko in oseba, ki je na nasprotni strani, je pobral telefon. Tukaj je potrebno množenje treh komponent: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

In kaj, če imate dva neuporabna telefona? Kako verjetno je, da popravite vsaj eno od njih? To je naloga o dodajanju in množenju verjetnosti, saj se uporabljajo skupni dogodki. Rešitev: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Če v rokah dobite dve lomljeni napravi, boste v 64% primerov obvladali popravilo.

Skrbna uporaba

Kot je navedeno na začetku članka, bi morala biti uporaba teorije verjetnosti namerna in zavestna.

Večja je serija poskusov, tem bolj se teoretično predvidena vrednost približuje tistim, kar je bilo doseženo v praksi. Na primer, vržemo kovanec. V teoriji, saj se zavedajo obstoja verjetnosti seštevanje in množenje formul, lahko napovedati, koliko časa bo padla "orel" in "rep", če naredimo poskus, 10-krat. Izvedli smo eksperiment, in po naključju razmerje padla stranke so bile od 3 do 7. Če pa serija 100, 1000 ali več poskusih, se zdi, da je graf raztrosa vse bližje, da teoretično: 44 do 56, 482-518, in tako naprej.

In zdaj si predstavljamo, da se ta poskus ne izvaja s kovancem, ampak s proizvodnjo najnovejše kemične snovi, verjetnostjo pridobivanja, ki je ne vemo. Izvedli bi 10 poskusov in ne bi dobili uspešnega rezultata, lahko povzamemo: "snovi ni mogoče pridobiti". Toda kdo ve, če bi naredili enajsti poskus, ali bomo dosegli cilj ali ne?

Če se nanašate na neznano, na neraziskano območje, se teorija verjetnosti morda ne bo uporabljala. Vsak nadaljnji poskus v tem primeru je lahko uspešen in posplošitev tipa "X ne obstaja" ali "X je nemogoče" bo prezgodaj.

Sklepne opombe

Torej smo upoštevali dve vrsti dodajanja, množenja in pogojnih verjetnosti. Z nadaljnjim preučevanjem tega področja se je treba naučiti razlikovati med situacijami, ko se uporablja vsaka specifična formula. Poleg tega je treba predstavljati, ali so verjetnostne metode na splošno uporabne pri reševanju vaše težave.

Če vadite, potem boste čez nekaj časa začeli opravljati vse potrebne operacije izključno v mislih. Za tiste, ki imajo rad igre s kartami, se ta spretnost lahko šteje za izjemno dragoceno - znatno boste povečali možnosti za zmago, samo izračunajte verjetnost, da se izplača kartica ali obleko. Vendar pa prejete znanje preprosto najdete na drugih področjih dejavnosti.