Matematična matrika. Množenje matrik

Tudi matematiki iz starodavne Kitajske so v svojih izračunih uporabili rekord v obliki tabel z določenim številom vrstic in stolpcev. Potem so bili podobni matematični predmeti imenovani kot "čarobni kvadrati". Čeprav obstajajo znani primeri uporabe tabel v oblika trikotnikov, ki niso bili široko razširjeni.

Do sedaj matematično matriko pomeni, da je obseg pravokotne oblike z določenim številom stolpcev in simbolov, ki določajo velikost matrike. V matematiki je ta oblika pisanja našla široko aplikacijo za snemanje v kompaktni obliki sistemov diferencialnih in linearnih algebrskih enačb. Predpostavlja se, da je število vrstic v matriki enako številu enačb, prisotnih v sistemu, število stolpcev pa ustreza številu neznancev, ki jih je treba določiti med rešitvijo sistema.

Poleg tega, da matrika sama pri svoji raztopini vodi v iskanje neznank, vgrajenih v stanje sistema enačb, obstajajo številne algebraične operacije, ki se lahko izvajajo na tem matematičnem objektu. Ta seznam vključuje dodajanje matrik, ki imajo enake dimenzije. Množenje matrik s primernimi dimenzijami (lahko pomnožite le matriko, po eni strani ima število stolpcev enako številu vrstic matrike na drugi strani). Matrico lahko tudi pomnožimo z vektorjem ali elementom polja ali osnovnim obročem (drugače je skalar).

Glede na množenje matrik je treba pazljivo nadzorovati, da število stolpcev prvega strogo ustreza številu vrstic drugega. V nasprotnem primeru ta ukrep nad matricami ne bo določen. V skladu s pravilom, po katerem se matrika pomnoži z matriko, se vsak element v novi matriki izenači z vsoto produktov ustreznih elementov iz vrst prve matrike do elementov, vzetih iz stolpcev drugega.

Za jasnost, razmislimo o primeru množenja matrik. Vzamemo matriko A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

ga pomnožite z matrico B

3 -2

1 0

4 -3.

Element prve vrstice prvega stolpca nastalega matriksa je 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. Skladno s tem bo v prvi vrstici v drugem stolpcu element enak 2 * (-2) + 3 * 0 + (-2) * (-3) in tako naprej, dokler se ne zapolni vsak element nove matrike. Pravilo za pomnoževanje matrik predpostavlja, da je rezultat produkta matrike s parametri m x n na matriki, ki ima razmerje n x k, tabela, ki ima z dimenzijami m x k. Po tem pravilu lahko sklepamo, da je izdelek tako imenovanih kvadratnih matrik istega reda vedno določen.

Od lastnosti, ki jih množenje matrik poseduje treba dodeliti kot temeljno dejstvo, da je ta operacija ni komutativna. To je produkt matrike M v N ni enaka zmnožku N, ki ga M. Če je v kvadratnih matrik enakem vrstnem redu, ugotovili, da je njihova prihodnost in obratno izdelka vedno določi, ki se razlikujejo le v rezultatu, pravokotna matrika, kot so nekateri pogoji niso vedno izpolnjeni.

V matriko množenje obstajajo številne lastnosti, ki imajo jasno matematične dokaze. Asociativnost razmnoževanje pomeni zvestobo sledi matematični izraz: (MN) K = P (NK), kjer je M N ter sta K - matriks ob parametrov, pri kateri se množenje definirane. Distributivnost množenje predpostavlja, da M (M + K) = MN + MK, (m + n) K = MK + NK, L (MN) = (LM) n + m (LN), kjer je L - številka.

Posledica lastnosti matriksne množenja, imenovane "asociativnost", pomeni, da lahko delo, ki vsebuje tri ali več dejavnikov, pisati brez uporabe oklepajev.

Uporaba lastnosti distribucije omogoča, da se med pregledovanjem matričnih izrazov odpirajo oklepaje. Pazimo, če odpremo oklepaj, potem moramo ohraniti vrstni red dejavnikov.

Uporaba matričnih izrazov omogoča ne le kompaktno zapisovanje okornih sistemov enačb, ampak tudi olajša proces njihove obdelave in rešitve.