Kako raziskati in zgraditi funkcijski graf?

Danes predlagamo skupaj z nami raziskati in zgraditi funkcijski graf. Po skrbnem preučevanju tega članka vam ni treba dolgo potovati, da bi dosegli takšno nalogo. Ni enostavno raziskati in zgraditi grafov funkcij, delo je obsežno in zahteva največjo pozornost in natančnost izračunov. Da bi olajšali zaznavanje gradiva, bomo postopoma preučevali isto funkcijo, pojasnili vse naše akcije in izračune. Dobrodošli v čudovitem in zanimivem svetu matematike! Gremo!

Področje opredelitve

Da bi raziskali in zgradili funkcijski graf, je potrebno vedeti več definicij. Funkcija je eden osnovnih (osnovnih) konceptov matematike. Odraža odnos med več spremenljivkami (dva, tri ali več) s spremembami. Funkcija tudi prikazuje odvisnost kompleta.

Predstavljajte si, da imamo dve spremenljivki, ki imajo določeno variacijo. Torej, y je funkcija x, pod pogojem, da vsaka vrednost druge spremenljivke ustreza eni vrednosti drugega. Poleg tega je spremenljiva y odvisna in jo imenujemo funkcija. Običajno je reči, da so spremenljivke x in y v funkcionalna odvisnost. Za večjo jasnost te odvisnosti je zgrajen graf funkcije. Kaj je funkcijski graf? To je niz točk na koordinatni ravnini, pri čemer vsaka vrednost x ustreza eni vrednosti y. Grafi so lahko različni - ravna črta, hiperbola, parabola, sinusoid in tako naprej.

Graf funkcije ni mogoče izdelati brez preiskave. Danes se bomo naučili opraviti študijo in zgraditi funkcijski graf. To je zelo pomembno v koordinirati ravnino beležke. Torej, da bi obvladali nalogo, bo veliko lažje. Najprimernejši študijski načrt:

1. Področje uporabe opredelitve.
2. Kontinuiteta.
3. Pariteto ali čudnost.
4. Periodičnost.
5. Asimptotovi.
6. Zeros.
7. Znak stalnosti.
8. Naraščajoče in padajoče.
9. Ekstremi.
10. Konveksnost in konkavnost.

Začnimo s prvim odstavkom. Določimo domeno definicije, to je, v kakšnih intervalih obstaja naša funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). V našem primeru funkcija obstaja za katere koli vrednosti x, to je domena definicije je R. To lahko zapišemo na naslednji način: xVR.

Kontinuiteta

Sedaj bomo preučili funkcijo za odmor. V matematiki se je izraz »kontinuiteta« pojavil kot rezultat preučevanja zakonov gibanja. Kaj je neskončno? Prostor, čas, nekatere funkcije (na primer, lahko služi kot odvisne spremenljivke s in t v gibanju nalog), temperatura ogrevanega objekta (voda, cvrtje, termometrom in podobno), neprekinjeno linijo (to je tisti, ki se lahko črpa ne da bi dvignili iz lista svinčnik).

Graf se šteje za neprekinjen, ki v določenem trenutku ne prekine. Eden od najbolj očitnih primerov takega grafa je sinusno, kar lahko vidite na sliki v tem razdelku. Funkcija je v določeni točki x0 neprekinjena, če je izpolnjenih več pogojev:

• funkcija je določena na določeni točki;
• meja na desni in levi na točki sta enaka;
• Omejitev je enaka vrednosti funkcije v točki x0.

Če eden od pogojev ni izpolnjen, pravijo, da funkcija pretrga. In točke, na katerih je funkcija prekinjena, je običajno, da pokličete točke diskontinuiteta. Primer funkcije, ki je "raztrgana" v grafični predstavitvi, je lahko: y = (x + 4) / (x-3). Poleg tega y ne obstaja v točki x = 3 (ker je nemogoče deliti z ničlo).

Funkcija, ki smo raziskali (Y = 1/3 (x ^ 2 + 3-14h 49h-36)), je bilo vse tako kot bo urnik neprekinjen.

Pariteto, čudnost

Sedaj preuči funkcijo paritete. Začeti malo teorije. Imenuje se celo funkcija, ki izpolnjuje pogoj f (-x) = f (x) za poljubno vrednost x (iz obsega vrednosti). Primeri so:

• modul x (graf je podoben ušesu, pragovi prve in druge četrtine grafikona);
• x na kvadratu (parabola);
• kosinus x (kosinus).

Upoštevajte, da so vsi ti grafi simetrični, če to upoštevamo glede na y-os (tj. Y).

In kaj se potem imenuje čudna funkcija? To so tiste funkcije, ki izpolnjujejo pogoj: f (-x) = -f (x) za poljubno vrednost x. Primeri:

• hiperbola;
• kubična parabola;
• sinusni val;
• tangentoid in tako naprej.

Upoštevajte, da imajo te funkcije simetrijo glede točke (0: 0), torej izvor. Izhajajoč iz tega, kar je bilo rečeno v tem delu članka, mora imeti čista in čudna funkcija tudi lastnost: x spada v definicijo in -x.

Raziščimo funkcijo po pariteti. Vidimo, da ne ustreza nobenemu opisu. Zato naša funkcija ni niti niti neparna.

Asimptotovi

Začnimo z definicijo. Asimptota je krivulja, ki je čim bližja grafu, to pomeni, da se razdalja od neke točke nagiba na nič. Obstajajo tri vrste asimptot:

• Navpično, to je vzporedno z y osjo;
• Vodoravno, to je vzporedno s x-osjo;
• nagnjena.

Kar se tiče prve vrste, je treba te ravne črte iskati v nekaterih točkah:

• vrzel;
• koncih domene definicije.

V našem primeru je funkcija kontinuirana in domena definicije je R. Zato ni nobenih vertikalnih asimptotov.

Vodoravna asimptota imajo grafično funkcijo, ki izpolnjuje naslednje zahteve: ko se x približuje neskončnosti ali negativno neskončnost, in meja je enaka do neke številko (naprimer). V tem primeru y = a - to je vodoravna asimptota. V funkciji, ki jo raziskujemo, ni horizontalnih asimptotov.

Naklonjena asimptota obstaja samo, če sta izpolnjeni dve pogoji:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b.

Nato ga lahko najdemo po formuli: y = kx + b. Spet v našem primeru ni naklonjenih asimptotov.

Funkcijske ničle

Naslednji korak je pregled grafikona funkcije z ničli. Pomembno je poudariti, da se ugotovi, da je naloga povezana z iskanjem ničle za funkcijo, ne samo v študiji in gradnjo grafa funkcije, ampak tudi kot samostojno nalogo, in kot način za odpravo neenakosti. Morda boste morali na grafu najti ničle funkcije ali uporabiti matematični zapis.

Iskanje teh vrednosti vam bo pomagalo narediti bolj natančen graf funkcije. V preprostem jeziku je ničelna funkcija vrednost spremenljivke x, za katero je y = 0. Če na grafu iščete ničle funkcije, morate paziti na točke, kjer se pojavi presečišče grafa z osjo abscissa.

Če želite najti ničle funkcije, je treba reči naslednjo enačbo: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Po izvedbi potrebnih izračunov dobimo naslednji odgovor:

• x = 1;
• 4;
• 9.

Priporočljivo je, da takoj najdete najdene točke na grafu.

Znak stalnosti

Naslednja faza raziskovanja in konstrukcije funkcije (graf) je ugotovitev intervalov signalne konstante. To pomeni, da moramo ugotoviti, v kakšnih intervalih ima funkcija pozitivno vrednost in na kateri - negativno. To nam bo pomagalo narediti ničle funkcije, ki jo najdemo v zadnjem poglavju. Torej, moramo zgraditi ravno črto (ločeno od grafikona) in v pravilnem vrstnem redu razdeliti ničle funkcije iz manjšega v večji. Zdaj moramo določiti, kateri od prejetih intervalov ima znak "+", in ki ";".

V našem primeru ima funkcija pozitivno vrednost v intervalih:

• od 1 do 4;
• od 9 do neskončnosti.

Negativna vrednost:

• od minus neskončnosti do 1;
• od 4 do 9.

To je dovolj enostavno določiti. Vstavite poljubno število iz reže v funkcijo in preverite, kateri znak je bil odgovor (minus ali plus).

Povečanje in zmanjševanje funkcije

Da bi raziskali in zgradili funkcijo, moramo vedeti, kje bo graf raste (gredo naprej koordinatna črta Oy), in kje bo padel (lezenje po osi ordinata).

Funkcija raste le, če večja vrednost spremenljivke x ustreza večji vrednosti y. To pomeni, da je x2 večji od x1 in je f (x2) večji od f (x1). In obratni učinek je opazen pri zmanjševanju funkcije (več x, manj y). Za določitev intervalov povečanja in zmanjšanja je potrebno najti naslednje:

• področje definicije (že imamo);
• derivat (v našem primeru: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• rešiti enačbo 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Po izračunih dobimo rezultat:

• 7/3;
• 7.

Dobimo funkcija povečuje razmik od minus neskončnosti do 7/3 in 7 do neskončnosti, in zmanjšuje v območju od 7/3 do 7.

Ekstremi

Funkcija y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) je neprekinjena in obstaja za vse vrednosti spremenljivke x. Ekstremna točka prikazuje največjo in najmanjšo vrednost te funkcije. V našem primeru ni nobenega, kar zelo poenostavi gradbeni problem. V nasprotnem primeru ekstremne točke se najdejo tudi z uporabo izpeljane funkcije. Po iskanju jih ne pozabite označiti na grafikonu.

Konveksnost in konkavnost

Še naprej preiskujemo funkcijo y (x). Zdaj ga moramo preizkusiti za konveksnost in konkavnost. Opredelitve teh konceptov je težko sprejeti, bolje je vse analizirati s primeri. Za test: funkcija je konveksna, če je nedoločen integral neuspešna funkcija. Strinjam se, to ni jasno!

Najti moramo derivat funkcije drugega reda. Dobimo: y = 1/3 (6x-28). Sedaj izenačimo desno stran na nič in rešimo enačbo. Odgovor je: x = 14/3. Našli smo točko premika, to je kraj, kjer graf spreminja konveksnost v konkavnost ali obratno. V intervalu od minus neskončnosti do 14/3 je funkcija konveksna in od 14/3 do plus neskončnost - konkavna. Zelo pomembno je opozoriti, da mora biti prelomna točka na karti gladka in mehka, ne sme biti nobenih ostrih kotov.

Opredelitev dodatnih točk

Naša naloga je raziskati in zgraditi funkcijski graf. Izpolnili smo študijo, zdaj ne bomo mogli graditi graf funkcije. Za natančnejše in natančnejše razmnoževanje krivulje ali ravne črte na koordinatni ravnini lahko najdete več pomožnih točk. Precej jih je enostavno izračunati. Na primer, vzamemo x = 3, rešimo nastalo enačbo in poiščemo y = 4. Ali x = 5, y = -5 in tako naprej. Dodatne točke lahko vzamete toliko, kot jih potrebujete za izgradnjo. Najdenih jih je vsaj 3-5.

Risanje grafa

Morali smo raziskati funkcijo (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Vse potrebne opombe med izračuni so bile načrtovane na koordinatni ravnini. Vse kar je še treba storiti je, da zgradite graf, to je, da povežete vse točke skupaj. Za povezavo točk stroškov gladko in natančno, to je stvar spretnosti - majhna praksa in vaš urnik bo popoln.