Kaj je aritmetično? Glavna izreka aritmetike. Binarna aritmetika

Kaj je aritmetično? Kdaj je človeštvo začelo uporabljati številke in delati z njimi? Kjer so korenine takšnih navadnih pojmov, kot so številke, frakcije, odštevanje,

Morda aritmetika ni tako globoka kot druge znanosti, toda, kaj bi se jim zgodilo, pozabite na osnovno tabelo množenja? Običajno logično razmišljanje, z uporabo številk, frakcij in drugih orodij, ni bilo enostavno dati ljudem in dolgo časa ni bilo na voljo za naše prednike. Pravzaprav pred razvojem aritmetike ni nobenega področja človeškega znanja resnično znanstveno.

Aritmetika je abeceda matematike

Aritmetika je znanost o številu, s katero se vsakdo začne spoznavati s fascinantnim svetom matematike. Kot je povedal M. Lomonosov, aritmetika je prehod štipendije, ki nam odpira pot do svetovnega znanja. Ampak je pravi, ali se lahko znanje o svetu ločuje od poznavanja številk in pisem, matematike in govora? Morda v starih časih, ne pa v sodobnem svetu, kjer hiter razvoj znanosti in tehnologije narekuje njene zakone.

Beseda "aritmetika" (grški "aritmos") grškega izvora pomeni "številka". Študira število in vse, kar je z njimi povezano. To je svet številk: različna dejanja na številke, numerične pravila, reševanje problemov, ki vključujejo množenje, odštevanje in tako naprej.

Na splošno velja, da je prvi korak aritmetično matematike in trdno podlago za bolj zapletene njegovih odsekov, kot algebre, matematične analize, višje matematike in t. D.

Glavni cilj aritmetike

Osnova aritmetike je celo število, katerega lastnosti in pravilnosti se upoštevajo v višji aritmetiki ali teorija števil. Dejansko je moč celotne zgradbe - matematika odvisna od tega, kako dobro se upošteva takšen majhen blok kot naravno število.

Zato je vprašanje, kaj aritmetično je, lahko preprosto odgovorite: to je znanost o številu. Ja, o običajnih sedmih, devetih in vsa ta raznolika skupnost. In ravno tako, ker ne moreš pisati dobrih in osrednjih pesmi brez elementarne abecede, brez aritmetike, ne moreš niti rešiti osnovnega problema. Zato so vse znanosti napredovale šele po razvoju aritmetike in matematike, ki so pred vsem le niz predpostavk.

Aritmetična - fantomska znanost

Kaj je aritmetično - naravoslovje ali fantom? Dejstvo je, kot trdijo antični grški filozofi, v realnosti ni nobenih številk ali številk. To je samo fantom, ki je ustvarjen v človekovem razmišljanju, ko razmišlja o okolju s svojimi procesi. Dejansko, kaj je številka? Nikjer drugje ne vidimo takšnega, ki bi ga lahko imenovali številko, namesto tega je številka človeškega uma, da bi preučevala svet. In mogoče je to študija o sebi? Filozofi so to že več sto let zapored razpravljali, zato ne izčrpavamo odgovora. Na tak ali drugačen način aritmetika je uspela tako trdno zavzeti svoje stališče, da v današnjem svetu nihče ne moremo šteti za družbeno prilagojen, ne da bi poznali svoje temelje.

Kako se je prikazalo naravno število

Seveda je glavni objekt, ki ga upravlja aritmetika, naravno število, na primer 1, 2, 3, 4, hellip-, 152 ... itd. Aritmetika naravnih številk je rezultat štetja navadnih predmetov, na primer krav na travniku. Še vedno pa je definicija "veliko" ali "malo" enkrat prenehala ustrezati ljudem, zato sem moral izumljati boljše tehnike štetja.

Toda resničen preboj se je zgodil, ko je človeška misel dosegla točko, da je mogoče označiti isto "dve" in 2 kilograme ter 2 opeka in dva dela. Dejstvo je, da se morate abstraktno od obrazcev, lastnosti in pomena predmetov, potem lahko naredite nekaj dejanj s temi predmeti v obliki naravnih številk. Tako se je rodila aritmetika številk, ki se je še naprej razvijala in razširila in zasedla vse večje položaje v življenju družbe.

Takšna poglobljena pojmovanja številk, kot nič in negativno število, frakcije, oznake številk v številkah in na druge načine, imajo najbogatejšo in najbolj zanimivo zgodovino razvoja.

Aritmetični in praktični Egipčani

Dva od najstarejših človeških spremljevalcev v študiju okoliškega sveta in reševanje vsakdanjega problema sta aritmetika in geometrija.

Verjamejo, da zgodovina aritmetike izhaja iz Ancient East: v Indiji, Egiptu, Babilonu in na Kitajskem. Tako je papinus Rinde iz egipčanskega izvora (tako imenovan, ker je pripadal istovetnemu lastniku), datiranega v XX. Stoletje. BC, razen za druge dragocene podatke, vsebuje razkroj ene frakcije z vsoto frakcij z različnimi imenovalci in števec enako eni.

Na primer: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Toda kakšna je točka takšne zapletene razgradnje? Dejstvo je, da egipčanski pristop ni dopuščal abstraktnega razmišljanja o številu, nasprotno, izračuni so bili opravljeni le za praktične namene. To pomeni, da se bo egiptovsko podjetje ukvarjalo z izračuni, na primer zgolj za gradnjo grobnice. Potrebno je bilo izračunati dolžino roba strukture, kar je prisililo, da oseba sedi za papirus. Očitno je bil egipčanski napredek pri izračunih povzročen, namesto z veliko, gradnjo, ne ljubezni do znanosti.

Iz tega razloga izračunov na papirih ne moremo imenovati refleksije na frakcijah. Najverjetneje je to praktična naročila, ki so v prihodnosti pripomogla k reševanju problemov s frakcijami. Starodavni Egipčani, ki niso poznali množitvenih tabel, so izdelali precej dolge izračune, ki so se razgradili v številne podpodročne naloge. Morda je to eden izmed teh podizdelkov. Ni težko videti, da so izračuni s takšnimi pripravami zelo težavni in malo možnosti. Morda zato iz tega razloga ne vidimo velikega prispevka starega Egipta k razvoju matematike.

Starodavna Grčija in filozofska aritmetika

Veliko znanja o starodavnem vzhodu so uspešno obvladovali stari Grki, znani ljubitelji abstraktnih, abstraktnih in filozofskih razmišljanj. Praksa jih zanima ne manj, vendar je težko najti najboljše teoretike in mislece. To je koristilo znanosti, saj je nemogoče, da bi se izognili aritmetiki, ne da bi ga zlomili z resničnostjo. Seveda lahko pomnožite 10 krav in 100 litrov mleka, vendar daleč ne bo uspelo.

Grci so globoko razmišljali, da so v zgodovini zapustili pomembno znamenje in njihova dela so dosegla:

• Euclid in "Začetek".
• Pitagora.
• Arhimed.
• Eratosteni.
• Zeno.
• Anaxagoras.

In, seveda, izkaže vso filozofijo Grkov, in zlasti privrženci primerih Pitagora so bili tako navdušeni nad številkami, ki jim skrivnost svetovne harmonije šteje. Številke so bile tako proučevane in preučevane, da so nekaterim od njih in njihovim parom dodeljene posebne lastnosti. Na primer:

• Perfektne številke so tiste, ki so enake vsoti vseh njihovih delilcev, razen števila (6 = 1 + 2 + 3).
• Prijateljske številke so takšne številke, od katerih je ena enaka vsoti vseh deliteljev drugega, in obratno (Pitagorejci so vedeli samo enega para: 220 in 284).

Grki, ki so verjeli, da je znanost treba ljubiti in da ne bi bila z njo zaradi dobička, je dosegla velik uspeh, raziskovala, igrala in dodala številke. Treba je opozoriti, da niso vse svoje raziskave našli široko uporabo, nekateri od njih so ostali le "za lepoto".

Vzhodni misleci iz srednjega veka

Podobno je v srednjem veku aritmetika svoj razvoj doletela vzhodnim sodobnikom. Indijci so nam dali številke, ki jih aktivno uporabljamo, na primer "nič" in pozicijska možnost sistemi izračuna, poznati sodobnemu zaznavanju. Od al-kaše, ki je delal v 15. stoletju v Samarkandu, smo podedovali decimali, brez katerih je težko predstavljati sodobno aritmetiko.

V mnogih pogledih, Evropa seznani s bila dosežki na vzhodu je mogoče na delu italijanski znanstvenik Leonardo Fibonacci, ki je napisal knjigo "Liber abaci", seznanjanje z orientalskimi inovacij. Postala je temelj razvoja algebre in aritmetične, raziskovalne in znanstvene dejavnosti v Evropi.

Ruska aritmetika

In nazadnje, aritmetika, ki je našla svoj kraj in zakoreninjena v Evropi, se je začela širiti na ruska ozemlja. Prva ruska aritmetika je bila objavljena leta 1703 - knjiga o aritmetiki Leontyja Magnitskega. Dolgo časa je ostal edini učni priročnik o matematiki. Vsebuje začetne trenutke algebre in geometrije. Številke, uporabljene v teh primerih, so prvi v ruskem učbeniku aritmetike, arabščini. Čeprav so se arabske številke pojavile prej, na grafih iz 17. stoletja.

Sama knjiga je okrašena s slikami Arhimedesa in Pitagora, na prvi list pa je podoba aritmetike v obliki ženske. Ona sedi na prestolu, pod je napisana v hebrejščini beseda za ime Boga, in na stopnicah, ki vodijo do oltarja, vpisane z besedo "delitev", "povečanje", "dodatek", in tako naprej. D. Lahko si predstavljamo le tisto vrednost izdal Take resnice, ki se zdaj štejejo za običajne.

Učbenik s 600 strani opisuje osnove, kot so tabela dodajanja in množenja ter aplikacije za navigacijske znanosti.

Ni presenetljivo, da je avtor izbral podobo grških mislecev za svojo knjigo, ker je bil sam očaral z lepoto aritmetike, rekoč: "Aritmetika je chislitelnitsa tam art sejem, nezavistnoehellip;". Ta pristop k aritmetike je utemeljena, saj je njeno splošno sprejetje lahko štejemo za začetek hitrega razvoja znanstvene misli v Rusiji in splošnega izobraževanja.

Nelagodne prime številke

Glavno število je naravno število, ki ima samo dva pozitivna divizija: 1 in sam. Vse druge številke, ki ne štejejo 1, se imenujejo kompozitni. Primeri prvih števil: 2, 3, 5, 7, 11 in vsi drugi, ki nimajo drugih delilcev, razen številke 1 in samih.

Kar zadeva številko 1, je na posebnem računu - obstaja prepričanje, da je treba obravnavati niti preprosto niti zapleteno. Enostavno na prvi pogled preprosto število skriva številne nerešene skrivnosti v sebi.

Euclid izrek pravi, da neskončno število praštevil, in Eratosten prišel s posebnim aritmetične "sito", ki odpravlja zapletene številke, tako da samo preprosta.

Njeno bistvo je poudariti prvo nerazkrito številko in v prihodnosti izbrisati tiste, ki so mu večkratne. Ta postopek ponovite večkrat in dobite tabelo prvih številk.

Glavna izreka aritmetike

Med opazovanji na prime številkah moramo na poseben način omeniti osnovno izrečno izjavo aritmetike.

Osnovni aritmetična izrek določa, da vsaka celo večji od 1, ali pa preprosto, ali pa se lahko razdelijo na produkt praštevila do reda ponovitev dejavnikov, edini način.

Glavna izreka aritmetike se je izkazala za precej zapletena in njeno razumevanje ni več podobno najpreprostejšim temeljem.

Na prvi pogled so prvotne številke osnovni koncept, vendar ni. Fizika je nekoč že obravnavala atom kot osnovno, dokler ni našla celotnega vesolja znotraj nje. Lepa zgodba matematike Don Tsagirja "Prvih petdeset milijonov prvih števil" je namenjena prvim številom.

Od "treh jabolk" do deduktivnih zakonov

Kaj resnično lahko imenujemo okrepljen temelj celotne znanosti, so zakoni aritmetike. V otroštvu se vsi soočajo z aritmetiko, preučujejo število nog in peresa v lutkah, število kock, jabolk itd. Zato preučujemo aritmetiko, ki se nanaša na bolj zapletena pravila.

Celotno življenje nas seznanja s pravili aritmetike, ki so postala za navadnega človeka najbolj uporabna od vsega, kar daje znanost. Študija številk je "aritmetično-dojenček", ki uvaja osebo v svet številk v obliki številk v zgodnjem otroštvu.

Višja aritmetika je deduktivna znanost, ki proučuje zakone aritmetike. Večina jih vemo, čeprav morda ne poznamo njihovih natančnih formulacij.

Zakon o dodajanju in množenju

Vsaka dva naravna števila a in b se lahko izrazita kot a + b, ki je tudi naravno število. Kar zadeva dodatek, veljajo naslednji zakoni:

• Komutativni, ki pravi, da se vsota ne spremeni iz permutacije izročil v krajih ali + b = b + a.
• Asociativni, ki pravi, da vsota ni odvisna od načina grupiranja izročkov v krajih ali + (b + c) = (a + b) + c.

Pravila aritmetike, kot je dodatek, so nekateri elementarni, vendar jih uporabljajo vse vede, da ne omenjamo vsakdanjega življenja.

Vsaka dva naravna števila a in b se lahko izrazita v izdelku a * b ali a * b, ki je tudi naravno število. Isti komutativni in asociativni zakoni veljajo za izdelek, ki se nanaša na dodatek:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Zanimivo je, da obstaja zakon, ki združuje dodajanje in množenje, imenovano tudi distribucijsko ali distribucijsko pravo:

a (b + c) = ab + ac

Ta zakon pravzaprav nas uči, da delamo z oklepaji in jih razkrivamo, tako da lahko delamo z bolj zapletenimi formulami. To so ravno zakoni, ki nas bodo vodili skozi bizarni in kompleksni svet algebre.

Zakon aritmetičnega reda

Zakoni reda uporabljajo človeško logiko vsak dan, primerjajo ure in štetje računov. Kljub temu pa je treba formalizirati v obliki konkretnih formulacij.

Če imamo dve naravni številki a in b, potem so možne naslednje možnosti:

• a je b ali a = b;
• a je manj kot b, ali a < b;
• a je večja od b, ali a> b.

Od treh možnosti je lahko le en pošten. Temeljni zakon, ki ureja naročilo, pravi: če je < b in b < c, potem a< c.

Obstajajo tudi zakoni, ki se nanašajo na vrstni red z ukrepi množenja in dodajanja: če je< b, nato pa a + c < b + c in ac< bc.

Zakoni aritmetike nas učijo, da delamo s številkami, znaki in oklepaji, vse pa spreminjamo v harmonično simfonijo številk.

Sistemi za izračun pozicije in pozicioniranja

Lahko rečemo, da so številke matematični jezik, od katerega je veliko odvisno. Obstaja veliko sistemov računanja, ki se, tako kot abecede različnih jezikov, razlikujejo drug od drugega.

Razmislite o številčnem sistemu glede na vpliv položaja na količinsko vrednost števila na tem položaju. Na primer, rimski sistem je brez pozicij, kjer je vsaka številka kodirana s posebnim nizom posebnih simbolov: I / V / X / L / C / D / M. So enaki 1/5/10/50/100/500 / 1000. V takšnem sistemu številka ne spreminja svoje količinske opredelitve, odvisno od tega, kaj pomeni: prva, druga itd. Če želite dobiti druge številke, morate dodati osnovne. Na primer:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Poznamo nam številčni sistem z arabskimi številkami. V takem sistemu je število razrešnice določa število znakov, na primer, trimestne številke: 333, 567, itd Masa po kateremkoli od izpusta odvisna od položaja, na katerem je slika enega ali drugega, npr sliki 8 v drugem položaju ima vrednost 80. To je značilno za decimalno sistema, obstajajo tudi drugi pozicijski sistem kot binarno.

Binarna aritmetika

Seznanjeni smo z decimalnim sistemom izračunavanja, sestavljenim iz enomestnih števil in večmestnih. Številka na levi v večmestni številki je desetkrat večja kot pomembna od desne. Torej smo prebirali 2, 17, 467 itd. Za to sekcijo je popolnoma drugačna logika in pristop, ki se imenuje "binarna aritmetika". To ni presenetljivo, ker binarna aritmetika ni ustvarjena za človeško logiko, temveč za računalnik. Če je aritmetika številk nastala pri štetju predmetov, ki so se kasneje abstrahirali iz lastnosti predmeta na »golo« aritmetiko, potem to ne deluje z računalnikom. Da bi lahko svoje znanje delil z računalniki, je morala oseba izumiti tak model izračuna.

Binarna aritmetična dela z binarno abecedo, ki je sestavljena iz samo 0 in 1. In uporaba te abecede se imenuje binarni sistem računanja.

Razlika med binarno aritmetiko in decimalnim številom je, da pomen pozicije na levi ni več 10, temveč 2-krat. Binarne številke imajo obliko 111, 1001 itd. Kako razumeti takšne številke? Torej, upoštevajte številko 1100:

1. Prva številka na levi - 1 * 8 = 8, pri čemer se spominjamo, da je četrta števka, zato ga je treba pomnožiti z 2, dobimo pozicijo 8.
2. Druga številka je 1 * 4 = 4 (položaj 4).
3. Tretja številka je 0 * 2 = 0 (položaj 2).
4. Četrta številka je 0 * 1 = 0 (položaj 1).
5. Torej, naša številka je 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To pomeni, da prehod v novo kategorijo na levi strani njenega pomena v binarnem sistemu se pomnoži z 2 in decimalne - do 10. Tak sistem ima eno pomanjkljivost: to je prevelika bitov rasti, ki so potrebne za snemanje številk. Primeri decimalna številke dvochinyh, kot je razvidno v spodnji tabeli.

Decimalne številke v binarni obliki so prikazane spodaj.

Uporabljajo se tudi osemtni in heksadecimalni sistemi izračunavanja.

Ta skrivnostna aritmetika

Kaj je aritmetična, "dva plus dva" ali neraziskanih skrivnosti številk? Kot lahko vidite, aritmetika, lahko, in se zdi na prvi pogled preprosto, vendar pa ni jasno, varljiv enostavnost. Možno je, da se učenci učijo, in skupaj s teto sove iz risanke "aritmetična-otroka", in se lahko potopite v globoko znanstvenih raziskav skoraj filozofsko naročila. V zgodovini je od štetja predmetov odšla na čaščenje lepote številk. Eno je gotovo: z vzpostavitvijo osnovnih postulatov aritmetike, lahko vsi znanost zanašajo na njeno močno ramo.