Linearne in homogene diferencialne enačbe prvega reda. Primeri rešitev

Mislim, da bi morali z zgodovino takšnega veličastnega matematičnega orodja začeti kot diferencialne enačbe. Kot vse diferencialne in integralne račune so te enačbe izmislili Newton konec 17. stoletja. To odkritje je menil, da je tako pomembno, da je šifriral sporočilo, ki ga je mogoče danes prevajati: »Vsi zakoni narave so opisani z diferencialnimi enačbami«. Morda se zdi pretiravanje, vendar je vse res. S temi enačbami lahko opišemo katerikoli zakon fizike, kemije, biologije.

Velik prispevek k razvoju in ustvarjanju teorije diferencialnih enačb so naredili matematiki Euler in Lagrange. Že v 18. stoletju so odkrili in razvili tisto, kar se trenutno preučuje na visokošolskih tečajih.

Henry Poincare se je začel nov mejnik pri preučevanju diferencialnih enačb. Ustvaril je "kvalitativno teorijo diferencialnih enačb", ki je v kombinaciji s teorijo funkcij kompleksne spremenljivke pomembno prispevala k temeljenju topologije - znanosti o prostoru in njegovih lastnostih.

Kaj so diferencialne enačbe?

Mnogi se bojijo ene fraze "diferencialna enačba". V tem članku pa bomo podrobno opisali celotno bistvo tega zelo uporabnega matematičnega aparata, ki v resnici ni tako zapleten, kot se zdi iz naslova. Da bi začeli govoriti o diferencialnih enačbah prvega reda, je treba najprej spoznati osnovne pojme, ki so neločljivo povezani s to definicijo. In začeli bomo z razliko.

Diferencial

Mnogi ljudje tega pojma poznajo iz šole. Vendar bomo podrobneje preučili to. Predstavljajte si funkcijski graf. Lahko ga povečamo do take mere, da bo kateri od njegovih segmentov v obliki ravne črte. Na njem vzamemo dve točki, ki sta med seboj neskončno blizu. Razlika v koordinatah (x ali y) je neskončno manjša. To se imenuje diferencial in označujejo znaki dy (razlika v y) in dx (razlika v x). Zelo pomembno je razumeti, da razlika ni končna količina, in to je njen pomen in osnovna funkcija.

In zdaj moramo upoštevati naslednji element, ki je koristen za razlago koncepta diferencialne enačbe. To je derivat.

Derivat

Vsi smo verjetno slišali v šoli in ta koncept. Rečeno je, da je derivat stopnja rasti ali zmanjšanja funkcije. Vendar pa je veliko te opredelitve nerazumljivo. Poskusimo pojasniti derivat skozi razlike. Vrnemo se na neskončno manjši del funkcije z dvema točkama, ki so na najmanjši razdalji drug od drugega. Toda tudi za to razdaljo ima funkcija čas, da se do neke mere spremeni. In opisati to spremembo in izdelati derivat, ki ga sicer lahko zapišemo kot razmerje med diferenciali: f (x) `= df / dx.

Zdaj moramo upoštevati osnovne lastnosti derivata. Le tri so:

1. Derivat vsote ali razlike je lahko predstavljen kot vsota ali razlika derivatov: (a + b) `= a` + b `in (a-b)` = a`-b `.
2. Druga lastnost je povezana z množenjem. Derivat produkta je vsota produktov ene funkcije na derivatu drugega: (a * b) `= a` * b + a * b `.
3. Derivat razlike lahko zapišemo v obliki naslednje enačbe: (a / b) `= (a` * b-a * b `) / b².

Vse te lastnosti so uporabne za iskanje rešitev diferencialnih enačb prvega reda.

Obstajajo tudi delni derivati. Recimo, da imamo funkcijo z, ki je odvisna od spremenljivk x in y. Za izračun delnega izpeljanka te funkcije, recimo, glede na x, moramo sprejeti spremenljivko y kot konstanto in preprosto razlikovati.

Integral

Drug pomemben koncept je integral. Dejansko je to neposredna nasprotna izvedenka. Integrali so več vrst, toda za reševanje najpreprostejših diferencialnih enačb potrebujemo najbolj trivialno nedoločeni integrali.

In tako, Kaj je integral? Recimo, da imamo določeno odvisnost od f na x. Iz nje vzamemo integral in dobimo funkcijo F (x) (pogosto imenovana antiderivativna), katere derivat je enak prvotni funkciji. Tako je F (x) `= f (x). Iz tega sledi, da je integral derivata enak prvotni funkciji.

Pri reševanju diferencialnih enačb je zelo pomembno razumeti pomen in funkcijo integrala, saj je zelo pogosto potrebno, da jih najdemo, da bi našli rešitev.

Enačbe so različne glede na njihovo naravo. V naslednjem poglavju bomo preučili vrste diferencialnih enačb prvega reda in se naučili, kako jih rešiti.

Razredi diferencialnih enačb

"Difuzorji" so razdeljeni glede na vrstni red izvedenih instrumentov, ki sodelujejo v njih. Tako je naročilo prvo, drugo, tretje ali več. Lahko jih razdelimo tudi v več razredov: navadne in delne derivate.

V tem članku obravnavamo navadne diferencialne enačbe prvega reda. Primeri in metode za njihovo reševanje bodo obravnavane tudi v naslednjih poglavjih. Upoštevali bomo samo ODE, ker so to najpogostejše vrste enačb. Običajne so razdeljene na podvrste: ločljive spremenljivke, homogene in heterogene. Nato boste izvedeli, kako se razlikujejo med seboj in se naučite, kako jih rešiti.

Poleg tega se te enačbe lahko kombinirajo tako, da po dobivanju sistema diferencialnih enačb prvega reda. Te sisteme bomo upoštevali in se naučili, kako jih rešiti.

Zakaj razmišljamo le o prvem naročilu? Ker morate začeti s preprostim, preprosto je nemogoče opisati vse, kar je povezano z diferencialnimi enačbami v enem članku.

Enačbe z ločljivimi spremenljivkami

To so morda najpreprosteje diferencialne enačbe prvega reda. Ti vključujejo primere, ki se lahko zapišejo kot: y `= f (x) * f (y). Za rešitev te enačbe potrebujemo formulo za predstavitev derivata kot razmerje med diferenciali: y `= dy / dx. S pomočjo tega dobimo naslednjo enačbo: dy / dx = f (x) * f (y). Sedaj se lahko obrnemo na metodo reševanja standardnih primerov: delimo spremenljivke po delih, to pomeni, da vse od spremenljivke y prenesemo na del, kjer se nahaja dy, to pa tudi storimo s spremenljivko x. Dobimo enačbo oblike dy / f (y) = f (x) dx, ki se reši z upoštevanjem integralov z obeh strani. Ne pozabite na konstanto, ki jo je treba določiti po prevzemu integrala.

Rešitev katerega koli "difuzorja" je funkcija odvisnosti x na y (v našem primeru) ali, če obstaja numerično stanje, potem je odgovor v obliki števila. Na konkretnem primeru analiziram celoten potek rešitve:

y `= 2y * sin (x)

Spremenimo spremenljivke v različnih smereh:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Zdaj vzamemo integral. Vse jih je mogoče najti v posebni tabeli integralov. In dobimo:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Če je potrebno, lahko izrazimo "yorek" kot funkcijo "X". Zdaj lahko rečemo, da je naša diferencialna enačba rešena, če pogoj ni dan. Pogoj je mogoče določiti, na primer, y (n / 2) = e. Nato v rešitvi nadomestimo vrednost teh spremenljivk in poiščemo konstanto vrednosti. V našem primeru je 1.

Homogene diferencialne enačbe prvega reda

Zdaj pojdite na bolj zapleten del. Homogene diferencialne enačbe prvega reda lahko zapišemo v splošni obliki, kot sledi: y `= z (x, y). Treba je opozoriti, da je desna funkcija dveh spremenljivk homogena in je ni mogoče razdeliti na dve odvisnosti: z iz x in z iz y. Da bi preverili, ali je enačba homogena ali ne, je precej preprosta: naredimo zamenjavo x = k * x in y = k * y. Sedaj smo rezali vse k. Če se vse te črke zmanjšajo, je enačba homogena in jo lahko varno rešite. Pred nami, recimo: načelo reševanja teh primerov je tudi zelo preprosto.

Spremeniti moramo: y = t (x) * x, kjer je t funkcija, ki je odvisna tudi od x. Potem lahko izrazimo derivat: y `= t` (x) * x + t. Če vse to zamenjamo v našo izvirno enačbo in jo poenostavimo, dobimo zgled z ločevalnimi spremenljivkami t in x. Rešimo jo in dobimo odvisnost t (x). Ko smo jo prejeli, preprosto nadomestimo y = t (x) * x v prejšnji zamenjavi. Potem dobimo odvisnost od y na x.

Da bi bilo bolj jasno, vzemimo si primer: x * y `= y-x * e^{y / x}.

Pri preverjanju z zamenjavo se vse zmanjša. Zato je enačba res homogena. Zdaj naredimo še eno substitucijo, o kateri smo govorili: y = t (x) * x in y `= t` (x) * x + t (x). Po poenostavitvi dobimo naslednjo enačbo: t `(x) * x = -e^t. Pripravljeni primer rešujemo z ločenimi spremenljivkami in dobimo: e^-t= ln (C * x). Ostaja nam samo, da zamenjamo t z y / x (ker če je y = t * x, potem t = y / x) in dobimo odgovor: e^{-y / x}= ln (x * C).

Linearne diferencialne enačbe prvega reda

Čas je, da razmislimo o še eni široki temi. Analizirali bomo nehomogene diferencialne enačbe prve reda. Kako se razlikujejo od prejšnjih dveh? Ugotovimo to. Linearne diferencialne enačbe prvega reda so lahko zapisane v splošni obliki z naslednjo enačbo: y `+ g (x) * y = z (x). Treba je pojasniti, da sta lahko z (x) in g (x) konstantne količine.

In zdaj primer: y `- y * x = x².

Obstajata dva načina za rešitev in oba bomo uredili. Prvi je metoda variacije poljubnih konstant.

Za rešitev enačbe na ta način je treba najprej izenačiti desno stran na nič in rešiti nastalo enačbo, ki bo po prenosu delov v obliki:

y `= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x²/ 2 + C;

y = e^{x2 / 2}* y^C= C₁* e^{x2 / 2}.

Sedaj moramo zamenjati konstanto C₁ na funkcijo v (x), ki jo moramo najti.

y = v * e^{x2 / 2}.

Izpeljali bomo zamenjavo:

y `= v` * e^{x2 / 2}-x * v * e^{x2 / 2}.

In nadomestimo te izraze v začetni enačbi:

v `* e^{x2 / 2} - x * v * e^{x2 / 2} + x * v * e^{x2 / 2} = x².

Vidimo lahko, da sta na levi strani dva pogoja preklicana. Če se v nekem primeru to ni zgodilo, ste naredili nekaj narobe. Nadaljujmo:

v `* e^{x2 / 2} = x².

Zdaj rešujemo običajno enačbo, v kateri moramo ločiti spremenljivke:

dv / dx = x²/ e^{x2 / 2};

dv = x²* e^{-x2 / 2}dx.

Za pridobitev integrala bomo morali integracijo uporabiti po delih. Vendar to ni tema našega članka. Če vas zanima, se lahko naučite sami narediti. To ni težko in z zadostnim znanjem in pozornostjo ne traja veliko časa.

Obrnili se bomo na drugo metodo za reševanje nehomogenih enačb: metoda Bernoulli. Kateri pristop je hitrejši in lažji - odvisno od vas.

Torej, pri reševanju enačbe s to metodo, moramo narediti zamenjavo: y = k * n. Tu sta k in n nekatere funkcije, odvisne od x. Potem bo derivat izgledal takole: y `= k` * n + k * n `. V obe enačbi zamenjamo obe substituciji:

k `* n + k * n` + x * k * n = x².

Skupina:

k `* n + k * (n` + x * n) = x².

Zdaj moramo enačiti z nič, kar je v oklepajih. Če združimo obe dobljeni enačbi, dobimo sistem diferencialnih enačb prvega reda, ki ga je treba rešiti:

n `+ x * n = 0;

k `* n = x².

Prva enačba je rešena kot navadna enačba. Če želite to narediti, morate ločiti spremenljivke:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Vzamemo integral in dobimo: ln (n) = x²/ 2. Potem, če izrazimo n:

n = e^{x2 / 2}.

Sedaj smo enakopravnost nadomestili v drugo enačbo sistema:

k `* e^{x2 / 2}= x².

In preoblikovanje, dobimo enako enakost kot v prvi metodi:

dk = x²/ e^{x2 / 2}.

Prav tako ne bomo razstavljali nadaljnjih ukrepov. Povedati je treba, da najprej rešitev diferencialnih enačb prvega reda povzroča velike težave. Vendar pa se s poglobljenim potopom v subjekt začne izboljševati in izboljševati.

Kje se uporabljajo diferencialne enačbe?

Zelo aktivni diferencialnih enačb, ki se uporabljajo v fiziki, saj so skoraj vsi osnovni zakoni so napisani v diferencialni obliki, in tiste formule, ki jih vidimo - rešitev teh enačb. V kemiji se uporabljajo iz istega razloga: osnovni zakoni so pridobljeni z njihovo pomočjo. V biologiji se uporabljajo diferencialne enačbe za modeliranje vedenja sistemov, na primer predatorski plen. Prav tako se lahko uporabljajo za ustvarjanje vzrejnih vzorcev, recimo, kolonije mikroorganizmov.

Kako bodo diferencialne enačbe v življenju pomagale?

Odgovor na to vprašanje je preprost: nikakor ne. Če niste znanstvenik ali inženir, jih verjetno ne boste uporabljali. Vendar pa za splošni razvoj ne boli vedeti, kakšna je diferencialna enačba in kako se reši. In potem vprašanje o sinu ali hči "kakšna je diferencialna enačba?" Ne spravi te v zlato. No, če ste znanstvenik ali inženir, razumete pomen te teme v kateri koli znanosti. Toda najpomembnejše je, da zdaj vprašanje "kako rešiti diferencialno enačbo prvega reda?" vedno lahko odgovorite. Strinjam se, da je vedno prijetno, ko razumete, kaj se ljudje bojijo razumeti.

Glavne težave v študiji

Glavna težava pri razumevanju te teme je slaba usposobljenost za vključevanje in diferenciranje funkcij. Če ste neudobno PREVZEMA derivate in integrale, je verjetno vredno več, da se naučijo, da se naučijo različnih načinov integracije in diferenciacije, in šele nato nadaljuje z raziskavo materiala, ki je bil opisan v članku.

Nekateri ljudje so presenečeni, ko se naučijo, da je dx mogoče prenesti, ker prej (v šoli) je trdilo, da je frakcija dy / dx nedeljiva. Tukaj morate prebrati literaturo o derivatu in razumeti, da je to razmerje med infinitezimalnimi količinami, ki jih je mogoče manipulirati pri reševanju enačb.

Veliko ljudi ne takoj zavedaš, da je rešitev diferencialnih enačb prvega reda - to je pogosto funkcija ali neberuschiysya integral, in to zabloda jim daje veliko težav.

Kaj je še mogoče preučiti za boljše razumevanje?

Zato je najbolje, da začnete nadaljnje potopljeni v svet diferencialnega računa specializiranih učbenikov, na primer, v matematične analize za študente, ki niso matematičnih specialitetami. Potem lahko greš v bolj specializirano literaturo.

Treba je omeniti, da poleg diferencialnih enačb obstajajo tudi integralne enačbe, tako da boste vedno imeli nekaj, s čimer si boste lahko prizadevali in kaj naj študirate.

Zaključek

Upamo, da boste po branju tega članka imeli idejo o tem, kakšne diferencialne enačbe so in kako jih pravilno rešiti.

V vsakem primeru je matematika na kakršenkoli način koristna za nas v življenju. Razvija logiko in pozornost, brez katere je vsakdo brez rok.